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高一數學《等比數列的性質及應用》教案
作為一位兢兢業業的人民教師，常常要寫一份優秀的教案，教案有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。如何把教案做到重點突出呢？以下是小編幫大家整理的高一數學《等比數列的性質及應用》教案，僅供參考，大家一起來看看吧。
高一數學《等比數列的性質及應用》教案1
教學目標1.熟練運用等差、等比數列的概念、通項公式、前n項和式以及有關性質，分析和解決等差、等比數列的綜合問題。2.突出方程思想的應用，引導學生選擇簡捷合理的運算途徑，提高運算速度和運算能力。3.用類比思想加深對等差數列與等比數列概念和性質的理解。教學重點與難點用方程的觀點認識等差、等比數列的基礎知識，從本質上掌握公式。例題例1三個互不相等的實數成等差數列，如果適當排列這三個數也可以成等比數列，又知這三個數的和為6，求這三個數。例2數列中，……，求的.值。例3有四個數，前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，首末兩個數之和是21，中間兩個數的和是18，求這四個數。例4已知數列的前項的和，求數列前項的和。例5是否存在等比數列，其前項的和組成的數列也是等比數列？例6數列是首項為0的等差數列，數列是首項為1的等比數列，設，數列的前三項依次為1，1，2，（1）求數列、的通項公式；
（2）求數列的前10項的和。例7已知數列滿足，.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)求的表達式和的表達式。
作業：
1.已知同號，則是成等比數列的
（a）充分而不必要條件（b）必要而不充分條件
（c）充要條件（d）既不充分而也不必要條件
2.如果和是兩個等差數列，其中，那么等于
（a）（b）（c）3（d）
3.若某等比數列中，前7項和為48，前14項和為60，則前21項和為
(a)180(b)108(c)75(d)63
4.已知數列，對所有，其前項的積為，求的值，5.已知為等差數列，前10項的和為，前100項的和為，求前110項的和
6.等差數列中，依次抽出這個數列的第項，組成數列，求數列的通項公式和前項和公式。
7.已知數列，（1）求通項公式；
（2）若，求數列的最小項的值；
（3）數列的前項和為，求數列前項的和.
8.三數成等比數列，若第二個數加4就成等差數列，再把這個等差數列的第三個數加上32又成等比數列，求這三個數。
高一數學《等比數列的性質及應用》教案2
教學設計示例
課題：等比數列前項和的公式
教學目標
（1）通過教學使學生掌握等比數列前項和公式的推導過程，并能初步運用這一方法求一些數列的前項和。
（2）通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合能力，提高學生的數學素質。
（3）通過教學進一步滲透從特殊到一般，再從一般到特殊的辯證觀點，培養學生嚴謹的`學習態度。
教學重點，難點
教學重點是公式的推導及運用，難點是公式推導的思路。
教學用具
幻燈片，課件，電腦。
教學方法
引導發現法。
教學過程
一、新課引入：
（問題見教材第129頁）提出問題：（幻燈片）
二、新課講解：
記，式中有64項，后項與前項的比為公比2，當每一項都乘以2后，中間有62項是對應相等的，作差可以相互抵消。
（板書）即，①
，②
②－①得即.
由此對于一般的等比數列，其前項和，如何化簡？
（板書）等比數列前項和公式
仿照公比為2的等比數列求和方法，等式兩邊應同乘以等比數列的公比，即
（板書）③兩端同乘以，得
④，③－④得⑤，（提問學生如何處理，適時提醒學生注意的取值）
當時，由③可得（不必導出④，但當時設想不到）
當時，由⑤得.
于是
反思推導求和公式的方法——錯位相減法，可以求形如的數列的和，其中為等差數列，為等比數列。
（板書）例題：求和：.
設，其中為等差數列，為等比數列，公比為，利用錯位相減法求和。
解：，兩端同乘以，得
，兩式相減得
于是.
說明：錯位相減法實際上是把一個數列求和問題轉化為等比數列求和的問題。
公式其它應用問題注意對公比的分類討論即可。
三、小結：
1.等比數列前項和公式推導中蘊含的思想方法以及公式的應用；
2.用錯位相減法求一些數列的前項和。
四、作業：略。
五、板書設計：
等比數列前項和公式例題
高一數學《等比數列的性質及應用》教案3
等比數列的性質
知能目標解讀
1.結合等差數列的性質，了解等比數列的性質和由來。
2.理解等比數列的性質及應用。
3.掌握等比數列的性質并能綜合運用。
重點難點點撥
重點：等比數列性質的運用。
難點：等比數列與等差數列的綜合應用。
學習方法指導
1.在等比數列中，我們隨意取出連續三項及以上的數，把它們重新依次看成一個新的數列，則此數列仍為等比數列，這是因為隨意取出連續三項及以上的數，則以取得的第一個數為首項，且仍滿足從第2項起，每一項與它的前一項的比都是同一個常數，且這個常數量仍為原數列的公比，所以，新形成的數列仍為等比數列。
2.在等比數列中，我們任取下角標成等差的三項及以上的數，按原數列的先后順序排列所構成的數列仍是等比數列，簡言之：下角標成等差，項成等比。我們不妨設從等比數列{an}中依次取出的數為ak，ak+m，ak+2m，ak+3m，…，則===…=qm(q為原等比數列的公比)，所以此數列成等比數列。
3.如果數列{an}是等比數列，公比為q，c是不等于零的常數，那么數列{can}仍是等比數列，且公比仍為q；？{|an|}？也是等比，且公比為|q|.我們可以設數列{an}的公比為q，且滿足=q，則==q，所以數列{can}仍是等比數列，公比為q.同理，可證{|an|}也是等比數列，公比為|q|.
4.在等比數列{an}中，若m+n=t+s且m，n，t，s∈N+則aman=atas.理由如下：因為aman=a1qm-1a1qn-1
=a21qm+n-2，atas=a1qt-1a1qs-1=a21qt+s-2，又因為m+n=t+s，所以m+n-2=t+s-2，所以aman=atas.從此性質還可得到，項數確定的等比數列，距離首末兩端相等的兩項之積等于首末兩項之積。
5.若{an}，{bn}均為等比數列，公比分別為q1，q2，則
(1){anbn}仍為等比數列，且公比為q1q2.
(2){}仍為等比數列，且公比為.
理由如下：(1)=q1q2，所以{anbn}仍為等比數列，且公比為q1q2；(2)=，所以{}仍為等比數列，且公比為.
知能自主梳理
1.等比數列的項與序號的關系
(1)兩項關系
通項公式的推廣：
an=am(m、n∈N+).
(2)多項關系
項的運算性質
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N+)，則aman=.
特別地，若m+n=2p(m、n、p∈N+)，則aman=.
2.等比數列的項的對稱性
有窮等比數列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積(若有中間項則等于中間項的平方)，即a1an=a2=ak=a2(n為正奇數).
[答案] 1.qn-m apaq a2p
2.an-1 an-k+1
思路方法技巧
命題方向 運用等比數列性質an=amqn-m(m、n∈N+)解題
[例1] 在等比數列{an}中，若a2=2，a6=162，求a10.
[分析] 解答本題可充分利用等比數列的性質及通項公式，求得q，再求a10.
[解析] 解法一：設公比為q，由題意得
a1q=2a1=a1=-
，解得，或.
a1q5=162q=3q=-3
∴a10=a1q9=×39=13122或a10=a1q9=-×(-3)9=13122.
解法二：∵a6=a2q4，∴q4===81，∴a10=a6q4=162×81=13122.
解法三：在等比數列中，由a26=a2a10得
a10===13122.
[說明] 比較上述三種解法，可看出解法二、解法三利用等比數列的性質求解，使問題變得簡單、明了，因此要熟練掌握等比數列的性質，在解有關等比數列的問題時，要注意等比數列性質的應用。
變式應用1 已知數列{an}是各項為正的等比數列，且q≠1，試比較a1+a8與a4+a5的大小。
[解析] 解法一：由已知條件a1>0，q>0，且q≠1，這時
(a1+a8)-(a4+a5)=a1(1+q7-q3-q4)=a1(1-q3)(1-q4)
=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q+q2+q3)>0，顯然，a1+a8>a4+a5.
解法二：利用等比數列的性質求解。
由于(a1+a8)-(a4+a5)=(a1-a4)-(a5-a8)
=a1(1-q3)-a5(1-q3)=(1-q3)(a1-a5).
當0
當q>1時，此正數等比數列單調遞增，1-q3與a1-a5同為負數，∵(a1+a8)-(a4+a5)恒正。
∴a1+a8>a4+a5.
命題方向運用等比數列性質aman=apaq(m，n，p，q∈N+，且m+n=p+q)解題
[例2] 在等比數列{an}中，已知a7a12=5，則a8a9a10a11=( )
A.10 B.25 C.50 D.75
[分析] 已知等比數列中兩項的積的問題，常常離不開等比數列的性質，用等比數列的性質會大大簡化運算過程。
[答案] B
[解析] 解法一：∵a7a12=a8a11=a9a10=5，∴a8a9a10a11=52=25.
解法二：由已知得a1q6a1q11=a21q17=5，∴a8a9a10a11=a1q7a1q8a1q9a1q10=a41q34=(a21q17)2=25.
[說明] 在等比數列的有關運算中，常常涉及次數較高的指數運算，若按照常規解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來很麻煩，為此我們經常結合等比數列的性質，進行整體變換，會起到化繁為簡的效果。
變式應用2 在等比數列{an}中，各項均為正數，且a6a10+a3a5=41，a4a8=5，求a4+a8.
[解析] ∵a6a10=a28，a3a5=a24，∴a28+a24=41.
又∵a4a8=5，an>0，∴a4+a8===.
探索延拓創新
命題方向 等比數列性質的綜合應用
[例3] 試判斷能否構成一個等比數列{an}，使其滿足下列三個條件：
①a1+a6=11；②a3a4=；③至少存在一個自然數m，使am-1，am，am+1+依次成等差數列，若能，請寫出這個數列的通項公式；若不能，請說明理由。
[分析] 由①②條件確定等比數列{an}的通項公式，再驗證是否符合條件③.
[解析] 假設能夠構造出符合條件①②的等比數列{an}，不妨設數列{an}的公比為q，由條件①②及a1a6=a3a4，得
a1+a6=11 a1=a1=
，解得，或
a1a6=a6=a6=.
a1=a1=
從而，或.
q=2q=
故所求數列的通項為an=2n-1或an=26-n.
對于an=2n-1，若存在題設要求的m，則
2am=am-1+(am+1+)，得
2(2m-1)=2m-2+2m+，得
2m+8=0，即2m=-8，故符合條件的m不存在。
對于an=26-n，若存在題設要求的m，同理有
26-m-8=0，即26-m=8，∴m=3.
綜上所述，能夠構造出滿足條件①②③的等比數列，通項為an=26-n.
[說明] 求解數列問題時應注意方程思想在解題中的應用。
變式應用3 在等差數列{an}中，公差d≠0，a2是a1與a4的`等比中項，已知數列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，……成等比數列，求數列{kn}的通項kn.
[解析] 由題意得a22=a1a4，即(a1+d)2=a1(a1+3d)，又d≠0，∴a1=d.
∴an=nd.
又a1，a3，ak1，ak2，……，akn，……成等比數列，∴該數列的公比為q===3.
∴akn=a13n+1.
又akn=knd，∴kn=3n+1.
所以數列{kn}的通項為kn=3n+1.
名師辨誤做答
[例4] 四個實數成等比數列，且前三項之積為1，后三項之和為1，求這個等比數列的公比。
[誤解] 設這四個數為aq-3，aq-1，aq，aq3，由題意得
a3q-3=1，①
aq-1+aq+aq3=1.②
由①得a=q，把a=q代入②并整理，得4q4+4q2-3=0，解得q2=或q2=-(舍去)，故所求的公比為.
[辨析] 上述解法中，四個數成等比數列，設其公比為q2，則公比為正數，但題設并無此條件，因此導致結果有誤。
[正解] 設四個數依次為a，aq，aq2，aq3，由題意得
(aq)3=1， ①
aq+aq2+aq3=1. ②
由①得a=q-1，把a=q-1代入②并整理，得4q2+4q-3=0，解得q=或q=-，故所求公比為或-.
課堂鞏固訓練
一、選擇題
1.在等比數列{an｝中，若a6=6，a9=9，則a3等于( )
A.4 B. C. D.3？
[答案] A？
[解析] 解法一：∵a6=a3q3，∴a3q3=6.？
a9=a6q3，∴q3==.
∴a3==6×=4.
解法二：由等比數列的性質，得
a26=a3a9，∴36=9a3，∴a3=4.
2.在等比數列{an｝中，a4+a5=10，a6+a7=20，則a8+a9等于( )
A.90 B.30 C.70 D.40
[答案] D
[解析] ∵q2==2，？
∴a8+a9=(a6+a7)q2=20q2=40.
3.如果數列{an｝是等比數列，那么( )？
A.數列{a2n｝是等比數列 B.數列{2an｝是等比數列
C.數列{lgan｝是等比數列 D.數列{nan｝是等比數列
[答案] A
[解析] 數列{a2n｝是等比數列，公比為q2，故選A.
二、填空題
4.若a，b，c既成等差數列，又成等比數列，則它們的公比為.？
[答案] 1？
2b=a+c，[解析] 由題意知
b2=ac，解得a=b=c，∴q=1.
5.在等比數列{an｝中，公比q=2，a5=6，則a8=.？
[答案] 48
[解析] a8=a5q8-5=6×23=48.
三、解答題
6.已知{an}為等比數列，且a1a9=64，a3+a7=20，求a11.？
[解析] ∵{an}為等比數列，？
∴a1a9=a3a7=64，又a3+a7=20，？
∴a3，a7是方程t2-20t+64=0的兩個根。？
∴a3=4，a7=16或a3=16，a7=4，？
當a3=4時，a3+a7=a3+a3q4=20，？
∴1+q4=5，∴q4=4.？
當a3=16時，a3+a7=a3(1+q4)=20，∴1+q4=，∴q4=.？
∴a11=a1q10=a3q8=64或1.
課后強化作業
一、選擇題
1.在等比數列{an}中，a4=6，a8=18，則a12=( )
A.24 B.30 C.54 D.108？
[答案] C？
[解析] ∵a8=a4q4，∴q4===3，∴a12=a8q4=54.
2.在等比數列{an｝中，a3=2-a2，a5=16-a4，則a6+a7的值為( )
A.124 B.128 C.130 D.132
[答案] B？
[解析] ∵a2+a3=2，a4+a5=16，？
又a4+a5=(a2+a3)q2，∴q2=8.？
∴a6+a7=(a4+a5)q2=16×8=128.
3.已知{an｝為等比數列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5等于( )
A.5 B.10 C.15 D.20？
[答案] A？
[解析] ∵a32=a2a4，a52=a4a6，？
∴a32+2a3a5+a52=25，∴(a3+a5)2=25，？
又∵an>0，∴a3+a5=5.
4.在正項等比數列{an｝中，a1和a19為方程x2-10x+16=0的兩根，則a8a10a12等于( )
A.16 B.32 C.64 D.256？
[答案] C？
[解析] 由已知，得a1a19=16，？
又∵a1a19=a8a12=a102，∴a8a12=a102=16，又an>0，？
∴a10=4，∴a8a10a12=a103=64.
5.已知等比數列{an}的公比為正數，且a3a9=2a25，a2=1，則a1=( )？
A. B. C. D.2？
[答案] B？
[解析] ∵a3a9=a26，又∵a3a9=2a25，？
∴a26=2a25，∴()2=2，？
∴q2=2，∵q>0，∴q=.
又a2=1，∴a1===.
6.在等比數列{an｝中，an>an+1，且a7a11=6，a4+a14=5，則等于( )
A. B. C. D.6
[答案] A
a7a11=a4a14=6
[解析] ∵
a4+a14=5
a4=3a4=2
解得或.
a14=2a14=3
又∵an>an+1，∴a4=3，a14=2.
∴==.
7.已知等比數列{an｝中，有a3a11=4a7，數列{bn｝是等差數列，且b7=a7，則b5+b9等于( )
A.2 B.4 C.8 D.16
[答案] C
[解析] ∵a3a11=a72=4a7，∵a7≠0，∴a7=4，∴b7=4，∵{bn}為等差數列，∴b5+b9=2b7=8.
8.已知0
( )
A.等差數列？ B.等比數列？
C.各項倒數成等差數列？ D.以上都不對？
[答案] C？
[解析] ∵a，b，c成等比數列，∴b2=ac.？
又∵+=logna+lognc=lognac
=2lognb=，？
∴+=.
二、填空題
9.等比數列{an｝中，an>0，且a2=1+a1，a4=9+a3，則a5-a4等于.
[答案] 27
[解析] 由題意，得a2-a1=1，a4-a3=(a2-a1)q2=9，∴q2=9，又an>0，∴q=3.？
故a5-a4=(a4-a3)q=9×3=27.
10.已知等比數列{an｝的公比q=-，則等于.
[答案] -3
[解析] =
==-3.
11.等比數列{an}中，an>0，且a5a6=9，則log3a2+log3a9=.
[答案] 2
[解析] ∵an>0，∴log3a2+log3a9=log3a2a9
=log3a5a6=log39=log332=2.
12.(20xx廣東文，11)已知{an｝是遞增等比數列，a2=2，a4-a3=4，則此數列的公比q= .
[答案] 2？
[解析] 本題主要考查等比數列的基本公式，利用等比數列的通項公式可解得。
解析：a4-a3=a2q2-a2q=4，？
因為a2=2，所以q2-q-2=0，解得q=-1，或q=2.
因為an為遞增數列，所以q=2.
三、解答題
13.在等比數列{an｝中，已知a4a7=-512，a3+a8=124，且公比為整數，求a10.
[解析] ∵a4a7=a3a8=-512，a3+a8=124a3=-4a3=128
∴，解得或.
a3a8=-512a8=128a8=-4
又公比為整數，∴a3=-4，a8=128，q=-2.
∴a10=a3q7=(-4)×(-2)7=512.
14.設{an｝是各項均為正數的等比數列，bn=log2an，若b1+b2+b3=3，b1b2b3=-3，求此等比數列的通項公式an.？
[解析] 由b1+b2+b3=3，？
得log2(a1a2a3)=3，∴a1a2a3=23=8，∵a22=a1a3，∴a2=2，又b1b2b3=-3，設等比數列{an｝的公比為q，得？
log2()log2(2q)=-3.
解得q=4或，∴所求等比數列{an｝的通項公式為
an=a2qn-2=22n-3或an=25-2n.
15.某工廠20xx年生產某種機器零件100萬件，計劃到20xx年把產量提高到每年生產121萬件。如果每一年比上一年增長的百分率相同，這個百分率是多少？20xx年生產這種零件多少萬件？.
[解析] 設每一年比上一年增長的百分率為x，則從20xx年起，連續3年的產量依次為a1=100，a2=a1(1+x)，a3=a2(1+x)，即a1=100，a2=100(1+x)，a3=100(1+x)2，成等比數列。
由100(1+x)2=121得(1+x)2=1.21，∴1+x=1.1或1+x=-1.1，？
∴x=0.1或x=-2.1(舍去)，？
a2=100(1+x)=110(萬件)，？
所以每年增長的百分率為10%，20xx年生產這種零件110萬件。
16.等差數列{an}中，a4=10，且a3，a6，a10成等比數列。求數列{an}前20項的和S20.
[解析] 設數列{an}的公差為d，則a3=a4-d=10-d，a6=a4+2d=10+2d，a10=a4+6d=10+6d.
由a3，a6，a10成等比數列得a3a10=a26，？
即(10-d)(10+6d)=(10+2d)2，？
整理得10d2-10d=0，解得d=0或d=1.
當d=0時，S20=20a4=200，？
當d=1時，a1=a4-3d=10-3×1=7，？
于是，S20=20a1+d=20×7+190=330.
高一數學《等比數列的性質及應用》教案4
教學目標
1.理解的概念，掌握的通項公式，并能運用公式解決簡單的問題。
（1）正確理解的定義，了解公比的概念，明確一個數列是的限定條件，能根據定義判斷一個數列是，了解等比中項的概念；
（2）正確認識使用的表示法，能靈活運用通項公式求的首項、公比、項數及指定的項；
（3）通過通項公式認識的性質，能解決某些實際問題。
2.通過對的研究，逐步培養學生觀察、類比、歸納、猜想等思維品質。
3.通過對概念的歸納，進一步培養學生嚴密的思維習慣，以及實事求是的科學態度。
教學建議
教材分析
（1）知識結構
是另一個簡單常見的數列，研究內容可與等差數列類比，首先歸納出的定義，導出通項公式，進而研究圖像，又給出等比中項的概念，最后是通項公式的應用。
（2）重點、難點分析
教學重點是的定義和對通項公式的認識與應用，教學難點在于通項公式的推導和運用。
①與等差數列一樣，也是特殊的數列，二者有許多相同的性質，但也有明顯的區別，可根據定義與通項公式得出的特性，這些是教學的重點。
②雖然在等差數列的學習中曾接觸過不完全歸納法，但對學生來說仍然不熟悉；在推導過程中，需要學生有一定的觀察分析猜想能力；第一項是否成立又須補充說明，所以通項公式的推導是難點。
③對等差數列、的綜合研究離不開通項公式，因而通項公式的靈活運用既是重點又是難點。
教學建議
（1）建議本節課分兩課時，一節課為的概念，一節課為通項公式的應用。
（2）概念的引入，可給出幾個具體的例子，由學生概括這些數列的相同特征，從而得到的定義。也可將幾個等差數列和幾個混在一起給出，由學生將這些數列進行分類，有一種是按等差、等比來分的，由此對比地概括的定義。
（3）根據定義讓學生分析的公比不為0，以及每一項均不為0的特性，加深對概念的理解。
（4）對比等差數列的表示法，由學生歸納的各種表示法。啟發學生用函數觀點認識通項公式，由通項公式的結構特征畫數列的圖象。
（5）由于有了等差數列的研究經驗，的研究完全可以放手讓學生自己解決，教師只需把握課堂的節奏，作為一節課的組織者出現。
（6）可讓學生相互出題，解題，講題，充分發揮學生的主體作用。
教學設計示例
課題：的概念
教學目標
1.通過教學使學生理解的概念，推導并掌握通項公式。
2.使學生進一步體會類比、歸納的思想，培養學生的觀察、概括能力。
3.培養學生勤于思考，實事求是的.精神，及嚴謹的科學態度。
教學重點，難點
重點、難點是的定義的歸納及通項公式的推導。
教學用具
投影儀，多媒體軟件，電腦。
教學方法
討論、談話法。
教學過程
一、提出問題
給出以下幾組數列，將它們分類，說出分類標準。（幻燈片）
①－2，1，4，7，10，13，16，19，…
②8，16，32，64，128，256，…
③1，1，1，1，1，1，1，…
④243，81，27，9，3，1，…
⑤31，29，27，25，23，21，19，…
⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…
⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…
⑧0，0，0，0，0，0，0，…
由學生發表意見（可能按項與項之間的關系分為遞增數列、遞減數列、常數數列、擺動數列，也可能分為等差、等比兩類），統一一種分法，其中②③④⑥⑦為有共同性質的一類數列（學生看不出③的情況也無妨，得出定義后再考察③是否為）.
二、講解新課
請學生說出數列②③④⑥⑦的共同特性，教師指出實際生活中也有許多類似的例子，如變形蟲分裂問題。假設每經過一個單位時間每個變形蟲都分裂為兩個變形蟲，再假設開始有一個變形蟲，經過一個單位時間它分裂為兩個變形蟲，經過兩個單位時間就有了四個變形蟲，…，一直進行下去，記錄下每個單位時間的變形蟲個數得到了一列數這個數列也具有前面的幾個數列的共同特性，這是我們將要研究的另一類數列——.（這里播放變形蟲分裂的多媒體軟件的第一步）
（板書）
1.的定義（板書）
根據與等差數列的名字的區別與聯系，嘗試給下定義。學生一般回答可能不夠完美，多數情況下，有了等差數列的基礎是可以由學生概括出來的。教師寫出的定義，標注出重點詞語。
請學生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有無數列既是等差數列又是。學生通過觀察可以發現③是這樣的數列，教師再追問，還有沒有其他的例子，讓學生再舉兩例。而后請學生概括這類數列的一般形式，學生可能說形如的數列都滿足既是等差又是，讓學生討論后得出結論：當時，數列既是等差又是，當時，它只是等差數列，而不是。教師追問理由，引出對的認識：
2.對定義的認識（板書）
（1）的首項不為0；
（2）的每一項都不為0，即；
問題：一個數列各項均不為0是這個數列為的什么條件？
（3）公比不為0
用數學式子表示的定義。
是①.在這個式子的寫法上可能會有一些爭議，如寫成，可讓學生研究行不行，好不好；接下來再問，能否改寫為是？為什么不能？
式子給出了數列第項與第項的數量關系，但能否確定一個？（不能）確定一個需要幾個條件？當給定了首項及公比后，如何求任意一項的值？所以要研究通項公式。
3.的通項公式（板書）
問題：用和表示第項
①不完全歸納法
②疊乘法，…，這個式子相乘得，所以
（板書）（1）的通項公式
得出通項公式后，讓學生思考如何認識通項公式。
（板書）（2）對公式的認識
由學生來說，最后歸結：
①函數觀點；
②方程思想（因在等差數列中已有認識，此處再復習鞏固而已）.
這里強調方程思想解決問題。方程中有四個量，知三求一，這是公式最簡單的應用，請學生舉例（應能編出四類問題）.解題格式是什么？（不僅要會解題，還要注意規范表述的訓練）
如果增加一個條件，就多知道了一個量，這是公式的更高層次的應用，下節課再研究。同學可以試著編幾道題。
三、小結
1.本節課研究了的概念，得到了通項公式；
2.注意在研究內容與方法上要與等差數列相類比；
3.用方程的思想認識通項公式，并加以應用。
四、作業（略）
五、板書設計
1.的定義
2.對定義的認識
3.的通項公式
（1）公式
（2）對公式的認識
探究活動
將一張很大的薄紙對折，對折30次后（如果可能的話）有多厚？不妨假設這張紙的厚度為0.01毫米。
參考答案：
30次后，厚度為，這個厚度超過了世界最高的山峰——珠穆朗瑪峰的高度。如果紙再薄一些，比如紙厚0.001毫米，對折34次就超過珠穆朗瑪峰的高度了。還記得國王的承諾嗎？第31個格子中的米已經是1073741824粒了，后邊的格子中的米就更多了，最后一個格子中的米應是粒，用計算器算一下吧（用對數算也行）.
高一數學《等比數列的性質及應用》教案5
一、教材分析
1.從在教材中的地位與作用來看
《等比數列的前n項和》是數列這一章中的一個重要內容，它不僅在現實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數學素養。
2.從學生認知角度看
從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是：本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有著本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。
3.學情分析
教學對象是剛進入高中的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴謹。
4.重點、難點
教學重點：公式的推導、公式的特點和公式的運用。
教學難點：公式的推導方法和公式的靈活運用。
公式推導所使用的“錯位相減法”是高中數學數列求和方法中最常用的方法之一，它蘊含了重要的數學思想，所以既是重點也是難點。
二、目標分析
知識與技能目標：
理解并掌握等比數列前n項和公式的推導過程、公式的特點，在此基礎
上能初步應用公式解決與之有關的問題。
過程與方法目標：
通過對公式推導方法的探索與發現，向學生滲透特殊到一般、類比與轉
化、分類討論等數學思想，培養學生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力。
情感與態度價值觀：
通過對公式推導方法的探索與發現，優化學生的思維品質，滲透事物之
間等價轉化和理論聯系實際的辯證唯物主義觀點。
三、過程分析
學生是認知的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，盡可能地讓學生去經歷知識的形成與發展過程，結合本節課的特點，我設計了如下的教學過程：
1.創設情境，提出問題
在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？
設計意圖：設計這個情境目的是在引入課題的同時激發學生的興趣，調動學習的積極性。故事內容緊扣本節課的主題與重點。
此時我問：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導學生寫出麥粒總數。帶著這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和。這時我對他們的這種思路給予肯定。
設計意圖：在實際教學中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學關鍵處學生難以轉過彎來，因而在教學中應舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙。同時，形成繁難的情境激起了學生的求知欲，迫使學生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學埋下伏筆。
2.師生互動，探究問題
在肯定他們的思路后，我接著問：1，2，22，…，263是什么數列？有何特征？應歸結為什么數學問題呢？
探討1：，記為(1)式，注意觀察每一項的特征，有何聯系？(學生會發現，后一項都是前一項的.2倍)
探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，(1)式兩邊同乘以2則有，記為(2)式。比較(1)(2)兩式，你有什么發現？
設計意圖：留出時間讓學生充分地比較，等比數列前n項和的公式推導關鍵是變“加”為“減”，在教師看來這是“天經地義”的，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應著力在這兒做文章，從而抓住培養學生的辯證思維能力的良好契機。
經過比較、研究，學生發現：(1)、(2)兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到：.老師指出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思：為什么(1)式兩邊要同乘以2呢？
設計意圖：經過繁難的計算之苦后，突然發現上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數學的興趣和學好數學的信心。
3.類比聯想，解決問題
這時我再順勢引導學生將結論一般化，這里，讓學生自主完成，并喊一名學生上黑板，然后對個別學生進行指導。
設計意圖：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。
對不對？這里的q能不能等于1？等比數列中的公比能不能為
1q=1時是什么數列？此時sn=？(這里引導學生對q進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎。)
再次追問：結合等比數列的通項公式an=a1qn-1，如何把sn用a1、an、q表示出來？(引導學生得出公式的另一形式)
設計意圖：通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變為對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。
4.討論交流，延伸拓展
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