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數學教案－

時間：2022-08-17 03:27:32 高一數學教案我要投稿

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數學教案－集合

一、知識結構

數學教案－集合

　　本小節首先從初中代數與幾何涉及的集合實例人手，引出集合與集合的元素的概念，并且結合實例對集合的概念作了說明．然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子．

二、重點難點分析

　　這一節的重點是集合的基本概念和表示方法，難點是運用集合的三種常用表示方法正確表示一些簡單的集合．這一節的特點是概念多、符號多，正確理解概念和準確使用符號是學好本節的關鍵．為此，在教學時可以配備一些需要辨析概念、判斷符號表示正誤的題目，以幫助學生提高判斷能力，加深理解集合的概念和表示方法．

1．關于牽頭圖和引言分析

　　章頭圖是一組跳傘隊員編成的圖案，引言給出了一個實際問題，其目的都是為了引出本章的內容無論是分析還是解決這個實際間題，必須用到集合和邏輯的知識，也就是把它數學化．一方面提高用數學的意識，一方面說明集合和簡易邏輯知識是高中數學重要的基礎．

2．關于集合的概念分析

　　點、線、面等概念都是幾何中原始的、不加定義的概念，集合則是集合論中原始的、不加定義的概念．

　　初中代數中曾經了解“正數的集合”、“不等式解的集合”；初中幾何中也知道中垂線是“到兩定點距離相等的點的集合”等等．在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個初步認識．教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集．”這句話，只是對集合概念的描述性說明．

　　我們可以舉出很多生活中的實際例子來進一步說明這個概念，從而闡明集合概念如同其他數學概念一樣，不是人們憑空想象出來的，而是來自現實世界．

3．關于自然數集的分析

　　教科書中給出的常用數集的記法，是新的國家標準，與原教科書不盡相同，應該注意．

　　新的國家標準定義自然數集N含元素0，這樣做一方面是為了推行國際標準化組織（ISO）制定的國際標準，以便早日與之接軌，另一方面，0還是十進位數｛0，1，2，…，9｝中最小的數，有了0，減法運算仍屬于自然數，其中．因此要注意幾下幾點：

（1）自然數集合與非負整數集合是相同的集合，也就是說自然數集包含0；

（2）自然數集內排除0的集，表示成或，其他數集{如整數集Z、有理數集Q、實數集R}內排除0的集，也可類似表示，，；

（3）原教科書或根據原教科書編寫的教輔用書中出現的符號如，，…不再適用．

4．關于集合中的元素的三個特性分析

　　集合中的每個對象叫做這個集合的元素．例如“中國的直轄市”這一集合的元素是：北京、上海、天津、重慶。

　　集合中的元素常用小寫的拉丁字母，…表示．如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作；否則，就說a不屬于A，記作

要正確認識集合中元素的特性：

（l）確定性：和，二者必居其一．

集合中的元素必須是確定的．這就是說，給定一個集合，任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了．例如，給出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其他對象都不用于這個集合．如果說“由接近的數組成的集合”，這里“接近的數”是沒有嚴格標準、比較模糊的概念，它不能構成集合．

（2）互異性：若，，則

　　集合中的元素是互異的．這就是說，集合中的元素是不能重復的，集合中相同的元素只能算是一個．例如方程有兩個重根，其解集只能記為｛1｝，而不能記為｛1，1｝．

（3）無序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一個集合．

集合中的元素是不分順序的．集合和點的坐標是不同的概念，在平面直角坐標系中，點（l，0）和點（0，l）表示不同的兩個點，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一個集合．

5．要辯證理解集合和元素這兩個概念

（1）集合和元素是兩個不同的概念，符號和是表示元素和集合之間關系的，不能用來表示集合之間的關系．例如的寫法就是錯誤的，而的寫法就是正確的．

（2）一些對象一旦組成了集合，那么這個集合的元素就是這些對象的全體，而非個別現象．例如對于集合，就是指所有不小于0的實數，而不是指“可以在不小于0的實數范圍內取值”，不是指“是不小于0的一個實數或某些實數，”也不是指“是不小于0的任一實數值”……

（3）集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符合條件．

6．表示集合的方法所依據的國家標準

　　本小節列舉法與描述法所使用的集合的記法，依據的是新國家標準如下的規定．

符號

應用

意義或讀法

備注及示例

諸元素構成的集

也可用，這里的I表示指標集

使命題為真的A中諸元素之集

例：，如果從前后關系來看，集A已很明確，則可使用來表示，例如

此外，有時也可寫成或

7．集合的表示方法分析

　　集合有三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．它們各有優點．用什么方法來表示集合，要具體問題具體分析．

　　（l）有的集合可以分別用三種方法表示．例如“小于的自然數組成的集合”就可以表為：

　　 ①列舉法：；

　　 ②描述法：；

　　 ③圖示法：如圖1。

　　（2）有的集合不宜用列舉法表示．例如“由小于的正實數組成的集合”就不宜用列舉法表示，因為不能將這個集合中的元素—一列舉出來，但這個集合可以這樣表示：

　　 ①描述法：；

　　 ②圖示法：如圖2．

　　（3）用描述法表示集合，要特別注意這個集合中的元素是什么，它應該符合什么條件，從而準確理解集合的意義．例如：

　　 ①集合中的元素是，它表示函數中自變量的取值范圍，即；

　　 ②集合中的元素是，它表示函數值。的取值范圍，即；

　　 ③集合中的元素是點，它表示方程的解組成的集合，或者理解為表示曲線上的點組成的集合；

　　 ④集合中的元素只有一個，就是方程，它是用列舉法表示的單元素集合．

　　實際上，這是四個完全不同的集合．

　　列舉法與描述法各有優點，應該根據具體問題確定采用哪種表示法．要注意，一般無限集，不宜采用列舉法，因為不能將無限集中的元素—一列舉出來，而沒有列舉出來的元素往往難以確定．

8．集合的分類

　　含有有限個元素的集合叫做有限集，如圖1所示．

　　含有無限個元素的集合叫做無限集，如圖2所示．

9．關于空集分析

　　不含任何元素的集合叫做空集，記作．空集是個特殊的集合，除了它本身的實際意義外，在研究集合、集合的運算時，必須予以單獨考慮．
教學設計方案

集合

知識目標：

　　（1）使學生初步理解集合的概念，知道常用數集的概念及其記法

　　（2）使學生初步了解“屬于”關系的意義

　　（3）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義

能力目標：

　　（1）重視基礎知識的教學、基本技能的訓練和能力的培養；

　　（2）啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造地解決問題；

　　（3）通過教師指導發現知識結論，培養學生抽象概括能力和邏輯思維能力；

德育目標：

　　激發學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，培養學生堅忍不拔的意志，實事求是的科學學習態度和勇于創新的精神。

教學重點：集合的基本概念及表示方法

教學難點：運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合

授課類型：新授課

課時安排：2課時

教具：多媒體、實物投影儀

教學過程（m.baimashangsha.com）：

一、復習引入：

　　1．簡介數集的發展，復習最大公約數和最小公倍數，質數與和數；

　　2．教材中的章頭引言；

　　3．集合論的創始人——康托爾（德國數學家）；

　　4．“物以類聚”，“人以群分”；

　　5．教材中例子（P₄）。

二、講解新課：

　　閱讀教材第一部分，問題如下：

　　（1）有那些概念？是如何定義的？

　　（2）有那些符號？是如何表示的？

　　（3）集合中元素的特性是什么？

（一）集合的有關概念（例子見書）：

　　1、集合的概念

　　（1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合。

　　（2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素。

　　2、常用數集及記法

　　（1）非負整數集（自然數集）：全體非負整數的集合。記作N

　　（2）正整數集：非負整數集內排除0的集。記作N^*或N₊

　　（3）整數集：全體整數的集合。記作Z

　　（4）有理數集：全體有理數的集合。記作Q

　　（5）實數集：全體實數的集合。記作R

注：

　　（1）自然數集與非負整數集是相同的，也就是說，自然數集包括數0。

　　（2）非負整數集內排除0的集。記作N^*或N₊ 、Q、Z、R等其它數集內排除0的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除0的集，表示成Z^*

　　3、元素對于集合的隸屬關系

　　（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A；

　　（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作．

　　4、集合中元素的特性

　　（1）確定性：

　　按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可。

　　（2）互異性：

　　集合中的元素沒有重復。

　　（3）無序性：

　　集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序寫出）

注：

　　1、集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……

　　　元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……

　　2、“∈”的開口方向，不能把a∈A顛倒過來寫。

練習題

　　1、教材P₅練習

　　2、下列各組對象能確定一個集合嗎？

　　（1）所有很大的實數。（不確定）

　　（2）好心的人。（不確定）

　　（3）1，2，2，3，4，5．（有重復）

閱讀教材第二部分，問題如下：

　　1．集合的表示方法有幾種？分別是如何定義的？

　　2．有限集、無限集、空集的概念是什么？試各舉一例。

（二）集合的表示方法

　　1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合的方法。

　　例如，由方程的所有解組成的集合，可以表示為{-1，1}．

　　注：（1）有些集合亦可如下表示：

　　　　從51到100的所有整數組成的集合：{51，52，53，…，100}

　　　　所有正奇數組成的集合：{1，3，5，7，…}

　　（2）a與{a}不同：a表示一個元素，{a}表示一個集合，該集合只有一個元素。

　　描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合，并把這個條件寫在大括號內表示集合的方法。

　　格式：{x∈A| P（x）}

　　含義：在集合A中滿足條件P（x）的x的集合。

　　例如，不等式的解集可以表示為：或

所有直角三角形的集合可以表示為：

注：（1）在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分。

如：{直角三角形}；{大于10⁴的實數}

　　（2）錯誤表示法：{實數集}；{全體實數}

　　3、文氏圖：用一條封閉的曲線的內部來表示一個集合的方法。

注：何時用列舉法？何時用描述法？

　　（1）有些集合的公共屬性不明顯，難以概括，不便用描述法表示，只能用列舉法。

　　如：集合

　　（2）有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常用描述法。

　　如：集合；集合{1000以內的質數}

注：集合與集合是同一個集合嗎？

答：不是。

　　集合是點集，集合=是數集。

（三）有限集與無限集

　　1、有限集：含有有限個元素的集合。

　　2、無限集：含有無限個元素的集合。

　　3、空集：不含任何元素的集合。記作Φ，如：

練習題：

　　1、P₆練習

　　2、用描述法表示下列集合

　　①{1，4，7，10，13}

　　②{-2，-4，-6，-8，-10}

　　3、用列舉法表示下列集合

　　①{x∈N|x是15的約數} {1，3，5，15}

　　②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}寫成{1，2}或{x=1，y=2}

　　③

　　④ {-1，1}

　　⑤ {（0，8）（2，5），（4，2）}

　　⑥

{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}

三、小結：

　　本節課學習了以下內容：

　　1．集合的有關概念：（集合、元素、屬于、不屬于、有限集、無限集、空集）

　　2．集合的表示方法：（列舉法、描述法、文氏圖共3種）

　　3．常用數集的定義及記法

四、課后作業：教材P₇習題1.1

五、板書設計：

課題

一、知識點

（一）

（二）

例題：

1．

2．

六、課后反思：

　　本節課在教學時主要教會學生學習集合的表示方法，在認識集合時，應從兩方面入手：

　　（1）元素是什么？

　　（2）確定集合的表示方法是什么？表示集合時，與采用字母名稱無關。

探究活動

【題目】數集A滿足條件：若，則（）

（1）若，試求出A中其他所有元素；

（2）自己設計一個數屬于A，然后求出A中其他所有元素；

（3）從上面兩小題的解答過程中，你能悟出什么道理？并大膽證明你發現的這個“道理”．

【參考答案】

（1）其他所有元素為－1，．

（2）略

（3）A中只能有3個元素，它們分別是，且三個數的乘積為－1．

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