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波利亞的解題訓練與“題海戰術”的辨析

時間：2023-02-20 10:49:40 數學論文我要投稿

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波利亞的解題訓練與“題海戰術”的辨析

　　一、訓練的目的不同

　　“題海戰術”的目的明顯表現為應考．而波利亞強調解題訓練的目的在于提高學生的數學  素質．波利亞認為，任何學問都包括知識和能力這兩個方面．對于數學，能力比起僅僅具有  一些知識來重要得多．因此，“學校的目的應該是發展學生本身的內蘊能力，而不僅僅是傳  授知識”．波利亞發現，在日常解題和攻克難題而獲得數學上重大發現之間，并沒有不可逾  越的鴻溝．他說：“一個重大的發現可以解決一些重大的問題，但在求解任何問題的過程中  ，也都會有點滴的發現．”要想有重大的發現，就必須重視平時的解題．
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　　數學有兩個側面，一方面，已嚴格地提出來的數學是一門系統的演繹科學；另一方面，在  創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學．波利亞指出，通過研究解題方法，我  們可以看到數學的第二個側面，也就是看到“處于發現過程中的數學”．  因此，波利亞  把  “解題”作為培養學生數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑．這種思想得到了國際數  學教育界的廣泛贊同．1976年數學管理者委員會把解題能力列為10項基本技能的首位，美  國數學教師聯合會理事會把解題提到了“80年代學校數學的核心”這一高度．
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　　波利亞的解題思想集中反映在他的《怎樣解題》一書中，該書的中心思想就是談解題過程  中  怎樣誘發靈感．書的一開始就是一張“怎樣解題表”，在“表”中收集了一些典型的問題與  建  議．波利亞推崇探索法，他認為現代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用  的  智力活動．他說《怎樣解題》這本書就是實現這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質上  就是  試圖誘發靈感的“智力活動表”．正如波利亞在書中所寫：“我們的表實際上是一個在解題  中典型有用的智力活動表．”“表中的問題和建議并不直接提到好念頭，但實際上所有的問  題和建議都與它有關．”
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　　“怎樣解題表”包含四部分內容：弄清問題、擬訂計劃、實現計劃、回顧．波利亞說：“  弄清問題是為好念頭的出現做準備；制訂計劃是試圖引發它；在引發之后，我們實現它；回  顧此過程和求解的結果，是試圖更好地利用它．”波利亞所講的好念頭，就是指靈感．
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　　《怎樣解題》書中有一部分內容叫“探索法小詞典”，從篇幅上看，它占全書的  4/5．“探索法小辭典”的主要內容就是配合“怎樣解題表”，對解題  過程中典型有用的智力活動做進一步解釋．
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　　全書的字里行間，處處給人一個強烈的感覺：波利亞強調解題訓練的目的是引導學生開展  智力活動，提高數學才能．
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　　二、訓練的方式不同
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　　“題海戰術”是讓學生做大量的題，熟悉題型及其解法．波利亞反對讓學生做大量的題，  他認為，一個數學教師，如果“把分配給他的時間塞滿了例行運算來訓練他的學生，他就扼  殺了學生的興趣，妨礙了他們的智力發展……”因此，他主張與其窮于應付繁瑣的教學內  容和過量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復雜的題目去幫助學生深入發掘題目的各  個側面，使學生通過這道題目，就如同通過一道大門而進入一個嶄新的天地．比如，“證明  是無理數”和“證明素數有無限多個”就是這樣的好題目，前者通  向實數的精確概念，而后者是通向數論的門戶，打開數學發現大門的金鑰匙往往就在這類好  題目之中．
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　　過去，國內外有關學習數學的著作和習題集基本上偏重于解決個別類型的問題，例如算術  問題、幾何問題、代數問題等，但很少涉及解題的一般方法．然而，“學生熟悉了解答個別  類型問題的特殊方法之后，有可能只限于掌握一種千篇一律的死板方法而并不具備獨立解  決新問題的本領．”波利亞的《怎樣解題》就彌補了這一空白，這本書給出了求解數學問題  的一般方法．今天人們公認，在數學解題研究方面，波利亞是一面旗幟，他做出了劃時代的  貢獻．
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　　“怎樣解題表”中的指導性意見，具有普適性．不僅適用于“不太能獨立工作”的人，而  且適用于那些能獨立解題的人；不僅適用于數學學科，而且可適用于其他學科．例如，未知  數是什么?已知數是什么?條件是什么?這些問題都是普遍適用的，對于所有各類問題(代數的  或幾何的，數學的或非數學的，理論的或實際的)，我們提出這些問題都會取得良好效果．  波利亞解題訓練的方式是引導學生按照“表”中的問題和建議思考問題，探索解題途徑．試  圖引導學生逐步掌握解題過程的一般規律．這與“題海戰術”的“題型＋解法”的訓練方式  是絕然不同的．
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　　波利亞高度重視解題過程中的合情推理．數學中的合情推理是多種多樣的，而歸納和類比  是兩種用途最廣的特殊合情推理，拉普拉斯曾說過：“甚至在數學里，發現真理的工具也是  歸納與類比．”因而波利亞對這兩種合情推理給予了特別重視，并注意到更廣泛的合情推理  ；他不僅討論了合情推理的特征、作用、范例、模式，還指出了其中的教學意義和教學方法  ．
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　　波利亞反復呼吁：只要我們能承認數學創造過程中需要合情推量、需要猜想的話，數學教  學中就必須有教猜想的地位，必須為發明做準備，或至少給一點發明的嘗試．對于一個想以

數學作為終身職業的學生來說，為了在數學上取得真正的成就，就得掌握合情推理；對于一  般學生來說，他也必須學習和體驗合情推理，這是他未來生活的需要．
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　　怎樣教猜想?怎樣教合情推理?沒有十拿九穩的教學方法．波利亞說，教學中最重要的就是  選取一些典型教學結論的創造過程，分析其發現動機和合情推理，然后再讓學生模仿范例去  獨立實踐，在實踐中發展合情推理能力．波利亞欣賞蘇格拉底的名言：“思想應當誕生在學  生的心里，教師僅僅應當像助產士那樣辦事．”他指出，教師要選擇典型的問題，創設情境  ，讓學生饒有興趣地、自覺地去試驗、觀察，得到猜想．
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　　“學生自己提出了猜想，也就會有追求證明的渴望，因而此時的數學教學最富有吸引力，  切莫錯過時機”．波利亞指出，要充分發揮班級教學的優勢，鼓勵學生之間互相討論和啟發  ，教師只有在學生受阻的時候才給些方向性的揭示，不能硬把他們趕上事先預備好的道路，  這樣學生才能體驗到猜想、發現的樂趣，才能真正掌握合情推理，提高思考問題、解決問題  的能力．
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　　這種訓練方式與“題型＋解法”的做法也是完全不同的．
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　　三、能力培養的效果不同
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　　應該承認，“題海戰術”對提高學生的能力也有一定的積極作用，但經驗表明，“題海戰  術”在能力培養方面主要表現為提高模仿力與復制力，所謂“高分低能”癥正是如此產生的  ．
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　　在數學學科中，能力指的是什么?波利亞說：“這就是解決問題的才智——我們這里所指  的問題，不僅僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性  和創造精神．”波利亞致力于培養學生的獨立探索能力．從教育心理學角度看，“怎樣解題  表”的確是十分可取的，利用這張表教師可行之有效地指導學生自學，發展學生獨立思考和  進行創造性活動的能力．如果我們提出一個“波利亞探索法”的話，那么“波利亞探索法”  的主要特點就是變更問題，誘發靈感．在波利亞看來，解題過程就是不斷變更問題的過程．  事實上，“怎樣解題表”中許多問題和建議都是“直接以變化問題為目的的”．如，你知道  與  它有關的問題嗎?你能不能試想出一個有相同或相似未知數的熟悉問題?你是否見過形式稍微  有不同樣  的題目?你能改述這題目嗎?你能不能用不同的方法重新敘述它?你能不能想出一個更容易著  手的有關問題，一個更普遍的題，一個更特殊的題，一個類似的題?你能否解決這道題的一  部分  ?你能不能從已知數據導出某些有用的東西?能不能想出適于確定未知數的其他數據?你能改  變未知數，或已知數，必要時改變兩者，使新未知數和新的已知數更加互相接近嗎?
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　　波利亞說：“如果不‘變化問題’，我們幾乎不能有什么進展．”“變更問題”是《怎樣  解題》一書的主旋律．書中多次強調了“變更問題”的幾種特殊手段．例如“回到定義去”  ，“分解與重新組合”，“引入輔助元”，“普遍化、特殊化及類比”．
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　　這里只談談“回到定義”．波利亞說，“回到定義”是一項重要的智力活動．回到定義是  為了“掌握那些專業術語后面數學對象間的實際關系”．面對一個數學題，“如果我們只知  道概念的定義，別無其他，我們就不得不回到定義”．
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　　《怎樣解題》書中，有個精彩的實例：
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　　已知拋物線的焦點Ｆ，準線ｄ和一直線l，求作此拋物線與已知直線的交點．
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　　觀察題意可見，眼下的情況就是“只知道概念的定義，別無其他”，因此，我們不得不回  到定義．考慮到拋物線的定義，原問題就變化為：
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　　在直線ｌ上求一點，使它和已知點Ｆ及已知直線ｄ等距離．
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　　這是第一次變化，解析幾何題變成了平面幾何題．這道平面幾何題本身也是一道有意義的  題．
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　　“你能不能用不同的方法重新敘述它?”
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　　這道題可以換個說法敘述為：
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　　在直線ｌ上求一點，以它為圓心作圓與直線ｄ相切且通過點Ｆ．
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　　這是第二次變化．
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　　所作的圓要滿足兩個條件．“你能否解決這問題的一部分?”可以，先放棄一個條件，第  三次變化問題．
??（下略）
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　　“怎樣解題表”風靡全球．經驗證明，適當使用表中的問題與建議，對培養學生的探索力  是有益的．
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　　“題海”是客觀存在，我們應研究對付“題海”的戰術．波利亞的“表”雖不如阿里巴巴  的金鑰匙，但卻切實可行，給出了探索解題途徑的可操作機制，被人們公認為“指導學生在  題海游泳”的“行動綱領”．著名的現代數學家瓦爾登早就說過：“每個大學生，每個學者  ，特別是每個教師都應該讀這本引人入勝的書《怎樣解題》．”
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