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求和問題的解決

時間：2022-08-07 22:57:08 數學論文我要投稿

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求和問題的解決

（配合義務教材第七冊使用）
［問題情景］
學校組織看電影了。數學老師讓同學們留心觀察影劇院的座位排數和每排座位數，并要求算出影劇院共有多少個座位。第二天，同學們先把觀察到的情況向老師匯報如下：這個影劇院第一排有２２個座位，每排的后一排都比前一排多２個座位，最后一排有６８個座位，共２４排。老師聽后，問：你們算出了這個影劇院共有多少個座位嗎？同學們講出了各自的解答。但，老師對同學們的解答并不滿意，因為他們的解答幾乎相同———都較繁鎖。

［問題詮釋］
要計算共有多少個座位，也就是求這樣一列數“２２，２４，２６，２８……６４，６６，６８”之和。若從２２開始一個接一個相加求和，就顯得繁鎖，但仔細分析這列數，它有一個明顯的特點：從第二個數起，后一個數減去前一個數的差都是２，根據這列數的排列特點，在求它們的和時，應用加法交換律和結合律，容易發現：２２＋６８＝２４＋６６＝２６＋６４＝２８＋６２＝……＝９０，即第一個數加最后一個數，第二個數加倒數第二個數，第三個數加倒數第三個數，……，和都等于９０。這２４個數相加，有多少個９０呢？很顯然有１２個。所以２２＋２４＋２６＋……＋６４＋６６＋６８＝９０×１２＝１０８０就是說，利用這種方法計算，很快就能知道這個影劇院共有１０８０個座位。

［建立模式］
上述一列數中，第一個數稱為首項，第二個數稱為第二項，依此類推，最后一個數稱為末項，這列數一共有２４項。如果一列數，從第二項起，每一項減去它前面一項的差都等于同一個定數（這一個定數叫做公差），那么，這樣一列數的和，可以用“（首項＋末項）×項數÷公差”來求出，且計算簡潔準確。

［問題解決］
１．小明為測量一座高樓的高度，他站在高樓的頂上，讓一物體從他的腳邊自由掉下，后測得物體第一秒鐘落下４．９米，以后每秒多落下９．８米，經過１０秒鐘到達地面。這座高樓共有多高？分析：根據題意，可知

第一秒落下：４．９＝４．９＋９．８×（１－１）

第二秒落下：４．９＋９．８＝４．９＋９．８×（２－１）

第三秒落下：４．９＋９．８＋９．８＝４．９＋９．８×（３－１）

……

第１０秒落下：４．９＋９．８×（１０－１）＝９３．１

所以，這座樓的高為（４．９＋９３．１）×１０÷２＝４９０（米）

２．某體育館的一個側看臺，第一排有３２個座位，后面的每一排都比前一排多２個座位，最后一排是８８個座位，正常情況下，這側看臺可容納多少人觀看節目？

簡析：根據“項數＝（末項－首項）÷公差＋１”，可求出座位排數為（８８－３２）÷２＋１＝２９（排），這側看臺的座位數為（３２＋８８）×２９÷２＝１７４０（個），因此，正常情況，這側看臺可容納１７４０人觀看節目。

３．小張來到招聘信息中心，想找一個能展示自己特長的理想工作，只見招聘廣告琳瑯滿目，最后他認為這樣兩家公司能充分發揮自己的才能，這兩家公司的招聘廣告如下：

甲公司凡前來應聘者，一旦應聘，均簽訂一年的工作合同，在這一年中，月固定工資為７５０元……

乙公司凡前來應聘者，一旦應聘，均簽訂一年的工作合同。在這一年中，第一個月工資為４００元，若工作表現好，從第二個月起，每月工資都在前一個月的基礎上，上浮５０元……

小張想，兩家公司均為一年合同，在這一年中，究竟到哪家公司工作的總收入高呢？

分析（略），答案：到甲公司的總收入高。

［問題情景］
今年，張大伯家的早稻又豐收了。這不，今天他又曬了１２袋稻谷，準備去交公糧。這１２袋的重量分別是（單位：千克）：４５，４８．５，４５，４３．５，４７，４４．５，５０，４２，４７．５，４９．５，４８，４３。你能否很快算出這些稻谷的總重量嗎？

［問題詮釋］
求１２袋稻谷的總重量，當然可以將每袋的重量逐個相加起來。但是，有沒有簡便的算法呢？仔細觀察這１２袋的重量數，最輕的為４２千克，最重的為５０千克，而且都在４６千克上下波動。重于４６千克的有６袋，輕于４６千克的也有６袋。所以，可選取４６千克為基準數，重于４６千克的６袋，每袋超過的千克數之和是２．５＋１＋４＋１．５＋３．５＋２＝１４．５（千克）；輕于４６千克的６袋，每袋不足的千克數之和是１＋１＋２．５＋１．５＋４＋３＝１３（千克）。因此，１２袋的總重量為：４６×１２＋１４．５－１３＝５５２＋１．５＝５５３．５（千克）

［建立模式］
求一組彼此比較接近的數的和時，可選取其中一個數為基準數。如果大于基準數的那些數，每個數減去基準數，所得差相加的結果用Ｓ超表示；小于基準數的那些數，用基準數分別去減這每一個數，所得差相加的結果用Ｓ不足表示，那么這組數的總和＝基準數×加數的個數＋Ｓ超－Ｓ不足

［問題解決］
１．學校六一文藝匯演，由１０位評委給每個節目打分，并規定：去掉其中的一個最高分和一個最低分，將其余分數作為該節目的得分。四（１）班表演了一個小品節目，１０位評委分別給這個節目的打分是９．５，９．６，９．３，９．７，９．４，９．１，９．７，９．５，９．２，９．６，這個節目的總得分是多少？

分析：去掉一個最高分９．７分和一個最低分９．１分后，該節目的總得分是（以９分為基準數：９×８＋（０．５＋０．６＋０．３＋０．４＋０．７＋０．５＋０．２＋０．６）＝７２＋３．８＝７５．８（分）

２．水果店運進８筐蘋果，每筐蘋果的重量如下（單位：千克）：５２，５０．５，５０，４８，５１．５，４９．５，４８，５２．５。（１）當你看完每筐蘋果的重量后，能立刻估算出８筐蘋果的總重量嗎？（２）平均每筐的重量是多少？

分析：（１）觀察這些數據，都在５０上下，據此可估算出８筐蘋果的總重量約為：５０×８＝４００（千克）。

以５０千克為基準數，平均每筐的重量為：５０＋〔（２＋０．５＋０＋１．５＋２．５）－（２＋０．５＋２）〕÷８＝５０．２５（千克）。

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