“數的整除性”美在何處？

“數的整除性”美在何處？

    數學家揭示了美的數學概念和邏輯結構，但是數學美卻不象藝術美那樣外顯，它是美的高級形式，是理論 思維與審美意識交融的產物。對于學生來說，由于受年齡、知識水平、審美能力的限制，很難把數學中的美的 真正意蘊充分體味出來。為把數學的教學過程變為數學的審美過程，這就對教師提出了一個非常現實的問題： 必須深入發掘、精心提煉數學教材中的美育因素，要對教材進行一番分析概括和生動直觀的整體性認識，使教 材內容成為教師腦海中非常直觀淺顯的東西，才能不失時機地引導學生去體會數學中內蘊的美的獨特品質。為 此，本文針對小學五年級教材“數的整除”一章，具體剖析數學美的表現。
    一、結構美：法國數學家龐加萊說：“數學的結構美是指一種內在的美，它來自各部分的和諧有序，并能 為純粹的理智所領會，可以說正是這種內在美給了滿足我們感官的五彩繽紛美景的骨架，……。”“數的整除 ”一章是《初等數論》中的一部分，為了照顧小學生的年齡特點，在教材中進行了簡化處理，但其整體結構還 是非常完美的，如下圖：
    （附圖 {圖}）
    由圖看出：本章以倍數、約數為核心構建了知識的結構美。著名數學家華羅庚說，善于退，退到最原始的 而不失重要性的地方，是學好數學的一個訣竅。教師在教學中應把核心知識打牢，把用處最多的最大公約數、 最小公倍數練熟，在學生的頭腦中形成完美的知識結構，這樣就為學生學習后面的知識打了堅實的基礎。
    又如：將60分解質因數
    （附圖 {圖}）
    這種分解法，逐層展示60內部的結構美，層次清楚，操作方便，同時又顯現出簡潔美。
    二、語言美：本章漢語言的敘述極其概括嚴密、簡潔、有序，給讀者以美的感受。如本章開頭僅用108個字 就把自然數、0、整數的概念及“數的整除”所研究的數交代清楚，深入體味，這108個字就給人們以簡潔、有 序的和諧美感。
    我國古代常用形象的語言去描述概念，借助生動的比喻去理解題意。明代程大位在《算法統宗》里用四句 優美的詩來表達“韓信點兵”問題的解法，詩曰：
    “三人同行七十稀，
    五樹梅花廿一枝，
    七子團圓正半月，
    除百零五便得知。”
    這首優美的詩，把枯燥的數字，賦在人和美麗的梅花上；又把70與成語，15與月半，巧妙地聯系在一起， 語言通俗生動，朗朗上口的韻律，既有音樂之美，又有記憶之效。反映了數學語言美的感染力。
    數學符號系統是一種世界公認的特殊的數學語言。本章11處用圈代表韋恩圖，借助韋恩圖滲透集合思想， 并把運算過程扼要地表現出來，是語言美的精彩之處。古希臘畢達哥拉斯學派，把均衡與對稱作為美的主要標 準，他們把圓或橢圓視為最完美的幾何圖形，因為它們的簡單性、整齊性、對稱性，給人以美感。因此，本章 用圈代表韋恩圖也體現了數學形態美。
    三、方法美：美的數學方法是指在解決復雜問題中，體現出來的美妙之處使心靈感到一種愉快的驚奇。本 章為了照顧小學生的年齡特點，均采用了由例子引出定義、由例子引出方法、由例子引出定理的觀察法。在邏 輯方法上，叫不完全歸納法。這樣符合學生的認識規律，使學生在具體、形象、生動的審美感受中，愉快地接 受了數學理論。教師要首先體味教材中的方法美，再適當補充些類似的例子，幫助、引導學生自己去歸納、總 結、發現其中的規律。提高學生學習數學的興趣，使枯燥無味的數學教學變成生動活潑的審美過程。
    例如：整除的定義、質數與合數、質因數、公約數、公倍數的定義，都是在充分觀察例子的基礎上，然后 給出定義。
    在分析例子的基礎上，歸納得出分解質因數的方法，求最大公約數的方法，求最小公倍數的方法。
    尤其精彩的是：本章借助韋恩圖，將自然數乘以2、5、3得到一個新的集合，滲透了集合、逆推、映射思想 ，設置了觀察能被2、5、3整除的環境。這樣既避免了繁瑣的邏輯推理，又便于學生觀察、歸納、總結出能被2 、5、3整除的數的特征，是一種很美妙的方法。請看：右邊圈里的數，個位數有什么特征。
    （附圖 {圖}）
    圖中的省略號，開啟學生的想象力，體現有限與無限的統一美。
    為了形象、直觀地表示最大公約數、最小公倍數，本章借助韋恩圖，用交集深刻地揭示了“公”的本質。 如：
    （附圖 {圖}）
    這既是一種方法美，又是一種形態美。
    在數學史上，無論是一個新的數學分支的產生，還是具體給出一個概念的定義，都經歷過一個積累經驗材 料的時期。從大量觀察、實驗得來的材料發現其規律，總結出數學定理或新概念，這是數學研究工作中最初步 的然而又是最基本的工作。“數學王子”高斯說過，他的許多發現都是靠歸納法取得的。不完全歸納法雖然不 能作為嚴密的論證方法，但是它能使我們迅速發現一些數量關系的規律，為我們提供研究方向。素數分布論中 許多著名定理，如素數定理、貝特朗定理、狄里克雷定理等，都是先用不完全歸納法從經驗概括出來成為猜想 ，然后再經過嚴格數學推導，設法給予證明的。當然還有的猜想至今未得到證明，如：
    6=3+3， 8=3+5， 10=5+5， 12=5+7，
    14=7+7， 16=3+13，18=5+13，20=7+13，
    22=3+19，24=5+19，26=3+23，28=5+23，
    ……
    由此歸納出可能有：凡是大于4的偶數都是二個奇素數之和，這就是著名的哥德巴赫猜想。這個猜想直到現 在還沒有肯定的或否定的答案，我們認為肯定的可能性很大。這個問題現在最好的結果是：每一充分大的偶數 ，都是一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和。這是由著名數學家陳景潤證明的。
    這里需要指出：關于哥德巴赫猜想、費爾馬大定理等世界著名難題是不可能只用初等數論方法而得到證明 的。希望有志青年不要走入歧途。

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