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淺析反常積分與定積分的定義與性質
淺析反常積分與定積分的定義與性質
劉漢兵1，劉樹兵2
�。�1.中國地質大學（武漢） 數理學院，湖北武漢430074；2.湖北省鄂州市第二中學，湖北鄂州436001）
摘要：積分學是微積分理論中的一個重要部分。一元函數的積分學主要包括定積分和反常積分兩大類。這兩類積分各自具備一些性質，而這些性質常常被拿來相互比較。本文將從定義出發，結合一些反例，深入剖析定積分和反常積分的性質差異及其原因。
關鍵詞：反常積分與定積分；性質差異；定義
作者簡介：劉漢兵（1985-），男（漢族），湖北鄂州人，博士，講師，研究方向：微分方程的最優控制理論；劉樹兵（1982-），男（漢族），湖北鄂州人，本科，高中教師，研究方向：數學教學教育。
積分學是微積分理論中的一個重要組成部分。一元函數的積分學主要包括定積分和反常積分兩大類，反常積分又包含了無窮積分與瑕積分，它們可以看作是定積分的推廣，是定積分的某種意義下的極限形式。粗略來看，反常積分是更為一般的積分，定積分作為更為特殊的積分，應該具備反常積分所具備的性質。但是在這部分內容的學習過程中，可以看到反常積分與定積分的一些性質有所區別，甚至從表面上看，反常積分的一些性質，定積分并不具備。本文將從定義出發，剖析這些性質的差異及其原因，以更加準確深刻的理解定積分和反常積分的異同。
一、無窮積分與定積分的定義與性質
我們知道對于無窮積分，有如下的一個重要性質。
這顯然是不合情理的，因為無窮積分是定積分的推廣，定積分是更為特殊的積分。仔細分析會發現，上述兩個命題中第二個命題即為定理2的結論，是真命題，而命題一看似定理1的結論，但是它與定理1的描述相比，去掉了一個非常重要的條件：“f在任何有限區間[a，u]上可積”，所以命題一是錯誤的。實際上，我們上述定義的函數E（x）可以更直接的說明命題一是不對
從定理的證明我們也可以進一步認識到A、B兩部分內容的差異對定理結論的影響。定理1的兩個證明都是圍繞積分上限趨于正無窮時，變上限積分極限的存在性展開的，而定理2的證明則是依賴于有限區間上的可積性定理，即證明當劃分足夠細時，Daboux大和與Daboux小和收斂到同一個極限，這是完全不同的兩個對象。另一方面，我們從證明里面看到，定理1確實是依賴于條件A的。在定理1的證明里，我們用到了f（x）在任一有限區間上的定積分，如果沒有條件A，這些定積分是不存在的，這也說明了為什么不能運用定理1的證明方法得到定積分的類似性質。
從以上的分析我們可以看到反常積分的一些性質，(m.baimashangsha.com)特別是基于條件A的一些變限積分極限的收斂性質不能簡單的從表面形式上與定積分的可積性質進行比較，更不能因此錯誤的認為反常積分具有定積分所不具備的性質。定理1和定理2所表述的是兩個毫不相關的對象的性質，把它們進行比較沒有實質的意義，反而容易產生認知上的混淆。
二、瑕積分與定積分的定義與性質
瑕積分的定義與無窮積分有類似的特點。
從以上的論述我們可以認識到，不論是無窮積分還是瑕積分，它們都是定積分的推廣。這兩類積分的收斂性首先都要以某類有限區間上的可積性為前提，其次是要求積分上（下）限在某一趨勢下的變限積分的極限存在。反常積分的一些性質，形式上看起來可以與定積分的某些性質進行比較，但是實際上這種比較是非常牽強的，甚至會混淆概念、模糊認知，因此，應該從定義出發，區分這些性質的異同，理解背后本質的原因，更加準確深刻地理解反常積分和定積分。
參考文獻：
[1]華東師范大學數學系。數學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.
[2]同濟大學數學教研室。高等數學[M].北京：高等教育出版社，2006.
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