認識數學問題的本質探究簡捷的方法

認識數學問題的本質探究簡捷的方法

　　認識數學問題的本質探究簡捷的方法

　　錢桂保

　　（江蘇省南京市臨江高級中學，江蘇南京210000）

　　摘要：對數學中的基本概念、性質、公式、定理等的深入理解，弄清數學概念、知識間的內在關聯，是數學問題解決的必不可少的前提。解題的過程也是在探究命題人在題干中給出的函數模型產生的過程，通過這種探究體驗到考題命制的源與流，感受到了數學的魅力。

　　關鍵詞：數學問題；解題；探究方法

　　數學問題的解決需要綜合運用數學基礎知識，如運用數學中的基本概念、性質、公式、定理等，并進行合理的判斷、推理、演算，因此，對數學中的基本概念、性質、公式、定理等的深入理解，弄清數學概念、知識間的內在關聯，是數學問題解決的必不可少的前提。隨著學習的深入，理解的深度加深，必然會對問題順利、快速解決有積極的影響，理解越是深刻，產生的解法越簡單。

　　例1.已知函數f（x）=x2+x+a，（a>0），若f（m）<0，試判斷f（m+1）的符號？

　　解法一：∵f （m）<0，代入得：m2+m+a<0，即∴m2+m<-a，因為a>0，所以m2+m<0，解得-1<m<0。∴m+1>0而（f m+1）＝（m＋1）2+（m＋1）+a，其中的每一項均大于0，∴f（m+1）＞0，即f（m+1）的符號是正。

　　上述的解法實質是通過f（m+1）的表達式的符號判斷的，但這種解法并不能刻畫此題的背景和實質，那么這題的本質究竟是什么呢？我們來看解法二。

　　解法二：若設f（x）=x2+x+a≤0的解集為A，那么由f（m）<0知m∈A，而要判斷f（m+1）的符號就相當于判斷m+1是否是集合A中的元素。

 

　　既然認識到了本題的實質就是判斷m+1與解集A的關系，那么有沒有更加直觀、更加簡潔的解法呢？若能直接判斷數m+1與解集A的歸屬關系，那無疑是最簡單的方法了，正因如此讓我們想到數形結合。

　　解法三：如下圖所示，由于f（x）=x2+x圖像與x軸交點之間的距離MO＝1，∵a>0∴f（x）=x2+x+a圖像與x軸交點之間的距離AB＜1，由于f（m）<0知：m在區間（A，B）之間，但m+1必在B右邊，因此：f（m+1）＞0，即f（m+1）的符號是正。

　　由上可以知道，抓好基本概念的理解，了解其內涵和外延，積極探索數學命題的本質，隨著我們對命題的理解的深刻，必然就會產生更加簡單的解法。

　　例2：在等差數列｛an｝中，若它的前m項的和Sm=Sn，（m≠n），試求Sm+n的值。

　　初看本題，涉及到等差數列概念，自然想到用基本量來解決，即：

　　解法一：∵｛an｝是等差數列，且首項為a1，不妨設其公差為d，

　　誠然，用基本量的方法解決等差或等比數列是一種通性通法，思路自然，結果正確，但計算較為煩瑣。若要探討它有沒有更加簡單的解法，這就需要我們對本題的本質更加深刻的理解。事實上，本題的本質并不是等差數列概念，而是對等差數列的若干項和的認識，若對等差數列的前n項和的認識深刻些，如解法二，顯然過程自然簡單些，計算量也小一些了。

　　解法二：設Sn＝An2+Bn，Sm=Am2+Bm，

　　∴Sn-Sm=（An2+Bn）-（Am2+Bm）=（n-m）[A（n+m）+B]=0

　　即A（n+m）+B=0

　　而Sm+n=（m+n）[A（n+m）+B]，∴Sm+n=0。

　　本題主要是針對等差數列前n項和Sn＝An2+Bn的結構特點進行計算，明顯簡單。若換一個角度來審視Sn＝An2+Bn這一表達式，就會產生出新的解法來，即：

 

　　解法三：若考察相對應的函數Sn=Ax2+Bx，

　　∵Sm＝Sn，它的對稱軸是x= m+n/2，又∵函數Sn（x）的圖像過坐標原點（0，0），∴它必過另一點（m+n，0），即Sm+n=0.

　　解法三實質上是采用數形結合思想方法進行探究的一種解法，過程明顯簡潔快捷。通過上述幾種不同解法中，不難發現，隨著對本題的本質Sn認識的深刻，由此產生的解法也更加簡單些，可見，不同的思維層次，所產生的解題方法也不同，理解越深刻，解法也就越簡單。

　　通過上面的論述，對我們的學習有所啟示，有所觸動，這就是我們要加強理解，不能停留在概念的表面，還要加強理解的深入，認識到概念的本質，既要縱向，還要橫向，例如高中數學教材中P的不等式題，我們一起來橫向理解這道題所蘊含的函數本質。

　　例3.已知a，b，m都是正數，且a<b，求證

　　這道題的生活背景大家都很清楚，即“杯子里裝有b克糖水，其中含有a克糖的，若在糖水里再添加m克糖（假設全部融解），那么糖水將會變得更甜”這一變化的一種數學反映，本題的證明，既可用分析法，還可構造斜率加以證明，這里不再贅述。

　　下面我們討論對此題所蘊含的函數本質的探討。我們知道，不等式（或方程）與函數是密切相關，緊密聯系的，用函數的觀點解決不等式（或方程）是一種普遍的思維模式，如何揭示出此題所給的不等式與某個函數間的超級鏈接，是這一解法的關鍵。顯然這個等

　　由此可見，這種用函數證明不等式的解法，需要對相應函數的深入認識。以后在解題過程中遇到類似的不等式證明問題，可以通過橫向的對應函數加以深入研究，探究相應不等式的問題的有效解決。

　　由于變量的選取是自主的，因此相對應的函數的構造可能不止一種，其表達的形式也是多樣的，但最終結果卻是一致的，這在證法一、證法二中得到體現。事實上，解題的過程也是在探究命題人在題干中給出的函數模型產生的過程，通過這種探究體驗到考題命制的源與流，感受到了數學的魅力！

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