圓

第二課時：圓（二）

　　教學目標

　　1、使學生理解弦、弧、弓形、同心圓、等圓、等孤的概念；初步會運用這些概念判斷真假命題。

　　2、逐步培養學生閱讀教材、親自動手實踐，總結出新概念的能力；進一步指導學

　　生觀察、比較、分析、概括知識的能力。

　　3、通過動手、動腦的全過程，調動學生主動學習的積極性，使學生從積極主動獲得知識。

　　教學重點、難點和疑點

　　1、重點：理解圓的有關概念．

　　2、難點：對“等圓”、“等弧”的定義中的“互相重合”這一特征的理解．

　　3、疑點：學生容易把長度相等的兩條弧看成是等弧。讓學生閱讀教材、理解、交流和與教師對話交流中排除疑難。

　　教學過程設計：

　　（一）閱讀、理解

　　重點概念：

　　1、弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦．

　　2、直徑：經過圓心的弦是直徑．

　　3、圓弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧．簡稱弧．

　　半圓弧：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓；

　　優弧：大于半圓的弧叫優弧；

　　劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧．

　　4、弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．

　　5、同心圓：即圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓．

　　6、等圓：能夠重合的兩個圓叫做等圓．

　　7、等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧．

　　（二）小組交流、師生對話

　　問題：

　　1、一個圓有多少條弦？最長的弦是什么？

　　2、弧分為哪幾種？怎樣表示？

　　3、弓形與弦有什么區別？在一個圓中一條弦能得到幾個弓形？

　　4、在等圓、等弧中，“互相重合”是什么含義？

　　（通過問題，使學生與學生，學生與老師進行交流、學習，加深對概念的理解，排除疑難）

　　（三）概念辨析：

　　判斷題目：

　　（1）直徑是弦（ ）　　　　　　　　（2）弦是直徑（ ）

　　（3）半圓是弧（ ）　　　　　　　　（4）弧是半圓（ ）

　　（5）長度相等的兩段弧是等弧（ ）　（6）等弧的長度相等（ ）

　　（7）兩個劣弧之和等于半圓（）　（8）半徑相等的兩個半圓是等弧（）

　　（主要理解以下概念：（1）弦與直徑；（2）弧與半圓；（3）同心圓、等圓指兩個圖形；（4）等圓、等弧是互相重合得到，等弧的條件作用．）

　　（四）應用、練習

　　例1、已知：如圖，AB、CB為⊙O的兩條弦，試寫出圖中的所有弧．

　　解：一共有6條弧． 、 、 、 、 、 ．

　　（目的：讓學生會表示弧，并加深理解優弧和劣弧的概念）

　　例2、已知：如圖，在⊙O中，AB、CD為直徑．求證：AD∥BC．

　　（由學生分析，學生寫出證明過程，學生糾正存在問題．鍛煉學生動口、動腦、動手實踐能力，調動學生主動學習的積極性，使學生從積極主動獲得知識．）

　　鞏固練習：

　　教材P₆₆練習中2題(學生自己完成)．

　　（五）小結

　　教師引導學生自己做出總結：

　　1、本節所學似的知識點；

　　2、概念理解：①弦與直徑；②弧與半圓；③同心圓、等圓指兩個圖形；④等圓和等弧．

　　3、弧的表示方法．

　　（六）作業

　　教材P₆₆練習中3題，P₈₂習題l(3)、(4)．

第三、四課時　圓（三）——點的軌跡

　　教學目標

　　1、在了解用集合的觀點定義圓的基礎上，進一步使學生了解軌跡的有關概念以及熟悉五種常用的點的軌跡；

　　2、培養學生從形象思維向抽象思維的過渡；

　　3、提高學生數學來源于實踐，反過來又作用于實踐的辯證唯物主義觀點的認識。

　　重點、難點

　　1、重點：對圓點的軌跡的認識。

　　2、難點：對點的軌跡概念的認識，因為這個概念比較抽象。

　　教學活動設計（在老師與學生的交流對話中完成教學目標）

　　（一）創設學習情境

　　1、對“圓”的形成觀察——理解——引出軌跡的概念

　　（使學生在老師的引導下從感性知識到理性知識）

　　觀察：圓是到定點的距離等于定長的的點的集合；（電腦動畫）

　　理解：圓上的點具有兩個性質：

　　 (1)圓上各點到定點(圓心O)的距離都等于定長(半徑的長r)；

　　(2)到定點距離等于定長的的點都在圓上；（結合下圖）

　　引出軌跡的概念：我們把符合某一條件的所有的點所組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡．這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都符合條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上．（軌跡的概念非常抽象，是教學的難點，這里教師要精講，細講）

　　上面左圖符合（1）但不符合（2）；中圖不符合（1）但符合（2）；只有右圖（1）（2）都符合．因此“到定點距離等于定長的點的軌跡”是圓．

　　軌跡1：“到定點距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓”。（研究圓是軌跡概念的切入口、基礎和關鍵）

　　（二）類比、研究1

　　（在老師指導下，通過電腦動畫，學生歸納、整理、概括、遷移，獲得新知識）

　　軌跡2：和已知線段兩個端點距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線；

　　軌跡3：到已知角兩邊的距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線；

　　（三）鞏固概念

　　練習：畫圖說明滿足下列條件的點的軌跡：

　　(1)到定點A的距離等于3cm的點的軌跡；

　　(2)到∠AOC的兩邊距離相等的點的軌跡；

　　(3)經過已知點A、B的圓O，圓心O的軌跡．

　　（A層學生獨立畫圖，回答滿足這個條件的軌跡是什么?歸納出每一個題的點的軌跡屬于哪一個基本軌跡；B、C層學生在老師的指導或帶領下完成）

　　（四）類比、研究2

　　（這是第二次“類比”，目的：使學生的知識和能力螺旋上升．這次通過電腦動畫，使A層學生自己做，進一步提高學生歸納、整理、概括、遷移等能力）

　　軌跡4：到直線l的距離等于定長d的點的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

　　軌跡5：到兩條平行線的距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線．

　　（五）鞏固訓練

　　練習題1：畫圖說明滿足下面條件的點的軌跡： 

　　1．到直線l的距離等于2cm的點的軌跡；

　　2．已知直線AB∥CD，到AB、CD距離相等的點的軌跡．

　　（A層學生獨立畫圖探索；然后回答出點的軌跡是什么，對B、C層學生回答有一定的困難，這時教師要從規律上和方法上指導學生）

　　練習題2：判斷題

　　1、到一條直線的距離等于定長的點的軌跡，是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長的直線．(　)

　　2、和點B的距離等于5cm的點的軌跡，是到點B的距離等于5cm的圓．(　)

　　3、到兩條平行線的距離等于8cm的點的軌跡，是和這兩條平行線的平行且距離等于8cm的一條直線．(　)

　　4、底邊為a的等腰三角形的頂點軌跡，是底邊a的垂直平分線．(　)

　　(這組練習題的目的，訓練學生思維的準確性和語言表達的正確性．題目由學生自主完成、交流、反思)

　　(教材的練習題、習題即可，因為這部分知識屬于選學內容，而軌跡概念又比較抽象，不要對學生要求太高，了解就行、理解就高要求)

　　（六）理解、小結

　　（1）軌跡的定義兩層意思；

　　（2）常見的五種軌跡。

　　（七）作業

　　教材P₈₂習題2、6．

探究活動

愛爾特希問題

　　在平面上有四個點，任意三點都可以構成等腰三角形，你能找到這樣的四點嗎?

　　分析與解：開始自然是嘗試、探索，主要應以如何構造出這樣的點來考慮．最容易想到的是，使一個點到另三個點等距離，換句話說，以一個點為圓心，作一個圓，其他三個點在此圓上尋找，只要使這圓上的三點構成等腰三角形即可，于是得到如圖中的上面兩種形式.

　　其次，取邊長都相等的四邊形，即為菱形的四個頂點(見圖中第3個圖).

　　最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是這樣苛刻條件的梯形存在嗎?實際上，只要將任一圓周5等分，取其中任意四點即可(見圖中的第4個圖)．

　　綜上所述，符合題意的四點有且僅有三種構形：①任意等腰三角形的三個頂點及其外接圓圓心(即外心)；②任意菱形的4個頂點；③任意正五邊形的其中4個頂點．

　　上述問題是大數學家愛爾特希(P．Erdos)提出的：“在平面內有n個點，其中任意三點都能構成等腰三角形”中n＝4的情形．

　　當n＝3、4、5、6時，愛爾特希問題都有解．已經證明，時，問題無解．