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淺談化歸思想方法及其在中學數學的應用
淺談化歸思想方法及其在中學數學的應用
摘要：在現代的數學教育中，數學思想方法的教學已是數學教學的主要任務，中學數學教材中蘊涵著許多重要的數學思想方法，其中化歸思想方法是最基本也是最重要的數學方法之一，化歸思想是解決數學問題的指導思想和一種基本策略。所以化歸思想的教學是數學教學的重要內容。那么什么是化歸思想方法呢？運用化歸思想方法要遵循那些問題？它的主要化歸方法有哪些？以及其在中學數學中有那些運用呢？
關鍵詞：化歸思想方法 規范問題 基本原則 映射反演法 數形結合
Abstract :In the modern mathematics education, mathematics thinking method teaching already was the mathematics teaching primary mission, in the middle school mathematics teaching material is containing many important mathematics thinking method, in which reduction thinking method is most basic also is one of most important mathematics methods, the reduction thought was solves mathematics question guiding ideology and one kind of basic strategy.Therefore the reduction thought teaching is the mathematics teaching important content.Then what is the reduction thinking method? Must follow these questions using the reduction thinking method? Which does its main reduction method have? As well as it has these utilization in the middle school mathematics?
Key word :Reduction thinking method Standard question Basic principle Mapping method of inversion The number shape unifies
當今社會不斷地在進步，社會的進步與發展是依賴科技的發達與經濟的提高，而現代科技與經濟發展成熟的標志是數學化，這是指在科技與經濟中需要某些具體的數學知識，但更依賴數學思想與數學方法的運用，所以在數學教學中，加強數學思想方法的教學已成為數學教學的重要內容。
近幾年隨著素質教育的不斷深入，就開始認識到數學教育應從偏向重視知識教學向重視數學思想方法教學和能力培養轉變。要實行數學教育的現代化，那就要進行數學的現代教學，把經過千百年錘煉的數學精華的教育建立的數學的思想教育基礎之上，并使用現代數學方法和語言。加強數學教育是當今數學教育現代化的關鍵。
數學思想方法有很多，其中化歸思想是最基本的數學思想，并且化歸思想是數學思想的兩大“主梁”之一 。要加強對化歸思想的教學也是加強數學思想方法教學的重要內容。
笛卡兒認為，任何問題都可以化歸為數學問題，這里的“化”就是“化歸”，善于使用化歸是數學思維方式中的一個重要特點，而化歸方法是數學方法中常用的一種方法。
化歸思想是非常重要的數學思想方法，是解決一些數學問題的重要方法，對于一些數學問題，我們不能直接對問題展開攻擊，而是對問題進行變法、轉化，直至把它化歸一些已解決問題，或容易解決的問題。
匈牙利著名的數學家P•羅莎的名著《無窮的記憶》中曾用以下的比喻十分生動地說明了化歸思想的實質。她寫道：“假設在你面前煤氣灶，水龍頭，水壺和火柴，現在的任務是燒水，你應該怎樣做？”正確的回答是“在水壺中放上水，再點燃煤氣，再把水放到煤氣灶上。”接著羅莎又提出第二個問題：“假設所有的條件都不變，只是水壺已有了水，這時你應該怎么做？”對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，在把水放到煤氣灶上。”但羅莎卻認為這不是最好的回答，因為“只有物理學家才會這樣做，而數學家會倒掉壺中的水，并且聲稱我已把后一問題化歸到先前的問題了，而先前的問題我已回答。” 。“把水倒掉”——這是多么簡潔的回答呀！比喻有點夸張，但它的確形象地說出了這種問題解決的方法就是化歸方法。
所謂的“化歸”，從字面上看可以理解為轉化和歸結的意思，數學方法論所論及“化歸”方法，是指數學家們把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題解答的一種手段和方法 。
以上的解釋我們可以初步理解為，化歸方法就是要通過某種手段將一個問題轉化到另一問題，但要使轉化后問題更容易解決。下面就舉一個例子來理解一下化歸思想方法：
2 解不等式log
分析：當我初看此題時，我們不知道怎么著手解決，思考一下想這類不等式的問題，我們能不能轉化為一般不等式的方法呢？通過分析將解這個不等式轉化到解以下一般形式的不等式：
（1）
（2）
解（1），（2）可得不等式的解為（-1，0） （3，+ ）。
通過以上例1的解決，我們熟悉了一下化歸方法，可以得出化歸思想方法的一般思維過程如圖1所示：
新問題 問題
解答 解答問題
這也是說理想的化歸方法。是通過數學內部聯系和矛盾運動，在推移轉化中實現問題的轉化，也就是把有待解決的問題轉化為規范問題，從而使問題得到解決 。化歸的方法有多種多樣，但是它要將新的問題變得簡單，熟悉，容易。這樣才有利與新的問題更好得到地解決。盲目隨心所欲的化歸，可能使新的問題更復雜，更難以解決。化歸的目的就是要實現問題的規范化。所以使用化歸方法的時候也要遵循一定的原則，使問題規范化。下面就結合具體的例子來談一下使用化歸方法遵循的原則。
1．在解決數學問題時，經常會遇到一些我們無從下手的題目，我們可以通過化歸將有待解決的問題轉化到比較有利與我們運用的熟悉的知識和問題來解決。
例2．求函數 的值域？
分析：此題若按一般思維，根本無從下手，因為有兩個根式，現在我們化簡一下根式可得： y
看這個式子我們很熟悉的感到這是 0 P（x,0）x
兩點間的距離公式，于是：
我們設P（x，0），A（-2，-1），B（2，2）
又因為三角形的兩邊之和大于第三邊，則
即
。
所以函數y的值域為（5， ）。
2．用化歸方法時盡量的把比較復雜的問題化歸到簡單及容易確定解題方向的問題，通過對簡單問題的解答來實現對復雜的問題的解決。
例3，已知函數 ，求：函數 最大值及取得最大值的自變量x的集合？
分析：此題的三角函數是2次的形式，是一個復雜的三角函數的方程，將這些2次三角函數化簡，即有：
在通過對 的確定即有：
當 時有：
取得最大值 。
3在我們解題時常常會遇到一些比較抽象的問題，那我們可以將這些問題化歸更加具體直觀，使其具體化。將抽象的問題化歸得具體，常用數形結合的化歸方法。例如：
例4．求函數 ，在[1，4]上的最值？
分析：此題在給的區間上的最值比較模糊，不能確定，那我們有數形化歸的思想來確定一下在給定區間上的單調性。那么有：
如圖，可知f(x)在區間[1，4]上單調遞增
即
所以要求的最大值38和最小值11
4．數學在某種意義上也可以看做是一門藝術，也有數學美，我們用數學方法也講究數學美，而和諧化是數學內在美的內容之一，所以有些問題我們通過化歸使其更加和諧統一，配合恰當和勻稱。
例5． 、 、 、 是互不相等的數，求證：
分析：通過觀察，發現此題有一定的內在聯系，即不等式的左邊每個字母都用了3次，但是左右還是不配合不恰當，看不出什么有用的關系。于是我們變形一下不等式，即有：
令
即原不等式化為：
這是比較和諧勻稱，于是我們即證
（ ） 16
有因為 、 、 、 是互不相等的數。
所以
（ ） ，
即有
（ ） 16
命題得證。
以上這些是使用化歸思想方法所要遵循的幾點原則。我們在中學數學教學中要遵循化歸思想方法的基本原則有效的進行化歸思想方法的教學。
在中學數學中，經常出現的化歸方法有生熟轉化，映射轉化，數形轉化，構造轉化及特殊法化歸。它的形式也是多中多樣的主要有縱向化歸，橫向化歸，同向化歸及逆向化歸。這些化歸方法和形式，始終離不開化歸思想的三要素，那就是化歸的對象，化歸的目標和化歸的過程。（引用張雄）。化歸的實質是不斷的變更問題，有時變更問題的條件，有時是變更問題的結論，有時是將整個問題進行變更，變更為一個與原命題等價的問題。要正確的運用化歸思想就要分清化歸的對象，目標，來考慮化歸過程中要使用的化歸方法形式。下面就結合中學數學題目中用到化歸思想來討論一下中學數學中的化歸方法及教學。
1．隨著現代數學發展和新課程改革深入，化歸思想方法做為一般方法原則在現代數學形式下主要表現為關系（relationship）映射(mapping)反演(inversion)方法，簡稱RMI法 。這一方法是有我國數學家徐利治教授提出來的。（問題） （問題 ） （結果 ） （結果）。在求復雜問題時可能要借助多步的RMI程序。在中學數學中適當的滲透RMI方法的思想，有助培養學生思維的靈活性，獨創性和敏感性，提高學生的現代數學意識。
例6．過點P（2，2）并和橢圓 相切的直線方程？
分析：運用RMI法，對橢圓進行伸縮變換，將橢圓換成圓的問題。
令 ， ，則
P（2，2） 即：
即
即
另一切線不存在，即
因此要求的切線方程為 。
2．化歸思想不只在函數中用的是反演映射法，在函數中常用的還有數形化歸，以及函數的恒等變形化歸。其中例1就是典型的數形結合的化歸思想，下面在看一個函數的恒等變形化歸的例子：
例7．若
分析：此題若以x值代入來求函數y的值太繁瑣了，若利用恒等變形化歸，即可化繁為簡。
即
又因為
函數
=
所以要求的函數值y為5。
以上就是恒等變形的化歸。通過對數行化歸和恒等變形化歸的教學，可以培養學生們的數學思維能力，使學生靈活的運用有關知識更好的將數與形地結合，也讓他們感覺到數學的內在聯系及數學內在美，也使學生更加熟練的運用相關的定理推論。
3．在中學里學過平面幾何和立體幾何，我們經常將平面幾何學習問題化歸到平行線與相交線的討論，將立體幾何的空間形式轉化到平面形式，通過對這些幾何問題的化歸思想方法的學習與運用，可以培養學生的分剖化歸能力，更好地提高學生想象能力及空間思維能力。常用方法如下：
例8．如果用鐵絲為成底面為正方形面積為25平方厘米，高為2厘米的長方體，共需要多少鐵絲？
分析：這是一個簡單而且實際的立體幾何的問題，發揮一下想象能力，會發現解這題的一些簡單的方法。
方法一：經思考，可以將這個長方體歸結為它是由上下兩個正方形面加四個高組成的，于是就的到：
需要的長度= （cm）
方法二：我們可以將這個長方體展開為一個平面的形式，
把它化歸到平面幾何的問題，如圖3 （圖3）
其中虛線為公共的邊不計算，那么計算下實線的長度為48厘米。
所以共需要48厘米。
例9．等腰 ABC的底邊是BC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點E，求證：CD=2CE
分析：需在CD上分解CD，取CD的一半，則取
CD中點F，CF= CD，在證CF=CE
結合圖4，只需證
證明：取CD中點F，連結BF，則
BF=
且
又 ，得
因此
即命題得證。
4．化歸思想了在以上的應用外，在中學的數列中也會常用到這種思想。例如數學歸納法也用到化歸的思想，其中A 為真命題，假設A 為真，則原命題為真。其中證 為真時，就把它化歸到命題A 中去。這樣的證明就像羅沙說的燒開水這個形象的比喻那樣，把水倒掉就回到了前一步，而前一步已經假設成立，那命題就得證了。
例10．若數列{ }滿足 ，證明： 是等差數列？
證明：由題意得：
4
即
①
②
由②- ①得：
③
此時我們就發現 又一定的關系，那么可以用數學歸納法，設 為真，將 化歸到用 表示，于是我們有：
令 ，
設 ，此時即證
（1），當n=1，2時成立
（2），假設n=k（k ）時也成立，即有： ，那么由③中 的關系，可以將證 的成立化歸到 成立中去。
當n=k+1時
有
所以
=
此時，當n=k+1時，成立。
即 成立，所以 ，
因此 是等差數列。
通過對化歸思想方法在中學數學應用的探討，更明白地可以看出，化歸思想方法是一種間接解決問題的方法，化歸的實質是通過仔細的觀察分析，將比較難于解決的問題遵循簡單化、熟悉化、具體化和諧化的原則通過變形、分割、映射將其進行轉化，歸結到一類已解決或容易解決的問題中去。
化歸思想方法在中學數學中應用的例子舉不勝數，隨處可見，關鍵是老師在其中充當引導的角色，要知道“授之以魚，不如授之漁”，要教會學生做一題很容易，但更重要的是要教會他們運用科學的思維方式和思考方法，通過對化歸思想的學習和運用，可以讓學生理解基本概念，提高運算能力和解題能力，也可以培養學生想象能力，可以提高學生的現代數學意識。
轉化問題是解決問題的關鍵，轉化思想就是化歸的思想，從宏觀上看，化歸的思想是數學問題解決過程中形成數學構想的方法論依據；從微觀上看，數學問題的解決過程就是不斷地發現問題，分析問題，直至化歸為一類已經解決或者比較容易解決的問題的過程。可見，化歸方法在數學問題中具有十分重要的意義！
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