高等數學教學的幾點思考

高等數學教學的幾點思考

　　高等數學教學的幾點思考

　　重慶理工大學數學與統計學院高等數學教研室 陳 忠 金世剛 田 堅

　　【摘 要】在高等數學教學中，數學問題情境要根據具體的教學內容和學生的身心發展需要來設置，教師在以原有的知識為基礎之上，以新知識為目標，充分利用數學問題情境活躍課堂氣氛，激發學生的學習興趣，調動學生的學習主動性和創造性，進而促進學生智力和非智力因素的發展。本文探討了數學的美學意義，在教學中如何創設合適的數學問題情境，培養學生提出問的能力。

　　【關鍵詞】高等數學；問題情境；教學思考

　　筆者從事數學教學工作已20余載，在教學過程中，深刻體會到學生和教學目標的差距。細思之下，總覺得應該把它們說出來，以達到能讓學生更好掌握，讓同行能間相互借鑒，對教學能有效促進的目的。

　　一、數學的美學意義是教學中必不可少的優質內容

　　數學之美古已有之。早在古希臘時代，畢達哥拉斯學派已經論及數學與美學的關系，畢達哥拉斯本人既是哲學家、數學家，又是音樂理論的始祖，他第一次提出“美是和諧與比例”的觀點。我國當代著名數學家徐利治指出：“數學美的含義十分豐富，如數學概念的簡單性、統性、結構系統的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性與普適性，還有數學中的奇異性等等都是數學美的具體內容”。在教學中，通過創設情境，將抽象的概念具體化、形象化，這樣易于學生理解。

　　讓學生感受數學是思維的體操。數學思想是我們認識世界的基礎和有效工具。例如，在講數列極限與函數極限的分析定義是用“ε-N”、“ε-δ”語言給出的，定義中具有任意性與確定性，ε的任意性通過無限多個相對確定性來實現，ε的確定性決定了N 和ε的存在性。這種定義精細地刻劃了極限過程中變量之間的動態關系，表達了極限概念的本質，并且為極限運算奠定了基礎，學過微積分的人無不贊賞它的完美，評價它是最嚴密、最精煉、最優美的語言。這些，可以在課堂上很激情地講出來，直接撞擊學生的內心，堅定學生對數學的認識，摒棄對數學的誤解。又比如，數學中許多理論與人們的直覺相背離，有時讓人覺得不可思議，給人以無盡的遐想，有時又帶給人一種“山窮水復疑無路，柳岸花明又一春”的絕妙境界，它印證了我國數學家徐利治所說的：“奇異是一種美，奇異到了極限更是一種絕佳的美”。例如，有無限個連續點（無理點）和無限個間斷點（有理點）的黎曼函數f（x）=x（為既約真分數）0x=0，1及（0，1）內的無理數；在任一點都不連續狄利克雷函數f（x）=0，x∈Q，x=1，x∈Q；處處連續但處處不可微的魏爾斯特拉斯函數f（x）=bcos（απx）（其中α為奇數，0＜b＜1，ab＞1+π），這些函數我們都無法準確地描繪出它的圖像。但是黎曼函數、狄利克雷函數和魏爾斯特拉斯函數的美就恰似一幅幅神奇的抽象畫，雖奇異古怪，卻是數學家們依靠想象而產生的藝術精品。這些內容對于大一新生來說，無疑是很新鮮很有吸引力的，能起到激發強烈的求知欲的效果的。

　　二、創設合適的數學問題情境，培養學生提出問題的能力

　　在高等數學教學活動中，只有使學生意識到問題的存在，才能激發他們學習中思維的火花。學生的問題意識越強烈，他們的思維就越活躍、越深刻、越富有創造性。而能讓學生提出問題，則需要一定的情景創設。比如，在講授過程中，舉例時可以賣點關子，甚至故意做錯，將問題擺在學生面前，促使學生思考。這樣，往往有事半功倍的效果。比如，講中值定理中證明柯西中值定理時，故意用拉格朗日中值定理的結論作比來證明。然后，指出其錯誤，再進行證明，使學生既加深了對輔助函數引入的重要，又對定理本身有著深刻的理解和記憶。在高等數學的教學中，我們知道很多同學反映數學單調、枯燥、不好學。實際上，情境創設能吸引學生積極參與和主動學習，讓他們從數學中找到無窮的樂趣。所以，教師只要能為學生創設一個良好的數學問題情境，激發起學生對數學問題探究的熱情，調動起參與學習的興趣，我們的教學也能更顯輕松，學生也會變被動為主動。

　　在高等數學教學過程中，教師要善于創設具有啟發誘導性的數學問題情境，激發學生的學習興趣和好奇心，使學生在教師所創設的數學問題情境中自主的學習，積極主動的探索數學知識的形成過程，進而把書本知識轉化為自己的知識，真正做到寓學于樂。設懸念不失為一種有效辦法。懸念作為一種學習心理機制，是由學生對所接觸的對象感到疑惑不解，而又想急于解決它從而產生的一種積極心理狀態。它對大腦皮質有強烈而持續的刺激作用，使你一時對問題既猜不透、想不通，又甩不開、放不下。因此，懸念的設置，能激發學生的學習動機和興趣，使思維活躍，豐富想象，追溯記憶，有利于培養學生克服困難的毅力。教師在課堂教學中，善于捕捉時機，恰當利用問題，創設懸念，可以觸動學生探索新知識的心理，提高課堂教學效率。例如，在學習變上限函數的定積分時，可以提出這樣的問題讓同學思考：①中自變量是什么？②對其導數如何求？對于前一個問題比較好回答，后一個題在講授中，我們可以先回憶一元復合函數的求導。同學們自然得出了結論。從而，我們可以看出在課堂教學中設置學生已經了解的原理作為提問的情境，可以啟發大多數學生進行積極思維，調動同學們學習的積極性。創設類比情境，數學概念在很大程度上可以說都是通過類比來引出的。所以，類比推理是非常重要的。即根據兩個研究對象具有某些相同或相似的屬性，推出當一個對象尚有另外一種屬性時，另一個對象也可能具有這一屬性或類似的思想方法，也就是從對某事物的認識推到對相類似事物的認識。高等數學中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學，教師可以先讓學生研究已學過的概念的屬性，然后創設類比發現的情境，引導學生去發現，嘗試給新概念下定義。這時，教師可以舉身邊常見的例子加以講解。比如，我們知道冬天氣溫常常零攝氏度以下，到了春天氣溫漸漸升到零攝氏度以上，那么氣溫由零攝氏度下升到零攝氏度上，中間肯定要經過一點零攝氏度，這個零攝氏度就是我們所說的零點。再輔以教材習題中第4題，結合實際問題，更顯零點定理的功能強大。這樣，學生的感受肯定是很深的。實際上，還可以在授課過程中通過變式達到目的。所謂變式情境就是利用變換命題，變換圖形等方式激起學生學習的興趣和欲望，以觸動學生探索新知識的心理，提高課堂教學效率。如在講授中值定理時，在學習完羅爾定理后，教師可以進一步指出羅爾定理的三個條件是比較苛刻的，它使羅爾定理的應用受到了限制，如果取消“區間端點函數值相等”這個條件，那么在曲線上是否依然存在一點，使得經過這點曲線的切線仍然平行與兩個端點的連線。變化一下圖形，可以很容易得到結論，那么這個結論就是拉格朗日中值定理。這樣經過問題的變換一步步地引出要講授的內容，學生就可以很容易地接受新知識。當然，創設教學情境的方法不是孤立的，而是相互交融的。教師應根據具體情況和條件，緊緊圍繞住教學中心創設適合于學生思想實際內容健康有益的問題，而又富有感染力的教學情境。同時，要使學生在心靈與情境交融之中愉快地探索，深刻地理解，牢固地掌握所學的數學知識。當然，在高等數學教學中創設情境的方法還有很多，但無論設計什么樣的情境，都應從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，以激發學生好奇心，引起學生學習興趣為目標，要自然、合情合理。這樣，才能使學生學習數學的興趣和自信心大增，學生的數學思維能力和分析問題、解決問題的能力得到提高。

　　總之，高等數學中包含的數學美的內容是非常豐富的，只要我們善于去觀察，善于去總結，我們還會有所發現，有所創新。

　　【參考文獻】

　　[1]馬忠林。數學教育史[M].南寧：廣西教育出版社。2001

　　[2]張奠宙，李士琦。數學教育導論[M].北京：高等教育出版社。2003

　　[3]（美國）莫里斯。克萊茵著，張里京，張錦炎，江澤涵譯。上海：科技教育出版社。2002

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