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一堂節外生枝的數學探究課——“探索勾股定理”教學案例
浙江金華市磐安縣 尖山鎮中 陳永平“嗬，這堂節外生枝的數學探究課真是意想不到！沒想到新課程熏染出來的學生動手操作能力這么強，想象力那么豐富，不可小看他們……”一旦我回味起那堂課，耳邊止不住地響起我當時贊嘆的話。那堂課我雖沒有完成預設目標，但同學們的動手操作能力和想象力出乎我的意料，令我驚喜、喟嘆！
那是2005學年的第一堂課——1.1探索勾股定理（北師大版數學八年級上冊）。我很擔心學生對這節內容缺乏直觀認識，生怕學生第一節課就遇到困難，失去信心。我精心地設計了教學方案，一遍又遍地溫習本堂課的兩個教學環節：第一環節和同學們一起探索勾股定理的來歷，為學生提供合情推理的意識，讓學生感知直角三角形斜邊與直角邊的關系；第二環節鞏固勾股定理，為激發興趣，讓學生富有激情地應用勾股定理，設計了精彩的富有生活氣息的數學實例，制作了多個全等的直角三角形和大小相同、不同的正方形，并把課堂移到了多媒體教室……。
第一環節按照預設學生積極地探索著：
1、數格子
觀察圖1－1
正方形A中含有_____個小方格，即A的面積是_____個單位面積；
正方形B中含有_____個小方格，即B的面積是_____個單位面積；
正方形C中含有_____個小方格，即C的面積是_____個單位面積。
觀察圖1－2，
正方形A，B，C中各含有多少個小方格？
正方形A，B，C的面積各是多少？
（圖中每個小方格代表一個單位面積）
再觀察圖1－3、圖1－4
2、議一議
（1）你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？
（2）你能發現直角三角形三邊長度之間存在什么關系嗎？
（3）分別以5厘米、12厘米為直角邊作出一個直角三角形，并測量斜邊的長度。（2）中的規律對這個三角形仍然成立嗎？
通過以上兩個步驟學生經歷了勾股定理的探究過程，很快發現了勾股定理：
如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 ，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
3、拼圖驗證
用4個全等的直角三角形拼成如下圖形，通過討論學生很快驗證了勾股定理：
由面積計算可得
展開得
化間得
我正準備過度到第二環節時……。“老師，把圖中的直角三角形翻轉一下，也可驗證勾股定理。”一個學生一邊說，一邊已走上講臺。這是平時被我養成的一個“壞習慣”，在學習中，發現了什么問題，未經老師同意就可上講臺表演。這個學生是班里的“大炮”，直性子，頭腦靈活，反映速度敏捷，他叫張挺挺。他拿著手中拼成的圖形先展示給全班學生，并哧哧哧地在黑板上畫出了下列圖形，寫上了驗證過程。
由面積計算可得
展開得
化簡得
他那嫻熟的技巧我不禁暗暗叫絕，一陣掌聲響起，得到了大家稱贊。
“還可以這樣拼。”數學課代表張慧慧那清脆的聲音在教室想起，她性格有點犟，有較強的管理能力，我班數學成績之所以不錯，也有她的一份功勞。我本想不叫她，但想到她平時每堂課都非要表現一回（班內學生積極發言離不開她的帶頭作用），否則心理就不舒坦的樣子。為不影響她第一堂課的積極性，于是，我還是請她上來。
“將兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形拼成一個梯形就可以驗證，一邊說一邊已畫出了圖形，并寫上了驗證過程：
由面積計算可得
展開得
化簡得
展示后興奮地說：“這是美國總統的拼證法。”一句話引得全班同學哄堂大笑。“亂說，她亂說”，同學們七嘴八舌的議論著，表示不信。“不！這是我在網上學到的，昨天晚上我為了把今天的數學課學好，先預習了課本，后又查了電腦，剛才老師拼的圖是古代一位印度人的拼證法，張挺挺拼的圖實際上是我國古代趙爽的拼證法”她又委屈又自豪地說。
聽到慧慧同學如此肯定的語句，同學們驚訝了，但從他們的眼神中看出還是半信半疑，當我點頭肯定她的說法時，張挺挺跳了起來大聲喊道：“我是趙爽！”當時的他那興奮的情景真是無法想象，全體同學那熱烈的掌聲時常在我的腦海里響著。我心中暗喜：一位剛進入初二的學生竟知道了這么許多，有這樣的鉆研精神，真令人贊賞、敬佩。
此時，時間已過去了一大半，可班內這陣勢，這氣氛，真使我無法轉向第二個環節。我猛然想起，這不就是培養學生動手操作能力嗎？這種生成的機遇若不抓住，何等的可惜。于是，我順水推舟：“還有別的拼法嗎？”
平時言語不多的胡碧瑩上來了。她一口氣流利地敘述了以下過程：
把圖甲中的4個直角三角形移位，成為圖乙。因為圖甲與圖乙兩個大正方形的面積相等，所以：
甲正方形的面積
乙正方形的面積
∴
甲 乙
她展示后，把眼睛的視線投向了張慧慧，意思是說，這又是古代什么人拼的？張慧慧沒有回答上來。我告訴她說：這是我國西周開國時期的“商高”發現的。此時，同學們大聲地喊出：“胡碧瑩是商高”！喜悅的胡碧瑩帶者對老師敬佩的笑容回到了座位。
頑皮的張漢陽、張剛彪同時走上了講臺，又引發了同學們的哄堂大笑，他們不約而同地模仿胡碧瑩方法，將張挺挺拼成的圖作了如下移位：
用同樣的方法驗證了勾股定理。
同學們還在熱烈的探索著，不知誰叫了一聲“下課了”！我看了一下手表，已超過2分多鐘了……
于是，我趕緊“急剎車”，鼓勵一番后說：“人類對勾股定理的發現，少說也有5000多年，到目前為止已有400多種驗證方法，我們本節課探索的只是幾種方法，而我國是發現勾股定理最早的國家之一。”
啊！“勾股定理”真有趣！我國的古人真棒！隨著一聲聲喜悅的贊嘆聲轉向了下一堂課。
教學反思
這的確是一堂節外生枝的數學探究課，我原本準備先探索、驗證勾股定理，接著鞏固應用，時間分配各一半。誰知學生卻發現了這么許多驗證勾股定理的拼證法，讓我實在始料不及，現在回憶起來慶幸當時調整教學思路，改變教學方式，圍繞學生自己發現的問題展開探究。本案例滿足了學生的探究欲望，把學習的主動權還給了學生，生成了新型的師生關系，讓學生體驗到學數學的樂趣，培養了學生的探究精神和動手操作能力，給了我和學生許多意想不到的收獲。
1、滿足學生的探究欲望
新課程強調課堂教學是一個動態生成的過程，預設是為了更好的生成。蘇霍姆林斯基曾說：“教育的技巧并不在于能預見的細節，而在于根據當時的具體情況，巧妙地在學生不知不覺中做出了相應的變動”。本案例滿足學生的探究欲望，針對學生自己發現的問題進行探索，學生表現出來的探究熱情空前高漲，課堂氣氛異常活躍，知識掌握根深蒂固，而且拼圖和驗證的模型比老師預先設計的更有創造性，更能充分體驗到數學活動充滿探索以及發現之后的快感和樂趣。
2、體驗學習數學的樂趣
蘇霍姆林斯基說得好：“教師如果不想方設法使學生產生情緒高昂和智力振奮的內心狀態，而且是不動情感的腦力勞動，就會帶來疲倦，處于疲倦狀態下的頭腦，是很難有效地吸收知識的。”本案例從開頭用數格子的辦法探究勾股定理，再利用學生自己通過拼圖發現驗證勾股定理，處處體現數學之美，每時每刻將學生吸引在課堂探究之中，心情激奮，興趣濃厚。
3、學習主動權還給學生
以往的學生常常是一種被動接受式學習方式，學生很少能通過自己的探索來獲取知識；學生很少有根據自己的見解發表看法與意見的機會。課堂的一切被老師占有，成了教學活動的控制者。而本案例給學生提供了自主探索、合作學習的機會，把課堂還給了學生，教師只是學生學習情境的創設者、組織者和學生學習活動的促進者、合作者，關注的是在課堂上學生做了些什么，說了些什么，想了些什么，學會了什么和感受了什么，使學生真正成為課堂活動的主人
4、對教師教學能力的挑戰
在生成性的課堂中，學生不少的創新思維常常使教師意想不到，雖然這些竟想不到的問題，有時不一定是最優的，但對學生而言往往是最有效的，最具有針對性的，而對教師而言，要圓滿解答好這些問題，對教師的教學能力和教學機智是一次很好的挑戰，促使教師努力鉆研業務，在素質提升工程中刻苦學習。
5、改變教師的教學方式
在傳統的教學論中，“課程”被理解為規范性的教學內容，具有專制性，是在教學過程之前教學情境之外預先規定的，教學過程就是忠實而有效的傳遞過程。在這種背景下，教師只要把功夫花在課前，課堂上一般很省心，不會出現什么閃失，很多教師怕學生的提問打亂了自己的教學方寸，耽誤了教學進程，總是盡可能將學生的思維壓制在預先設計好的框架內，追求一種表面的默契，特別是一些公開課上，即使是教師有時問一問學生：還有別的想法和意見嗎？也基本上是一種點綴性的設問，其實內心卻是不情愿出現什么意外，殊不知，這種一味保全教學環節完整的做法，喪失的卻是師生的生命力，主體性的發揮，如果深層次地想一想，我們在課堂上究竟是立足于教會學生什么，還是立足于學生會學？本案例只要有心人去細心領會，就明白了在新課程理念如何改變教師的教學方式，把握好教師的教與學生的學。
2006年3月
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