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畫正多邊形
教學(xué)設(shè)計(jì)示例1
教學(xué)目標(biāo)：
（1）了解用量角器等分圓心角來(lái)等分圓；掌握用尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形，能作圓內(nèi)接正八邊形、正三角形、正十二邊形；
（2）通過(guò)畫圖培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力；
（3）對(duì)學(xué)生進(jìn)行審美教育，提高學(xué)生的審美能力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)的熱情．
教學(xué)重點(diǎn)：
(1)量角器等分圓心角來(lái)等分圓；
(2)尺規(guī)作圓內(nèi)接正方形和正六邊形．
教學(xué)難點(diǎn)：
準(zhǔn)確作圖．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）提出問(wèn)題：
由于正多邊形在生產(chǎn)、生活實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用性，所以會(huì)畫正多邊形應(yīng)是學(xué)生必備能力之一．
問(wèn)題1：已知⊙O的半徑為2cm，求作圓的內(nèi)接正三角形．
教師組織學(xué)生進(jìn)行，方法不限．
目的：充分發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維．
（二）解決問(wèn)題：
以下為解決問(wèn)題的參考方案：(上課時(shí)教師歸納學(xué)生的方法)
(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
(2)尺規(guī)法：（如上右圖）用圓規(guī)在⊙O上截取長(zhǎng)度等于半徑（2cm）的弦，連結(jié)AB、BC、CA即可．
(3)計(jì)算與尺規(guī)結(jié)合法：由正三角形的半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系可得，正三角形的邊長(zhǎng)= R=2（cm），用圓規(guī)在⊙O上截取長(zhǎng)度為2（cm）的弦AB、AC，連結(jié)AB、BC、CA即可．
（三）研究、歸納
1、用量角器等分圓：
依據(jù)：等圓中相等的圓心角所對(duì)應(yīng)的弧相等．
操作：兩種情況：其一是依次畫出相等的圓心角來(lái)等分圓，這種方法比較準(zhǔn)確，但是麻煩；其二是先用量角器畫一個(gè)圓心角，然后在圓上依次截取等于該圓心角所對(duì)弧的等弧，于是得到圓的等分點(diǎn)，這種方法比較方便，但畫圖的誤差積累到最后一個(gè)等分點(diǎn)，使畫出的正多邊形的邊長(zhǎng)誤差較大．
問(wèn)題2：把半徑為2cm⊙O九等份．
（先畫半徑2cm的圓，然后把360°的圓心角9等份，每一份40°）
歸納：用量角器等分圓，方法簡(jiǎn)便，可以把圓任意n等分，但有誤差．
2、用尺規(guī)等分圓：
（1）問(wèn)題3：作正四邊形、正八邊形．
教師組織學(xué)生，分析、作圖．
歸納：只要作出已知⊙O的互相垂直的直徑即得圓內(nèi)接正方形，再過(guò)圓心作各邊的垂線與⊙O相交，或作各中心角的角平分線與⊙O相交，即得圓接正八邊形，照此方法依次可作正十六邊形、正三十二邊形、正六十四邊形……
（2）問(wèn)題4：作正六、三、十二邊形．
教師組織學(xué)生，分析、作圖．
歸納：先作出正六邊形，則可作正三角形，正十二邊形，正二十四邊形………理論上我們可以一直畫下去，但大家不難發(fā)現(xiàn)，隨著邊數(shù)的增加，正多邊形越來(lái)越接近于圓，正多邊形將越來(lái)越難畫．
（四）總結(jié)
（1）用量角器等分圓周作正n邊形；
（2）用尺規(guī)作正方形及由此擴(kuò)展作正八邊形、用尺規(guī)作正六邊形及由此擴(kuò)展作正12邊形、正三角形．
（五）作業(yè) 教材P173中13．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例2
教學(xué)目標(biāo)：
1、能應(yīng)用畫正多邊形解決實(shí)際問(wèn)題；會(huì)畫正五邊形的近似圖；了解等分圓的美麗圖形；
2、通過(guò)運(yùn)用正多邊形的有關(guān)計(jì)算和畫圖解決實(shí)際問(wèn)題培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；
3、對(duì)學(xué)生進(jìn)行審美教育和文化傳統(tǒng)教育和愛(ài)國(guó)教育；
4、滲透數(shù)學(xué)建模思想．
教學(xué)重點(diǎn)：
應(yīng)用正多邊形的計(jì)算與畫圖解決實(shí)際問(wèn)題．
教學(xué)難點(diǎn)：
數(shù)學(xué)模型的建立，和正多邊形的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）知識(shí)回顧：
分別畫半徑2cm的圓內(nèi)接正六邊形、內(nèi)接正三角形、內(nèi)接正十二邊形、內(nèi)接正方形、內(nèi)接正八邊形．
要求①尺規(guī)作圖；②說(shuō)明畫法；③指出作圖依據(jù)；④學(xué)生獨(dú)立完成．
教師巡視，對(duì)畫的好的學(xué)生給于表?yè)P(yáng)，對(duì)有問(wèn)題的學(xué)生給于指導(dǎo)．
（二）畫圖應(yīng)用：
例1、有一個(gè)亭子，它的地基是半徑為4m的正八邊形，(1)用1∶200的比例尺畫出地基平面圖；(2)求地基的邊長(zhǎng)a8(精確到0.01m)和面積S8(精確到0.1m2)
教師引導(dǎo)學(xué)生分析：①比例尺= ；②正八邊形的半徑R=2cm；③如何解正八邊形和近似計(jì)算．
（1）畫法：1．以任意一點(diǎn)O為圓心，以4m的 ，即2cm為半徑畫⊙O(如圖)．
2．作⊙O的直徑AC、BD，使AC⊥BD．
3．作平分 、的直徑EG、FH．
4．順次連結(jié)AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA．
八邊形AEBFCGDH就是亭子地基的正八邊形．
（2）解（學(xué)生分析解題方法）：
（m）
（m）
（m2）
答：（略）
我國(guó)民間相傳有五邊形的近似畫法，畫法口訣是：“九五頂五九，八五兩邊分”，它的意義如圖：如果正五邊形的邊長(zhǎng)為10，作它的中垂線AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，則AM=5.9，過(guò)點(diǎn)M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8．連結(jié)AB、BC、DE、EA即可．
例2、用民間相傳畫法口訣，畫邊長(zhǎng)為20mm的正五邊形．
分析：要畫邊長(zhǎng)20mm的正五邊形，關(guān)鍵在于計(jì)算出口訣中各部分的尺寸，由于要畫的正五邊形與口訣正五邊形相似，所以要畫的正五邊形的各部分應(yīng)與口訣正五邊形各部分對(duì)應(yīng)成比例．由已知知道要畫正五邊形的邊CD=20mm．請(qǐng)同學(xué)們算出各部分的尺寸，并按口訣畫出正五邊形ABCDE．
（畫法：略．參看教材P170）
說(shuō)明：雖然這種畫法是近似畫法，但是這種畫法的精確度卻是很高的．有能力的學(xué)生課下可以探究和計(jì)算．
通過(guò)正五邊形的民間近似畫法的教學(xué)弘揚(yáng)民族文化，揭示其科學(xué)性，滲透實(shí)踐出真知的觀點(diǎn)．
（三）優(yōu)美圖案欣賞和畫法：
請(qǐng)學(xué)生欣賞下列圖案，分析圖案結(jié)構(gòu)，畫出圖案．
組織學(xué)生進(jìn)行，可以讓學(xué)生獨(dú)立完成，也可以讓學(xué)生協(xié)作完成，對(duì)畫的較好的同學(xué)給予表彰．
（四）總結(jié)
1、運(yùn)用正多邊形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題；
2、學(xué)習(xí)了民間畫正五邊形的近似畫法；
3、學(xué)習(xí)了分解與組合有關(guān)正多邊形的幾何圖案．
（五）作業(yè)
教材P171中練習(xí)1；P173中12；P173中14．
探究活動(dòng)
圖案設(shè)計(jì)
某學(xué)校在教學(xué)樓前的圓形廣場(chǎng)中，準(zhǔn)備建造一個(gè)花園，并在花園內(nèi)分別種植牡丹、月季和杜鵑三種花卉。為了美觀，種植要求如下：
（1）種植4塊面積相等的牡丹、4塊面積相等的月季和一塊杜鵑。（注意：面積相等必須由數(shù)學(xué)知識(shí)作保證）
（2）花卉總面積等于廣場(chǎng)面積
（3）花園邊界只能種植牡丹花，杜鵑花種植在花園中間且與牡丹花沒(méi)有公共邊。
請(qǐng)你設(shè)計(jì)種植方案：（設(shè)計(jì)的方案越多越好；不同的方案類型不同．）
答案提示：
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