不等式 —— 初中數學第二冊教案

不等式 —— 初中數學第二冊教案

不等式的基本性質

 

教學目標

1．  使學生掌握不等式的三條基本性質；

2．  培養學生觀察、分析、比較的能力，提高他們靈活地運用所學知識解題的能力．

 

教學重點和難點

重點：不等式的三條基本性質的運用．

難點：不等式的基本性質3的運用．

 

課堂教學過程設計

一、從學生原有的認知結構提出問題

1．  什么叫不等式？說出不等式的三條基本性質．

2．  當x取下列數值時，不等式1-5x＜16是否成立？

3，-4，-3，4，2．5，0，-1．

3．  用不等式表示下列數量關系：
（1）       x的３倍大于x的2倍與5的差；  （3）y的 與x的 的差小于2；

（2）       y的一半與4的和是負數；      （4）5與a的4倍的差不是正數．

4．  按照下列條件寫出仍然成立的不等式，并說明根據不等式的哪一條基本性質：

（1）m＞n，兩邊都減去3；      （2）m＞n，兩邊同乘以3；

（3）m＞n，兩邊同乘以-3；      （4）m＞n，兩邊同乘以-3；

（5）m＞n，兩邊同乘以 ．

（以上各題中，從第2題開始，用投影儀打在屏幕上．學生在回答上述問題時，如遇到困難，教師應做適當點撥）在學生回答完上述問題的基礎上，教師指出：本節課我們將通過學習例題和練習，進一步鞏固并熟練掌握不等式的基本性質，尤其是不等式基本性質。

 

 

二、講授新課

例1 在下列各題橫線上填入不等號，使不等式成立．并說明是根據哪一條不等式基本性質．

（1）若a–3＜9，則a_____12；      （2）若-a＜10，則a_____–10；

（3）若 a＞–1，則a_____–4；       （4）若- a＞，則a_____0．

答：（1）a＜12，根據不等式基本性質1．  （2）a＞-10，根據不等式基本性質3．

（3）a＞-4，根據不等式基本性質2．  （4）a＜0，根據不等式基本性質3．

（在講授本課時，應啟發學和在添加不等號“＞”或“＜”時，要和題目中的已知條件進行對比，觀察它是根據不等式的哪條基本性質，是怎樣由已知條件變形得到的．同時還應強調在運用不等式基本性質3時，不等號要改變方向＝

例2 已知，用a＜0,“＜”或“＞”號填空：

（1）a+2_____2；  （2）a-1_____–1；  （3）3a_____0；  (4)a-1______0;  (5)a² _______0;  (6)a³______0;  (7)a-1______0;  (8)|a|______0.

答：（１）a+2＜２，根據不等式基本性質１．  （２）a-1＜-1,根據不等式基本性質１．

（３）因為３a,根據不等式基本性質２．       （４）－ ＞０，根據不等式基本性質３．

（５）因為a＜０，兩邊同乘以a＜０，由不等式基本性質３，得a^２＞０．

（６）因為a＜０，兩邊同乘以a^２＞０，由不等式基本性質２，得a³＜0.

（７）因為a＜０，兩邊同加上－１，由不等式基本性質１，得a－１＜－１．

又已知，－１＜０，所以a－1＜0．

（８）因為.a＜０，所以a≠０，所以｜a｜＞０．

（本例題除了進一步運用不等式的三條基本性質外，還涉及了一些舊的基礎知識，如a＜０表示a是負數；a＞０表示a是正數；｜a｜是非負數．后面幾個小題較靈活，條件由具體數字改為抽象的字母，這里字母代表正數還是代表負數是解決問題的關鍵）

例外  判斷下列各題的推導是否正確？為什么？（投影）（請學生回答）

（１）因為７．５＞５．７，所以－７．５＜－５．７；  （２）因為a+8＞4,，所以a＞－４；  （３）因為４a＞４b，所以a＞b；        （４）因為a＜b，所以 ＜ ＞＇

（５）因為 ＞－１，所以a＞4;          (６)因為－１＞－２，所以－a－１＞－a－２；

（７）因為３＞２，所以３a＞２a．

答：（１）正確，根據不等式基本性質３．      （２）正確，根據不等式基本性質１．

（３）正確，根據不等式基本性質２． （４）不對，根據不等式基本性質３，應改為 ＞ ；         （５）因為 ＞－１，所以a＞4

答：(1)正確，根據不等式基本性質3.    (2)正確，根據不等式基本性質1.

(3)正確，根據不等式基本性質2.       (4)不對，根據不等式基本性質3，應改為 .

(5)不對，根據不等式基本性質5，應改為a＜4.   

(6)正確，根據不等式基本性質1.    (7)不對，應分情況逐一討論.

當a＞0時，3a＞2a.(不等式基本性質2)

當a=0時，3a＜2a.

當a＜0時，3a＜2a.(不等式基本性質3)

(當學生在回答本題的過程中，當遇到困難或問題時，教師應做適當引導、啟發、幫助)

 

三、課堂練習(投影)

1.按照下列條件，寫出仍能成立的不等式：

(1)由-2＜-1，兩邊都加-a；   (2)由-4x＜0，兩邊都乘以- ；

(3)由7＞5，兩邊都乘以不為零的-a.

2?用“＞”或“＜”號填空：

(1)當a-b＜0時，a______b：  (2)當a＜0,b＜0時，ab_____0；

(3)當a＜0，b＜0時，ab____0；  (4)當a＞0,b＜0時，ab____0；

(5)若a____0，b＜0，則ab＞0；  (6)若＜0，且b＜0，則a_____0.

 

四、師生共同小結

在師生共同回顧本節課所學內容的基礎上，教師指出：①在利用不等式的基本性質進行變形時，當不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個字母，字母代表什么數是問題的關鍵，這決定了是用不等式基本性質2還是基本性質3，也就是不等號是否要改變方向的問題；②運用不等式基本性質3時，要變兩個號，一個性質符號，另一個是不等號.

 

五、作業

1.根據不等式的基本性質，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

(1)x-1＜0；    (2) x＞- x+6；

(3)3x＞7；     (4)- x＜-3.

2.設a＜b，用“＞”或“＞”號連接下列各題中的兩個代數式：

(1)a-1，b-1；    (2)a+2,b+2；    (3)2a，2b；

(4) ；     (5) ；   (6)-b，-a.

3.用“＞”號或“＜”號填空：

(1)若a-b＜0，則a_____b；    (2)若b＜0，則a+b_____a；

(3)若a=0，則a+b_____b；     (4)若 ＜0，則ab_____；

(5)b＜a＜2，則(a-2)(b-2)____0；(2-a)(2-b)____；(2-a)(a-b).

 

課堂教學設計說明

由于本節課的教學目標是使學生進一步掌握不等式基本性質，尤其是基本性質3.故在設計教學過程時，注意在教師的主導作用下讓學生以練為主，從而使學生在初步掌握不等式的三條基本性質的基礎上，通過口答，筆做，討論等不同的方式的練習，提高學生將不等式正確、靈活進行變形的能力.

 

 

不等式的基本性質

 

教學目標

1．  使學生掌握不等式的三條基本性質；

2．  培養學生觀察、分析、比較的能力，提高他們靈活地運用所學知識解題的能力．

 

教學重點和難點

重點：不等式的三條基本性質的運用．

難點：不等式的基本性質3的運用．

 

課堂教學過程設計

一、從學生原有的認知結構提出問題

1．  什么叫不等式？說出不等式的三條基本性質．

2．  當x取下列數值時，不等式1-5x＜16是否成立？

3，-4，-3，4，2．5，0，-1．

3．  用不等式表示下列數量關系：
（1）       x的３倍大于x的2倍與5的差；  （3）y的 與x的 的差小于2；

（2）       y的一半與4的和是負數；      （4）5與a的4倍的差不是正數．

4．  按照下列條件寫出仍然成立的不等式，并說明根據不等式的哪一條基本性質：

（1）m＞n，兩邊都減去3；      （2）m＞n，兩邊同乘以3；

（3）m＞n，兩邊同乘以-3；      （4）m＞n，兩邊同乘以-3；

（5）m＞n，兩邊同乘以 ．

（以上各題中，從第2題開始，用投影儀打在屏幕上．學生在回答上述問題時，如遇到困難，教師應做適當點撥）在學生回答完上述問題的基礎上，教師指出：本節課我們將通過學習例題和練習，進一步鞏固并熟練掌握不等式的基本性質，尤其是不等式基本性質。

 

 

二、講授新課

例1 在下列各題橫線上填入不等號，使不等式成立．并說明是根據哪一條不等式基本性質．

（1）若a–3＜9，則a_____12；      （2）若-a＜10，則a_____–10；

（3）若 a＞–1，則a_____–4；       （4）若- a＞，則a_____0．

答：（1）a＜12，根據不等式基本性質1．  （2）a＞-10，根據不等式基本性質3．

（3）a＞-4，根據不等式基本性質2．  （4）a＜0，根據不等式基本性質3．

（在講授本課時，應啟發學和在添加不等號“＞”或“＜”時，要和題目中的已知條件進行對比，觀察它是根據不等式的哪條基本性質，是怎樣由已知條件變形得到的．同時還應強調在運用不等式基本性質3時，不等號要改變方向＝

例2 已知，用a＜0,“＜”或“＞”號填空：

（1）a+2_____2；  （2）a-1_____–1；  （3）3a_____0；  (4)a-1______0;  (5)a² _______0;  (6)a³______0;  (7)a-1______0;  (8)|a|______0.

答：（１）a+2＜２，根據不等式基本性質１．  （２）a-1＜-1,根據不等式基本性質１．

（３）因為３a,根據不等式基本性質２．       （４）－ ＞０，根據不等式基本性質３．

（５）因為a＜０，兩邊同乘以a＜０，由不等式基本性質３，得a^２＞０．

（６）因為a＜０，兩邊同乘以a^２＞０，由不等式基本性質２，得a³＜0.

（７）因為a＜０，兩邊同加上－１，由不等式基本性質１，得a－１＜－１．

又已知，－１＜０，所以a－1＜0．

（８）因為.a＜０，所以a≠０，所以｜a｜＞０．

（本例題除了進一步運用不等式的三條基本性質外，還涉及了一些舊的基礎知識，如a＜０表示a是負數；a＞０表示a是正數；｜a｜是非負數．后面幾個小題較靈活，條件由具體數字改為抽象的字母，這里字母代表正數還是代表負數是解決問題的關鍵）

例外  判斷下列各題的推導是否正確？為什么？（投影）（請學生回答）

（１）因為７．５＞５．７，所以－７．５＜－５．７；  （２）因為a+8＞4,，所以a＞－４；  （３）因為４a＞４b，所以a＞b；        （４）因為a＜b，所以 ＜ ＞＇

（５）因為 ＞－１，所以a＞4;          (６)因為－１＞－２，所以－a－１＞－a－２；

（７）因為３＞２，所以３a＞２a．

答：（１）正確，根據不等式基本性質３．      （２）正確，根據不等式基本性質１．

（３）正確，根據不等式基本性質２． （４）不對，根據不等式基本性質３，應改為 ＞ ；         （５）因為 ＞－１，所以a＞4

答：(1)正確，根據不等式基本性質3.    (2)正確，根據不等式基本性質1.

(3)正確，根據不等式基本性質2.       (4)不對，根據不等式基本性質3，應改為 .

(5)不對，根據不等式基本性質5，應改為a＜4.   

(6)正確，根據不等式基本性質1.    (7)不對，應分情況逐一討論.

當a＞0時，3a＞2a.(不等式基本性質2)

當a=0時，3a＜2a.

當a＜0時，3a＜2a.(不等式基本性質3)

(當學生在回答本題的過程中，當遇到困難或問題時，教師應做適當引導、啟發、幫助)

 

三、課堂練習(投影)

1.按照下列條件，寫出仍能成立的不等式：

(1)由-2＜-1，兩邊都加-a；   (2)由-4x＜0，兩邊都乘以- ；

(3)由7＞5，兩邊都乘以不為零的-a.

2?用“＞”或“＜”號填空：

(1)當a-b＜0時，a______b：  (2)當a＜0,b＜0時，ab_____0；

(3)當a＜0，b＜0時，ab____0；  (4)當a＞0,b＜0時，ab____0；

(5)若a____0，b＜0，則ab＞0；  (6)若＜0，且b＜0，則a_____0.

 

四、師生共同小結

在師生共同回顧本節課所學內容的基礎上，教師指出：①在利用不等式的基本性質進行變形時，當不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個字母，字母代表什么數是問題的關鍵，這決定了是用不等式基本性質2還是基本性質3，也就是不等號是否要改變方向的問題；②運用不等式基本性質3時，要變兩個號，一個性質符號，另一個是不等號.

 

五、作業

1.根據不等式的基本性質，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

(1)x-1＜0；    (2) x＞- x+6；

(3)3x＞7；     (4)- x＜-3.

2.設a＜b，用“＞”或“＞”號連接下列各題中的兩個代數式：

(1)a-1，b-1；    (2)a+2,b+2；    (3)2a，2b；

(4) ；     (5) ；   (6)-b，-a.

3.用“＞”號或“＜”號填空：

(1)若a-b＜0，則a_____b；    (2)若b＜0，則a+b_____a；

(3)若a=0，則a+b_____b；     (4)若 ＜0，則ab_____；

(5)b＜a＜2，則(a-2)(b-2)____0；(2-a)(2-b)____；(2-a)(a-b).

 

課堂教學設計說明

由于本節課的教學目標是使學生進一步掌握不等式基本性質，尤其是基本性質3.故在設計教學過程時，注意在教師的主導作用下讓學生以練為主，從而使學生在初步掌握不等式的三條基本性質的基礎上，通過口答，筆做，討論等不同的方式的練習，提高學生將不等式正確、靈活進行變形的能力.

 

 

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