數學函數的教案（通用20篇）
作為一位優秀的人民教師，通常需要用到教案來輔助教學，教案有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。那么應當如何寫教案呢？以下是小編為大家整理的數學函數的教案 ，歡迎大家分享。
數學函數的教案 1
教學目標
1.使學生了解反函數的概念；
2.使學生會求一些簡單函數的反函數；
3.培養學生用辯證的觀點觀察、分析解決問題的能力。
教學重點
1.反函數的概念；
2.反函數的求法。
教學難點
反函數的概念。
教學方法
師生共同討論
教具裝備
幻燈片2張
第一張：反函數的定義、記法、習慣記法。（記作A）；
第二張：本課時作業中的預習內容及提綱。
教學過程
（I）講授新課
（檢查預習情況）
師：這節課我們來學習反函數（板書課題）§2.4.1 反函數的概念。
同學們已經進行了預習，對反函數的概念有了初步的了解，誰來復述一下反函數的定義、記法、習慣記法？
生：（略）
（學生回答之后，打出幻燈片A）。
師：反函數的定義著重強調兩點：
（1）根據y= f(x)中x與y的關系，用y把x表示出來，得到x=φ（y）；
（2）對于y在c中的任一個值，通過x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它對應。
師：應該注意習慣記法是由記法改寫過來的。
師：由反函數的定義，同學們考慮一下，怎樣的映射確定的函數才有反函數呢？
生：一一映射確定的函數才有反函數。
（學生作答后，教師板書，若學生答不來，教師再予以必要的啟示）。
師：在y= f(x)中與y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x與后者中的x都屬于同一個集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自變量，y是函數值；后者y是自變量，x是函數值。）
在y= f(x)中與y= f –1(x)中的x都是自變量，y都是函數值，即x、y在兩式中所處的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y，前者中的y是后者中的x。）
由此，請同學們談一下，函數y= f(x)與它的反函數y= f –1(x)兩者之間，定義域、值域存在什么關系呢？
生：（學生作答，教師板書）函數的'定義域，值域分別是它的反函數的值域、定義域。
師：從反函數的概念可知：函數y= f (x)與y= f –1(x)互為反函數。
從反函數的概念我們還可以知道，求函數的反函數的方法步驟為：
（1）由y= f (x)解出x= f –1(y)，即把x用y表示出；
（2）將x= f –1(y)改寫成y= f –1(x)，即對調x= f –1(y)中的x、y。
（3）指出反函數的定義域。
下面請同學自看例1
（II）課堂練習 課本P68練習1、2、3、4。
（III）課時小結
本節課我們學習了反函數的概念，從中知道了怎樣的映射確定的函數才有反函數并求函數的反函數的方法步驟，大家要熟練掌握。
（IV）課后作業
一、課本P69習題2.4 1、2、
二、預習：互為反函數的函數圖象間的關系，親自動手作題中要求作的圖象。
板書設計
課題： 求反函數的方法步驟：
定義：（幻燈片）
注意： 小結
一一映射確定的
函數才有反函數
函數與它的反函
數定義域、值域的關系。
數學函數的教案 2
教學目標：
1.進一步理解指數函數的性質；
2.能較熟練地運用指數函數的性質解決指數函數的平移問題；
教學重點：
指數函數的性質的應用；
教學難點：
指數函數圖象的平移變換。
教學過程：
一、情境創設
1.復習指數函數的概念、圖象和性質
練習：函數y=ax(a0且a1)的定義域是_____，值域是______，函數圖象所過的定點坐標為。若a1，則當x0時，y 1；而當x0時，y 1.若00時，y 1；而當x0時，y 1、
2.情境問題：指數函數的性質除了比較大小，還有什么作用呢?我們知道對任意的a0且a1，函數y=ax的圖象恒過(0，1)，那么對任意的a0且a1，函數y=a2x1的圖象恒過哪一個定點呢?
二、數學應用與建構
例1 解不等式：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4)。
小結：解關于指數的不等式與判斷幾個指數值的大小一樣，是指數性質的.運用，關鍵是底數所在的范圍.
例2 說明下列函數的圖象與指數函數y=2x的圖象的關系，并畫出它們的示意圖：
小結：指數函數的平移規律：y=f(x)左右平移 y=f(x+k)(當k0時，向左平移，反之向右平移)，上下平移 y=f(x)+h(當h0時，向上平移，反之向下平移).
練習：
(1)將函數f (x)=3x的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，可以得到函數 的圖象.
(2)將函數f (x)=3x的圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位，可以得到函數 的圖象.
(3)將函數 圖象先向左平移2個單位，再向下平移1個單位所得函數的解析式是。
(4)對任意的a0且a1，函數y=a2x1的圖象恒過的定點的坐標是。函數y=a2x-1的圖象恒過的定點的坐標是。
小結：指數函數的定點往往是解決問題的突破口!定點與單調性相結合，就可以構造出函數的簡圖，從而許多問題就可以找到解決的突破口.
(5)如何利用函數f(x)=2x的圖象，作出函數y=2x和y=2|x2|的圖象?
(6)如何利用函數f(x)=2x的圖象，作出函數y=|2x-1|的圖象?
小結：函數圖象的對稱變換規律.
例3 已知函數y=f(x)是定義在R上的奇函數，且x0時，f(x)=1-2x，試畫出此函數的圖象.
例4 求函數 的最小值以及取得最小值時的x值.
小結：復合函數常常需要換元來求解其最值.
練習：
(1)函數y=ax在[0，1]上的最大值與最小值的和為3，則a等于 ；
(2)函數y=2x的值域為 ；
(3)設a0且a1，如果y=a2x+2ax-1在[-1，1]上的最大值為14，求a的值；
(4)當x0時，函數f(x)=(a2-1)x的值總大于1，求實數a的取值范圍.
三、小結
1.指數函數的性質及應用；
2.指數型函數的定點問題；
3.指數型函數的草圖及其變換規律.
四、作業：
課本P55-6，7。
五、課后探究
(1)函數f(x)的定義域為(0，1)，則函數 的定義域為。
(2)對于任意的x1，x2R ，若函數f(x)=2x ，試比較 的大小。
數學函數的教案 3
一、目標：
1.讓學生熟練掌握二次函數的圖象，并會判斷一元二次方程根的存在性及根的個數 ；
2.讓學生了解函數的零點與方程根的聯系 ；
3.讓學生認識到函數的圖象及基本性質(特別是單調性)在確定函數零點中的作用 ；
4.培養學生動手操作的能力 。
二、教學重點、難點
重點：零點的概念及存在性的判定；
難點：零點的確定。
三、復習引入
例1：判斷方程 x2-x-6=0 解的'存在。
分析：考察函數f(x)= x2-x-6， 其圖像為拋物線容易看出，f(0)=-60，
f(4)0，f(-4)0
由于函數f(x)的圖像是連續曲線，因此，
點B (0，-6)與點C(4，6)之間的那部分曲線
必然穿過x軸，即在區間(0，4)內至少有點
X1 使f(X1)=0；同樣，在區間(-4，0) 內也至
少有點X2，使得f( X2)=0，而方程至多有兩
個解，所以在(-4，0)，(0，4)內各有一解
定義：對于函數y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數 x叫函數y=f(x)的零點
抽象概括
y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標叫做該函數的零點，即f(x)=0的解。
若y=f(x)的圖像在[a，b]上是連續曲線，且f(a)f(b)0，則在(a，b)內至少有一個零點，即f(x)=0在 (a，b)內至少有一個實數解。
f(x)=0有實根(等價與y=f(x))與x軸有交點(等價與)y=f(x)有零點
所以求方程f(x)=0的根實際上也是求函數y=f(x)的零點
注意：
1、這里所說若f(a)f(b)0，則在區間(a，b)內方程f(x)=0至少有一個實數解指出了方程f(x)=0的實數解的存在性，并不能判斷具體有多少個解；
2、若f(a)f(b)0，且y=f(x)在(a，b)內是單調的，那么，方程f(x)=0在(a，b)內有唯一實數解；
3、我們所研究的大部分函數，其圖像都是連續的曲線；
4、但此結論反過來不成立，如：在[-2，4]中有根，但f(-2)0， f(4) 0，f(-2) f(4)
5、缺少條件在[a，b]上是連續曲線則不成立，如：f(x)=1/ x，有f(-1)xf(1)0但沒有零點。
四、知識應用
例2：已知f(x)=3x-x2 ，問方程f(x)=0在區間[-1，0]內沒有實數解?為什么?
解：f(x)=3x-x2的圖像是連續曲線， 因為
f(-1)=3-1-(-1)2 =-2/30， f(0)=30-(0)2 =-10，
所以f(-1) f(0) 0，在區間[-1，0]內有零點，即f(x)=0在區間[-1，0]內有實數解
練習：求函數f(x)=lnx+2x-6 有沒有零點?
例3 判定(x-2)(x-5)=1有兩個相異的實數解，且有一個大于5，一個小于2、
解：考慮函數f(x)=(x-2)(x-5)-1，有
f(5)=(5-2)(5-5)-1=-1
f(2)=(2-2)(2-5)-1=-1
又因為f(x)的圖像是開口向上的拋物線，所以拋物線與橫軸在(5，+)內有一個交點，在( -，2)內也有一個交點，所以方程式(x-2)(x-5)=1有兩個相異數解，且一個大于5，一個小于2、
練習：關于x的方程2x2-3x+2m=0有兩個實根均在[-1，1]內，求m的取值范圍。
五、課后作業
p133第2，3題
數學函數的教案 4
一、教學目的
1、使學生進一步理解自變量的取值范圍和函數值的意義。
2、使學生會用描點法畫出簡單函數的圖象。
二、教學重點、難點
重點：
1、理解與認識函數圖象的意義。
2、培養學生的看圖、識圖能力。
難點：
在畫圖的三個步驟的`列表中，如何恰當地選取自變量與函數的對應值問題。
三、教學過程
1、畫函數圖象的方法是描點法。其步驟：
（1）列表。要注意適當選取自變量與函數的對應值。什么叫“適當”？——這就要求能選取表現函數圖象特征的幾個關鍵點。比如畫函數y=3x的圖象，其關鍵點是原點（0，0），只要再選取另一個點如M（3，9）就可以了。
一般地，我們把自變量與函數的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，這就要把自變量與函數的對應值列出表來。
（2）描點。我們把表中給出的有序實數對，看作點的坐標，在直角坐標系中描出相應的點。
（3）用光滑曲線連線。根據函數解析式比如y=3x，我們把所描的兩個點（0，0），（3，9）連成直線。
一般地，根據函數解析式，我們列表、描點是有限的幾個，只需在平面直角坐標系中，把這有限的幾個點連成表示函數的曲線（或直線）。
2、講解畫函數圖象的三個步驟和例。畫出函數y=x+0.5的圖象。
小結
本節課的重點是讓學生根據函數解析式畫函數圖象的三個步驟，自己動手畫圖。
練習：
①選用課本練習（前一節已作：列表、描點，本節要求連線）
②補充題：畫出函數y=5x－2的圖象。
作業：選用課本習題。
四、教學注意問題
1、注意滲透數形結合思想。通過研究函數的圖象，對圖象所表示的一個變量隨另一個變量的變化而變化就更有形象而直觀的認識。把函數的解析式、列表、圖象三者結合起來，更有利于認識函數的本質特征。
2、注意充分調動學生自己動手畫圖的積極性。
3、認識到由于計算器和計算機的普及化，代替了手工繪圖功能。故在教學中要傾向培養學生看圖、識圖的能力。
數學函數的教案 5
教學目標：
(一)教學知識點：
1.對數函數的概念；
2.對數函數的圖象和性質.
(二)能力訓練要求：
1.理解對數函數的概念；
2.掌握對數函數的圖象和性質.
(三)德育滲透目標：
1.用聯系的觀點分析問題；
2.認識事物之間的互相轉化.
教學重點：
對數函數的圖象和性質
教學難點：
對數函數與指數函數的關系
教學方法：
聯想、類比、發現、探索
教學輔助：
多媒體
教學過程：
一、引入對數函數的概念
由學生的預習，可以直接回答“對數函數的概念”
由指數、對數的定義及指數函數的概念，我們進行類比，可否猜想有：
這節課我們所要研究的便是指數函數的反函數——對數函數。
二、講授新課
1.對數函數的定義：
定義域：(0，+∞)；值域：(-∞，+∞)
2.對數函數的圖象和性質：
因為對數函數與指數函數互為反函數。所以與圖象關于直線對稱。
因此，我們只要畫出和圖象關于直線對稱的曲線，就可以得到的.圖象。
研究指數函數時，我們分別研究了底數和兩種情形。
那么我們可以畫出與圖象關于直線對稱的曲線得到的圖象。
還可以畫出與圖象關于直線對稱的曲線得到的圖象。
請同學們作出與的草圖，并觀察它們具有一些什么特征？
對數函數的圖象與性質：
圖象
性質（1）定義域：
（2）值域：
（3）過定點，即當時，
（4）上的增函數
（4）上的減函數
3.圖象的加深理解：
下面我們來研究這樣幾個函數：
我們發現：
與圖象關于X軸對稱；與圖象關于X軸對稱。
一般地，與圖象關于X軸對稱。
再通過圖象的變化（變化的值），我們發現：
（1）時，函數為增函數，
（2）時，函數為減函數，
4.練習：
(1)曲線分別為函數，的圖像，試問的大小關系如何？
(2)比較下列各組數中兩個值的大小：
(3)解關于x的不等式：
思考：(1)比較大小：
(2)解關于x的不等式：
三、小結
這節課我們主要介紹了指數函數的反函數——對數函數。并且研究了對數函數的圖象和性質。
四、課后作業
課本P85，習題2、8，1、3
數學函數的教案 6
教學目標
1、知識與技能
了解函數的概念，弄清自變量與函數之間的關系。
2、過程與方法
經歷探索函數概念的過程，感受函數的模型思想。
3、情感、態度與價值觀
培養觀察、交流、分析的思想意識，體會函數的實際應用價值。
重、難點與關鍵
1、重點：認識函數的概念。
2、難點：對函數中自變量取值范圍的確定。
3、關鍵：從實際出發，由具體到抽象，建立函數的模型。
教學方法
采用“情境──探究”的方法，讓學生從具體的情境中提升函數的思想方法。
教學過程
一、回顧交流，聚焦問題
1、變量（P94）中5個思考題。
【教師提問】
同學們通過學習“變量”這一節內容，對常量和變量有了一定的認識，請同學們舉出一些現實生活中變化的實例，指出其中的常量與變量。
【學生活動】思考問題，踴躍發言。（先歸納出5個思考題的關系式，再舉例）
【教師活動】激發興趣，鼓勵學生聯想，2、在地球某地，溫度T（℃）與高度d（m）的關系可以挖地用T=10-來表示，請你根據這個關系式回答下列問題：
（1）指出這個關系式中的變量和常量。
（2）填寫下表。
高度d/m 0，200，400，600，800，1000
溫度T/℃
（3）觀察兩個變量之間的聯系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就______。
3、課本P7“觀察”。
【學生活動】四人小組互動交流，踴躍發言
二、討論交流，形成概念
【函數定義】
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。
【教師活動】歸納出函數的.定義。強調在上述活動中的關系式是函數關系式。提問學生，兩個變量中哪個是自變量呢？哪個是這個自變量的函數？
【學生活動】辨析理解，如：T=10-這個函數關系式中，d是自變量，T是d的函數等。弄清函數定義中的問題。
三、繼續探究，感知輕重
課本P8探究題。
【學生活動】使用計算器進行探索活動，回答問題，理解函數概念。
（1）y=2x+5，y是x的函數；
（2）y=2x+1，y是x的函數。
四、范例點擊，提高認知
【例1】一輛汽車的油箱中現有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為/km。
（1）寫出表示y與x的函數關系的式子。
（2）指出自變量x的取值范圍。
（3）汽車行駛200km時，油箱中還有多少汽油？
【教師活動】講例，啟發引導學生共同解決上述例1、
五、隨堂練習，鞏固深化
課本P99練習。
六、課堂總結，發展潛能
1、用數學式子表示函數的方法叫做表達式法（解析式法），它只是函數表示法的一種。
2、求函數的自變量取值范圍的方法。
（1）要使函數的表達式有意義；
（2）對實際問題中的函數關系，要使實際問題有意義。
3、把所給自變量的值代入函數表達式中，就可以求出相應的函數值。
七、布置作業，專題突破
課本P106習題14。1第1，2，3，4題。
數學函數的教案 7
教學目標：
1、進一步理解函數的概念，能從簡單的實際事例中，抽象出函數關系，列出函數解析式；
2、使學生分清常量與變量，并能確定自變量的取值范圍。
3、會求函數值，并體會自變量與函數值間的對應關系。
4、使學生掌握解析式為只含有一個自變量的簡單的整式、分式、二次根式的函數的自變量的取值范圍的求法。
5、通過函數的教學使學生體會到事物是相互聯系的。是有規律地運動變化著的。
教學重點：
了解函數的意義，會求自變量的取值范圍及求函數值。
教學難點：
函數概念的抽象性。
教學過程：
（一）引入新課：
上一節課我們講了函數的概念：一般地，設在一個變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數。
生活中有很多實例反映了函數關系，你能舉出一個，并指出式中的自變量與函數嗎？
1、學校計劃組織一次春游，學生每人交30元，求總金額y（元）與學生數n（個）的關系。
2、為迎接新年，班委會計劃購買100元的小禮物送給同學，求所能購買的總數n（個）與單價（a）元的關系。
解：1、y=30n
y是函數，n是自變量
2、 ，n是函數，a是自變量。
（二）講授新課
剛才所舉例子中的函數，都是利用數學式子即解析式表示的。這種用數學式子表示函數時，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義。如第一題中的學生數n必須是正整數。
例1、求下列函數中自變量x的取值范圍。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
分析：在（1）、（2）中，x取任意實數， 與 都有意義。
（3）小題的 是一個分式，分式成立的條件是分母不為0。這道題的分母是 ，因此要求 。
同理（4）小題的 也是分式，分式成立的條件是分母不為0，這道題的分母是 ，因此要求 且 。
第（5）小題， 是二次根式，二次根式成立的條件是被開方數大于、等于零。 的被開方數是 。
同理，第（6）小題 也是二次根式， 是被開方數。
小結：從上面的例題中可以看出函數的解析式是整數時，自變量可取全體實數；函數的解析式是分式時，自變量的取值應使分母不為零；函數的解析式是二次根式時，自變量的取值應使被開方數大于、等于零。
注意：有些同學沒有真正理解解析式是分式時，自變量的取值應使分母不為零，片面地認為，凡是分母，只要 即可。教師可將解題步驟設計得細致一些。先提問本題的分母是什么？然后再要求分式的分母不為零。求出使函數成立的自變量的取值范圍。二次根式的問題也與次類似。
但象第（4）小題，有些同學會犯這樣的錯誤，將答案寫成 或 。在解一元二次方程時，方程的兩根用“或者”聯接，在這里就直接拿過來用。限于初中學生的接受能力，教師可聯系日常生活講清“且”與“或”。說明這里 與 是并且的關系。即2與—1這兩個值x都不能取。
例2、自行車保管站在某個星期日保管的自行車共有3500輛次，其中變速車保管費是每輛一次0。5元，一般車保管費是每次一輛0。3元。
（1）若設一般車停放的輛次數為x，總的保管費收入為y元，試寫出y關于x的函數關系式；
（2）若估計前來停放的3500輛次自行車中，變速車的'輛次不小于25%，但不大于40%，試求該保管站這個星期日收入保管費總數的范圍。
解：（1）是正整數
（2）若變速車的輛次不小于25%，但不大于40%，
則收入在1225元至1330元之間
總結：對于反映實際問題的函數關系，應使得實際問題有意義。這樣，就要求聯系實際，具體問題具體分析。
對于函數 ，當自變量 時，相應的函數y的值是 。60叫做這個函數當 時的函數值。
注：本例既鍛煉了學生的計算能力，又創設了情境，讓學生體會對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與之對應。以此加深對函數的理解。
（二）小結：
這節課，我們進一步地研究了有關函數的概念。在研究函數關系時首先要考慮自變量的取值范圍。因此，要求大家能掌握解析式含有一個自變量的簡單的整式、分式、二次根式的函數的自變量取值范圍的求法，并能求出其相應的函數值。另外，對于反映實際問題的函數關系，要具體問題具體分析。
作業：習題13、2A組2、3、5
數學函數的教案 8
一、教學目標
(一)知識教學點
知道一次函數的圖象是直線，了解直線方程的概念，掌握直線的傾斜角和斜率的概念以及直線的斜率公式。
(二)能力訓練點
通過對研究直線方程的必要性的分析，培養學生分析、提出問題的能力；通過建立直線上的點與直線的方程的解的一一對應關系、方程和直線的對應關系，培養學生的知識轉化、遷移能力。
(三)學科滲透點
分析問題、提出問題的思維品質，事物之間相互聯系、互相轉化的辯證唯物主義思想。
二、教材分析
1、重點：通過對一次函數的研究，學生對直線的方程已有所了解，要對進一步研究直線方程的內容進行介紹，以激發學生學習這一部分知識的興趣；直線的傾斜角和斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，是研究兩條直線位置關系的重要依據，要正確理解概念；斜率公式要在熟練運用上多下功夫。
2、難點：一次函數與其圖象的對應關系、直線方程與直線的對應關系是難點。由于以后還要專門研究曲線與方程，對這一點只需一般介紹就可以了。
3、疑點：是否有繼續研究直線方程的必要？
三、活動設計
啟發、思考、問答、討論、練習。
四、教學過程
(一)復習一次函數及其圖象
已知一次函數y=2x+1，試判斷點A(1，2)和點B(2，1)是否在函數圖象上。初中我們是這樣解答的：∵A(1，2)的坐標滿足函數式，
∴點A在函數圖象上。
∵B(2，1)的坐標不滿足函數式，∴點B不在函數圖象上。
現在我們問：這樣解答的理論依據是什么？(這個問題是本課的難點，要給足夠的時間讓學生思考、體會。)討論作答：判斷點A在函數圖象上的理論依據是：滿足函數關系式的點都在函數的圖象上；判斷點B不在函數圖象上的理論依據是：函數圖象上的點的坐標應滿足函數關系式。簡言之，就是函數圖象上的點與滿足函數式的有序數對具有一一對應關系。
(二)直線的方程
引導學生思考：直角坐標平面內，一次函數的圖象都是直線嗎？直線都是一次函數的圖象嗎？
一次函數的圖象是直線，直線不一定是一次函數的圖象，如直線x=a連函數都不是。一次函數y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，這個方程的解和它所表示的直線上的點一一對應。
以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點；反之，這條直線上的點的坐標都是這個方程的解。這時，這個方程就叫做這條直線的方程；這條直線就叫做這個方程的直線。
上面的定義可簡言之：(方程)有一個解(直線上)就有一個點；(直線上)有一個點(方程)就有一個解，即方程的解與直線上的點是一一對應的。
顯然，直線的方程是比一次函數包含對象更廣泛的一個概念。
(三)進一步研究直線方程的必要性
通過研究一次函數，我們對直線的方程已有了一些了解，但有些問題還沒有完全解決，如y=kx+b中k的幾何含意、已知直線上一點和直線的方向怎樣求直線的方程、怎樣通過直線的方程來研究兩條直線的位置關系等都有待于我們繼續研究。
(四)直線的傾斜角
一條直線l向上的方向與x軸的正方向所成的最小正角，叫做這條直線的傾斜角。特別地，當直線l和x軸平行時，我們規定它的傾斜角為0°，因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°。
直線傾斜角角的定義有下面三個要點：
(1)以x軸正向作為參考方向(始邊)；
(2)直線向上的'方向作為終邊；
(3)最小正角。
按照這個定義不難看出：直線與傾角是多對一的映射關系。
(五)直線的斜率
傾斜角不是90°的直線。它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示，即
直線與斜率之間的對應不是映射，因為垂直于x軸的直線沒有斜率。
(六)過兩點的直線的斜率公式
在坐標平面上，已知兩點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于兩點可以確定一條直線，直線P1P2就是確定的。當x1≠x2時，直線的傾角不等于90°時，這條直線的斜率也是確定的。怎樣用P2和P1的坐標來表示這條直線的斜率？
P2分別向x軸作垂線P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分別是M1、M2、Q。那么：
α=∠QP1P2(圖1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(圖1-22乙)
綜上所述，我們得到經過點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)兩點的直線的斜率公式：
對于上面的斜率公式要注意下面四點：
(1)當x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；
(2)k與P1、P2的順序無關；
(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；
(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。
(七)課后小結
(1)直線的方程的傾斜角的概念。
(2)直線的傾斜角和斜率的概念。
(3)直線的斜率公式。
數學函數的教案 9
一、教學類型
新知課
二、教學目標
1、理解指數函數的定義，初步掌握指數函數的定義域，值域及其奇偶性。
2、通過對指數函數的研究，使學生能把握函數研究的基本方法，激發學生的學習興趣。
三、教學重點和難點
重點：理解指數函數的定義，把握圖象和性質。
難點：認識底數對函數值影響的認識。
四、教學用具
投影儀
五、教學方法
啟發討論研究式
六、教學過程
1）引入新課
我們前面學習了指數運算，在此基礎上，今天我們要來研究一類新的常見函數——指數函數。指數函數（板書）
這類函數之所以重點介紹的原因就是它是實際生活中的一種需要。比如我們看下面的問題：
問題1：某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，……一個這樣的細胞分裂次后，得到的細胞分裂的個數與之間，構成一個函數關系，能寫出與之間的函數關系式嗎？
問題2：有一根1米長的繩子，第一次剪去繩長一半，第二次再剪去剩余繩子的一半，……剪了次后繩子剩余的`長度為米，試寫出與之間的函數關系。
1、定義：形如的函數稱為指數函數。（板書）
教師在給出定義之后再對定義作幾點說明。
2、幾點說明（板書）
（1）關于對的規定：
（2）關于指數函數的定義域（板書）
（3）關于是否是指數函數的判斷（板書）剛才分別認識了指數函數中底數，指數的要求，下面我們從整體的角度來認識一下，根據定義我們知道什么樣的函數是指數函數，請看下面函數是否是指數函數。學生回答并說明理由，教師根據情況作點評，指出只有（1）和（3）是指數函數，其中（3）可以寫成，也是指數圖象。最后提醒學生指數函數的定義是形式定義，就必須在形式上一摸一樣才行，然后把問題引向深入，有了定義域和初步研究的函數的性質，此時研究的關鍵在于畫出它的圖象，再細致歸納性質。
3、歸納性質。
數學函數的教案 10
教學目標：
（1）理解兩圓相切長等有關概念，掌握兩圓外公切線長的求法；
（2）培養學生的歸納、總結能力；
（3）通過兩圓外公切線長的求法向學生滲透“轉化”思想。
教學重點：
理解兩圓相切長等有關概念，兩圓外公切線的求法。
教學難點：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長學生理解的不透，容易混淆。
教學活動設計
（一）實際問題（引入）
很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象。（這里是一種簡單的數學建模，了解數學產生與實踐）
兩圓的公切線概念
1、概念：
教師引導學生自學。給出兩圓的外公切線、內公切線以及公切線長的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線。
(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線。
(2)內公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內公切線。
(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長。
2、理解概念：
(1)公切線的長與切線的長有何區別與聯系?
(2)公切線的長與公切線又有何區別與聯系?
(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的`長。但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點。
(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量。
（三）兩圓的位置與公切線條數的關系
組織學生觀察、概念、概括，培養學生的學習能力。添寫教材P143練習第2題表。
數學函數的教案 11
教學目標
(一)教學知識點
1.從現實情境和已有的知識經驗出發，討論兩個變量之間的相似關系，加深對函數概念的理解.
2.經歷抽象反比例函數概念的過程，領會反比例函數的意義，理解反比例函數的概念.
(二)能力訓練要求
結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數表達式。
(三)情感與價值觀要求
結合實例引導學生了解所討論的函數的表達形式，形成反比例函數概念的具體形象，是從感性認識到理性認識的轉化過程，發展學生的思維；同時體驗數學活動與人類生活的密切聯系及對人類歷史發展的作用.
教學重點
經歷抽象反比例函數概念的過程，領會反比例函數的意義，理解反比例函數的概念.
教學難點
領會反比例函數的意義，理解反比例函數的概念.
教學方法
教師引導學生進行歸納.
教具準備
投影片兩張
第一張：(記作5.1A)
第二張：(記作5.1B)
教學過程
Ⅰ.創設問題情境，引入新課
[師]我們在前面學過一次函數和正比例函數，知道一次函數的表達式為y=kx+b.其中k，b為常數且k≠0，正比例函數的表達式為y=kx，其中k為不為零的常數。但是在現實生活中，并不是只有這兩種類型的表達式。如從A地到B地的.路程為1200km，某人開車要從A地到B地，汽車的速度v(km/h)和時間t(h)之間的關系式為vt=1200，則t= 中t和v之間的關系式肯定不是正比例函數和一次函數的關系式，那么它們之間的關系式究竟是什么關系式呢?這就是本節課我們要揭開的奧秘。
Ⅱ.新課講解
[師]我們今天要學習的是反比例函數，它是函數中的一種，首先我們先來回憶一下什么叫函數?
1.復習函數的定義
[師]大家還記得函數的定義嗎?
[生]記得.
在某變化過程中有兩個變量x，y.若給定其中一個變量x的值，y都有唯一確定的值與它對應，則稱y是x的函數。
[師]大家能舉出實例嗎?
[生]可以.
例如購買單價是0.4元的鉛筆，總金額y(元)與鉛筆數n(個)的關系是y=0.4n.這是一個正比例函數。
等腰三角形的頂角的度數y與底角的度數x的關系為y=180-2x，y是x的一次函數。
[師]很好，我們復習了函數的定義以及正比例函數和一次函數的表達式以后，再來看下面實際問題中的變量之間是否存在函數關系，若是函數關系，那么是否為正比例或一次函數關系式。
2.經歷抽象反比例函數概念的過程，并能類推歸納出反比例函數的表達式。
3.做一做
小結
本節課我們學習了反比例函數的定義，并歸納總結出反比例函數的表達式為y= (k為常數，k≠0)，自變量x不能為零.還能根據定義和表達式判斷某兩個變量之間的關系是否是函數，是什么函數。
數學函數的教案 12
一、教學目標
①運用豐富的實例，使學生在具體情境中領悟函數概念的意義，了解常量與變量的含義、能分清實例中的常量與變量，了解自變量與函數的意義。
②通過動手實踐與探索，讓學生參與變量的發現和函數概念的形成過程，以提高分析問題和解決問題的能力。
③引導學生探索實際問題中的數量關系，培養對學習數學的興趣和積極參與數學活動的熱情、在解決問題的過程中體會數學的應用價值并感受成功的喜悅，建立自信心。
二、教學重點與難點
重點：函數概念的形成過程。
難點：正確理解函數的概念。
三、教學準備
每個小組一副彈簧秤和掛件，一根繩子。
四、教學設計
（一）提出問題：
1、汽車以60千米/時的速度勻速行駛、行駛里程為s千米，行駛時間為t小時、先填寫下面的表，再試著用含t的式子表示s：
t(小時) 1 2 3 4 5
s(千米)
2、已知每張電影票的售價為10元、如果早場售出150張，日場售出205張，晚場售出310張，那么三場電影的票房收入各為多少元?設一場電影售出x張票，票房收人為y元，怎樣用含x的式子表示y?
3、要畫一個面積為10cm2的圓，圓的半徑應取多少?畫面積為20cm2的圓呢?怎樣用含圓面積S的式子表示圓半徑r?
注：(1)讓學生充分發表意見，然后教師進行點評、
(2)挖掘和利用實際生活中與變量有關的問題情景，讓學生經歷探索具體情景中兩個變量關系的過程，直接獲得探索變量關系的體驗、
（二）動手實驗
1、在一根彈簧秤上懸掛重物，改變并記錄重物的質量。
如果彈簧原長10cm，每1kg重物使彈簧伸長0.5cm，怎樣用重物質量m(kg)的式子表示受力后的彈簧長度l(cm)?
2、用10dm長的繩子圍成矩形、試改變矩形的長，觀察矩形的面積怎樣變化，記錄不同的矩形的長的值，計算相應的矩形面積的值，探索它們的變化規律(用表格表示)、設矩形的長為xdm，面積為Sdm2，怎樣用含x的式子表示S?
注：分組進行實驗活動，然后各組選派代表匯報。
通過動手實驗，學生的學習積極性被充分調動起來，進一步深刻體會了變量間的關系，學會了運用表格形式來表示實驗信息。
五、探究新知
(一)變量與常量的概念
1、在學生動手實驗并充分發表自己意見的基礎上，師生共同歸納：上面的問題和實驗都反映了不同事物的變化過程、其中有些量(時間t、里程s、售出票數x、票房收入y等)的值是按照某種規律變化的在一個變化過程中，數值發生變化的量，我們稱之為變量、也有些量是始終不變的'，如上面問題中的速度60(千米/時)、票價10(元)等，我們稱之為常量。
2、請具體指出上面這些問題和實驗中，哪些量是變量，哪些量是常量。
3、舉出一些變化的實例，指出其中的變量和常量。
注：分組活動、先獨立思考，然后組內交流并作記錄，最后各組選派代表匯報。
培養學生主動參與、合作交流并能用數學的眼光看待世界的意識，提高觀察、分析、概括和抽象等的能力。
(二)函數的概念
1、在前面的每個問題和實驗中，是否各有兩個變量?同一個問題中的變量之間有什么聯系?
師生分析得出：上面的每個問題和實驗中的兩個變量互相聯系、當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有惟一確定的值。
2、分組討論教科書P、7 “觀察”中的兩個問題。
注：使學生加深對各種表示函數關系的表達方式的印象。
3、一般來說，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那么，我們就說x是自變量，y是x的函數、如果當x=a時，y=b，那么，b叫做當自變量的值為a時的函數值、例如在問題1中，時間t是自變量，里程s是t的函數、t=1時，其函數值s為60，t=2時，其函數值s為120、
同樣，在心電圖中，時間x是自變量，心臟電流y是x的函數；
在人口統計表中，年份x是自變量，人口數y是x的函數、當x=1999時，函數值y=12.52。
六、鞏固新知
下列各題中分別有幾個變量?你能將其中的某個變量看成是另一變量的函數嗎?
1、右圖是北京某日溫度變化圖
2、國內平信郵資(外埠，100克內)簡表：
信件質量m/克O
郵資y/元O、80 1、60 2、40
注：鞏固變量與函數的概念，讓學生充分體會到許多問題中的變量關系都存在著函數關系，初步了解函數的三種表示方法
七、總結歸納
1、常量與變量的概念；
2、函數的定義；
3、函數的三種表示方式。
注：通過總結歸納，完善學生已有的知識結構。
數學函數的教案 13
教學目標
1. 經歷從實際問題抽象出反比例函數的探索過程，發展學生的抽象思維能力。
2. 理解反比例函數的概念，會列出實際問題的反比例函數關系式。
3. 使學生會畫出反比例函數的圖象。
4. 經歷對反比例函數圖象的觀察、分析、討論、概括過程，會說出它的性質。
教學重點
1、 使學生了解反比例函數的表達式，會畫反比例函數圖象
2、 使學生掌握反比例函數的圖象性質
3、 利用反比例函數解題
教學難點
1、 列函數表達式
2、 反比例函數圖象解題
教學過程
教師活動
一、作業檢查與講評
二、復習導入
1.什么是正比例函數?
我們知道當
(1) 當路程s一定，時間t與速度v成反比例，即vt=s(s是常數)
(2) 當矩形面積一定時，長a和寬b成反比例，即ab=s(s是常數)
創設問題情境
問題1：小華的爸爸早晨騎自行車帶小華到15千米外的鎮上去趕集，回來時讓小華乘坐公共汽車，用的時間少了。假設自行車和汽車的速度在行駛過程中都不變，爸爸要小華找出從家里到鎮上的時間和乘坐不同交通工具的速度之間的關系。
分析 和其他實際問題一樣，要探求兩個變量之間的關系，就應先選用適當的符號表示變量，再根據題意列出相應的函數關系式。
設小華乘坐交通工具的速度是v千米/時，從家里到鎮上的時間是t小時.因為在勻速運動中，時間=路程÷速度，所以
從這個關系式中發現：
1.路程一定時，時間t就是速度v的反比例函數。即速度增大了，時間變小；速度減小了，時間增大.
2.自變量v的取值是v>0.
問題2：學校課外生物小組的同學準備自己動手，用舊圍欄建一個面積為24平方米的矩形飼養場.設它的一邊長為x(米)，求另一邊的長y(米)與x的函數關系式。
分析 根據矩形面積可知
xy=24，即
從這個關系中發現：
1.當矩形的面積一定時，矩形的一邊是另一邊的反比例函數。即矩形的一邊長增大了，則另一邊減小；若一邊減小了，則另一邊增大；
2.自變量的取值是x>0
三、新課講解
上述兩個函數都具有的形式，一般地，形如(k是常數，k≠0)的函數叫做反比例函數(proportional function).
說明
1.反比例函數與正比例函數定義相比較，本質上，正比例y=kx，即，k是常數，且k≠0；反比例函數，則xy=k，k是常數，且k≠0。可利用定義判斷兩個量x和y滿足哪一種比例關系
2.反比例函數的解析式又可以寫成：( k是常數，k≠0)。
3.要求出反比例函數的解析式，只要求出k即可
實踐應用
例1 下列函數關系中，哪些是反比例函數?
(1)已知平行四邊形的面積是12cm2，它的.一邊是acm，這邊上的高是hcm，則a與h的函數關系；
(2)壓強p一定時，壓力F與受力面積s的關系；
(3)功是常數W時，力F與物體在力的方向上通過的距離s的函數關系.
(4)某鄉糧食總產量為m噸，那么該鄉每人平均擁有糧食y(噸)與該鄉人口數x的函數關系式。
例2 當m為何值時，函數是反比例函數，并求出其函數解析式。
例3 將下列各題中y與x的函數關系與出來.
(1)，z與x成正比例；
(2)y與z成反比例，z與3x成反比例；
(3)y與2z成反比例，z與成正比例；
例4 已知y與x2成反比例，并且當x=3時，y=2.求x=1.5時y的值
分析 因為y與 x2成反比例，所以設，再用待定系數法就可以求出k，進而再求出y的值。
例5 已知y=y1+y2， y1與x成正比例，y2與x2成反比例，且x=2與x=3時，y的值都等于19。求y與x間的函數關系式。
小結
一般地，形如(k是常數，k≠0)的函數叫做反比例函數(proportional function)。
要求反比例函數的解析式，可通過待定系數法求出k值，即可確定。
練習2
1.分別寫出下列問題中兩個變量間的函數關系式，指出哪些是正比例函數，哪些是反比例函數，哪些既不是正比例函數也不是反比例函數?
(1)小紅一分鐘可以制作2朵花，x分鐘可以制作y朵花；
(2)體積為100cm3的長方體，高為hcm時，底面積為Scm2；
(3)用一根長50cm的鐵絲彎成一個矩形，一邊長為xcm時，面積為ycm2；
(4)小李接到對長為100米的管道進行檢修的任務，設每天能完成10米，x天后剩下的未檢修的管道長為y米
2.已知y與x-2成反比例，當x=4時，y=3，求當x=5時，y的值.
3.已知y=y1+y2， y1與成正比例，y2與x2成反比例.當x=1時，y=-12；當x=4時，y=7.(1)求y與x的函數關系式和x的取范圍；(2)當x=時，求y的值。
4.已知一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是ycm，寬是5cm，高是xcm
(1)寫出用高表示長的函數式；
(2)寫出自變量x的取值范圍；
(3)當x=3cm時，求y的值
5.試用描點作圖法畫出問題1中函數的圖象。
上節的練習中，我們畫出了問題1中函數的圖象，發現它并不是直線.那么它是怎么樣的曲線呢?本節課，我們就來討論一般的反比例函數(k是常數，k≠0)的圖象，探究它有什么性質。
二、探究歸納
1.畫出函數的圖象。
解 1.列表：這個函數中自變量x的取值范圍是不等于零的一切實數，列出x與y的對應值：
2.描點：用表里各組對應值作為點的坐標，在直角坐標系中描出在京各點點(-6，-1)、(-3，-2)、(-2，-3)等.
3.連線：用平滑的曲線將第一象限各點依次連起來，得到圖象的第一個分支；用平滑的曲線將第三象限各點依次連起來，得到圖象的另一個分支.這兩個分支合起來，就是反比例函數的圖象。
上述圖象，通常稱為雙曲線(hyperbola)。
提問 這兩條曲線會與x軸、y軸相交嗎?為什么?
畫出反比例函數的圖象
1.這個函數的圖象在哪兩個象限?和函數的圖象有什么不同?
2.反比例函數(k≠0)的圖象在哪兩個象限內?由什么確定?
3.聯系一次函數的性質，你能否總結出反比例函數中隨著自變量x的增加，函數y將怎樣變化?有什么規律?
反比例函數有下列性質：
(1)當k>0時，函數的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內y隨x的增加而減少；
(2)當k<0時，函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內y隨x的增加而增加。
注 1.雙曲線的兩個分支與x軸和y軸沒有交點；
2.雙曲線的兩個分支關于原點成中心對稱。
以上兩點性質在上堂課的問題1和問題2中反映了怎樣的實際意義?
在問題1中反映了汽車比自行車的速度快，小華乘汽車比騎自行車到鎮上的時間少。
在問題2中反映了在面積一定的情況下，飼養場的一邊越長，另一邊越小。
三、實踐應用
例1 若反比例函數的圖象在第二、四象限，求m的值.
分析 由反比例函數的定義可知： ，又由于圖象在二、四象限，所以m+1<0，由這兩個條件可解出m的值。
解 由題意，得 解得.
例2 已知反比例函數(k≠0)，當x>0時，y隨x的增大而增大，求一次函數y=kx-k的圖象經過的象限。
例3 已知反比例函數的圖象過點(1，-2)。
(1)求這個函數的解析式，并畫出圖象；
(2)若點A(-5，m)在圖象上，則點A關于兩坐標軸和原點的對稱點是否還在圖象上?
例4 已知函數為反比例函數。
(1)求m的值；
(2)它的圖象在第幾象限內?在各象限內，y隨x的增大如何變化?
(3)當-3≤x≤時，求此函數的最大值和最小值。
例5 一個長方體的體積是100立方厘米，它的長是y厘米，寬是5厘米，高是x厘米。
(1)寫出用高表示長的函數關系式；
(2)寫出自變量x的取值范圍；
(3)畫出函數的圖象。
說明 由于自變量x>0，所以畫出的反比例函數的圖象只是位于第一象限內的一個分支。
小結
本節課學習了畫反比例函數的圖象和探討了反比例函數的性質.
1.反比例函數的圖象是雙曲線(hyperbola).
2.反比例函數有如下性質：
(1)當k>0時，函數的圖象在第一、三象限，在每個象限內，曲線從左向右下降，也就是在每個象限內y隨x的增加而減少；
(2)當k<0時，函數的圖象在第二、四象限，在每個象限內，曲線從左向右上升，也就是在每個象限內y隨x的增加而增加。
數學函數的教案 14
一、素質教育目標
（一）知識教學點：
1、使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；
2、掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項。
（二）能力訓練點：
1、通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題和解決問題的能力；
2、通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性。
（三）德育滲透點：由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養學生用數學的意識。
二、教學重點、難點
1、教學重點：一元二次方程的意義及一般形式。
2、教學難點：正確識別一般式中的“項”及“系數”。
三、教學步驟
（一）明確目標
1、用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程。學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養學生手、腦、眼并用的能力。
2、現有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm 2 的無蓋的長方體盒子，那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？
教師啟發學生設未知數、列方程，經整理得到方程x 2 -70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題。
板書：“第十二章一元二次方程”。教師恰當的語言，激發學生的求知欲和學習興趣。
（二）整體感知
通過章前引例和節前引例，使學生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數學的意義；產生用數學的意識，調動學生積極主動參與數學活動中。同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位。
（三）重點、難點的學習及目標完成過程
1、復習提問
（1）什么叫做方程？曾學過哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？
（3）什么叫做分式方程？
問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊。
2、引例：剪一塊面積為150cm 2 的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？
引導，啟發學生設未知數列方程，并整理得方程x 2 +5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x 2 ＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念。
整式方程：方程的兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程稱為整式方程。
一元二次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定義的。一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一個未知數”，“二次”指的是“未知數的最高次數是2”。“元”和“次”的概念搞清楚則給定義一元三次方程等打下基礎。一元二次方程的定義是指方程進行合并同類項整理后而言的。這實際上是給出要判定方程是一元二次方程的步驟：首先要進行合并同類項整理，再按定義進行判斷。
3、練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x 2 ；
（2）7x 2 ＋6＝2x（3x＋1）；
（3）
（4）6x 2 ＝x；
（5）2x 2 ＝5y；
（6）-x 2 ＝0
4、任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式。
一元二次方程的一般形式：ax 2 ＋bx＋c＝0（a≠0）。ax 2 稱二次項，bx稱一次項，c稱常數項，a稱二次項系數，b稱一次項系數。
一般式中的`“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax 2 +bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解。
5、例1? 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數，一次項系數及常數項？
教師邊提問邊引導，板書并規范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
6、練習1：教材P。5中1，2、要求多數學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價。題目答案不唯一，最好二次項系數化為正數。
練習2：下列關于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數、一次項系數、常數項。
8mx-2m-1＝0；（4）（b 2 ＋1）x 2 -bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx。
教師提問及恰當的引導，對學生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化。
（四）總結、擴展
引導學生從下面三方面進行小結。從方法上學到了什么方法？從知識內容上學到了什么內容？分清楚概念的區別和聯系？
1、將實際問題用設未知數列方程轉化為數學問題，體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法。
2、整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數、一次項系數及常數項。歸納所學過的整式方程。
3、一元二次方程的意義與一般形式ax 2 ＋bx＋c＝0（a≠0）的區別和聯系。強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義。
四、布置作業
1、教材P。6 練習2、
2、思考題：
1）能不能說“關于x的整式方程中，含有x 2 項的方程叫做一元二次方程？”
2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有余力的學生思考）。
數學函數的教案 15
教學目標
（1）理解四種命題的概念；
（2）理解四種命題之間的相互關系，能由原命題寫出其他三種形式；
（3）理解一個命題的真假與其他三個命題真假間的關系；
（4）初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本步驟；
（5）通過對四種命題之間關系的學習，培養學生邏輯推理能力；
（6）通過對四種命題的存在性和相對性的認識，進行辯證唯物主義觀點教育；
（7）培養學生用反證法簡單推理的技能，從而發展學生的思維能力。
教學重點和難點
重點：四種命題之間的關系；難點：反證法的運用。
教學過程設計
第一課時：四種命題
一、導入新課
【練習】1、把下列命題改寫成“若則”的形式：
（1）同位角相等，兩直線平行；
（2）正方形的四條邊相等。
2、什么叫互逆命題？上述命題的逆命題是什么？
將命題寫成“若則”的形式，關鍵是找到命題的條件與結論。
如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，且第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互道命題。
上述命題的道命題是“若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形”和“若兩條直線平行，則同位角相等”。
值得指出的.是原命題和逆命題是相對的。我們也可以把逆命題當成原命題，去求它的逆命題。
3、原命題真，逆命題一定真嗎？
“同位角相等，兩直線平行”這個原命題真，逆命題也真。但“正方形的四條邊相等”的原命題真，逆命題就不真，所以原命題真，逆命題不一定真。
學生活動：
口答：
（1）若同位角相等，則兩直線平行；
（2）若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。
設計意圖：
通過復習舊知識，打下學習否命題、逆否命題的基礎。
二、新課
【設問】命題“同位角相等，兩條直線平行”除了能構成它的逆命題外，是否還可以構成其它形式的命題？
【講述】可以將原命題的條件和結論分別否定，構成“同位角不相等，則兩直線不平行”，這個命題叫原命題的否命題。
【提問】你能由原命題“正方形的四條邊相等”構成它的否命題嗎？
學生活動：
口答：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。
教師活動：
【講述】一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定，這樣的兩個命題叫做互否命題。把其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題。
若用和分別表示原命題的條件和結論，用┐和┐分別表示和的否定。
【板書】原命題：若則；
否命題：若┐則┐。
【提問】原命題真，否命題一定真嗎？舉例說明？
學生活動：
講論后回答：
原命題“同位角相等，兩直線平行”真，它的否命題“同位角不相等，兩直線不平行”不真。
原命題“正方形的四條邊相等”真，它的否命題“若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等”不真。
由此可以得原命題真，它的否命題不一定真。
設計意圖：
通過設問和討論，讓學生在自己舉例中研究如何由原命題構成否命題及判斷它們的真假，調動學生學習的積極性。
教師活動：
【提問】命題“同位角相等，兩條直線平行”除了能構成它的逆命題和否命題外，還可以不可以構成別的命題？
學生活動：
討論后回答
【總結】可以將這個命題的條件和結論互換后再分別將新的條件和結論分別否定構成命題“兩條直線不平行，則同位角不相等”，這個命題叫原命題的逆否命題。
教師活動：
【提問】原命題“正方形的四條邊相等”的逆否命題是什么？
學生活動：
口答：若一個四邊形的四條邊不相等，則不是正方形。
教師活動：
【講述】一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題叫做互為逆否命題。把其中一個命題叫做原命題，另一個命題就叫做原命題的逆否命題。
原命題是“若則”，則逆否命題為“若則。
【提問】“兩條直線不平行，則同位角不相等”是否真？“若一個四邊形的四條邊不相等，則不是正方形”是否真？若原命題真，逆否命題是否也真？
學生活動：
討論后回答
這兩個逆否命題都真。
原命題真，逆否命題也真。
教師活動：
【提問】原命題的真假與其他三種命題的真
假有什么關系？舉例加以說明？
【總結】
1、原命題為真，它的逆命題不一定為真。
2、原命題為真，它的否命題不一定為真。
3、原命題為真，它的逆否命題一定為真。
設計意圖：
通過設問和討論，讓學生在自己舉例中研究如何由原命題構成逆否命題及判斷它們的真假，調動學生學的積極性。
數學函數的教案 16
教學目標：
1、使學生能進一步理解函數的定義，根據實際情況求函數的定義域，并能利用函數解決實際問題中的最值問題。
2、滲透函數的數學思想，培養學生的數學建模能力，以及解決實際問題的.能力。
3、能初步建立應用數學的意識，體會到數學的抽象性和廣泛應用性。
教學重點：
1、從實際問題中抽象概括出運動變化的規律，建立函數關系式。
2、通過函數的性質及定義域范圍求函數的最值。
教學難點：
從實際問題中抽象概括出運動變化的規律，建立函數關系式
教學方法：
討論式教學法
教學過程：
例1、A校和B校各有舊電腦12臺和6臺，現決定送給C校10臺、D學校8臺，已知從A校調一臺電腦到C校、D學校的費用分別是40元和80元，從B校調運一臺電腦到C校、D學校的運費分別是30元和50元，試求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少?
(1)幾分鐘讓學生認真讀題，理解題意
(2)由題意可知，一種調配方案，對應一個費用。不同的調配方案對應不同的費用，在這個變化過程中，調配方案決定了總費用。它們之間存在著一定的關系。究竟是什么樣的關系呢？需要我們建立數學模型，將之形式化、數學化。
解法（一）列表分析：
設從A校調到C校x臺，則調到D學校（12―x）臺，B校調到C校是（10―x）臺。B校調到D學校是[6-(10-x)]即（x-4）臺，總運費為y。
根據題意：
y=40x+80（12-x）+30（10-x）+50（x-4）
y=40x+960-80x+300-30x+50x-200
=-20x+1060（4≤x≤10，且x是正整數）
y=-20x+1060是減函數。
∴當x=10時，y有最小值ymin=860
∴調配方案為A校調到C校10臺，調到D學校2臺，B校調到D學校2臺。
解法（二）列表分析
設從A校調到D學校有x臺，則調到C校（12―x）臺。B校調到C校是[10-(12-x)]即（x-2）臺。B校調到D學校是（8―x）臺，總運費為y。
y=40（12–x）+80x+30（x–2）+50（8-x）
=480–40x+80x+30x–60+400–50x
=20x+820（2≤x≤8，且x是正整數）
y=20x+820是增函數
∴x=2時，y有最小值ymin=860
數學函數的教案 17
一、教材分析
本節課在討論了二次函數y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像的基礎上對二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像和性質進行研究。主要的研究方法是通過配方將y=ax2+bx+c(a≠0)向y=a(x-h)2+k(a≠0)轉化，體會知識之間在內的聯系。在具體探究過程中，從特殊的例子出發，分別研究a>0和a<0的情況，再從特殊到一般得出y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像和性質。
二、學情分析
本節課前，學生已經探究過二次函數y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖像和性質，面對一般式向頂點式的轉化，讓學上體會化歸思想，分析這兩個式子的區別。
三、教學目標
(一)知識與能力目標
1. 經歷求二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點坐標的過程；
2. 能通過配方把二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，從而確定開口方向、頂點坐標和對稱軸。
(二)過程與方法目標
通過思考、探究、化歸、嘗試等過程，讓學生從中體會探索新知的方式和方法。
(三)情感態度與價值觀目標
1. 經歷求二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點坐標的過程，滲透配方和化歸的思想方法；
2. 在運用二次函數的知識解決問題的過程中，親自體會到學習數學知識的價值，從而提高學生學習數學知識的興趣并獲得成功的體驗。
四、教學重難點
1.重點
通過配方求二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點坐標。
2.難點
二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像的性質。
五、教學策略與 設計說明
本節課主要滲透類比、化歸數學思想。對比一般式和頂點式的區別和聯系；體會式子的恒等變形的重要意義。
六、教學過程
教學環節(注明每個環節預設的時間)
(一)提出問題(約1分鐘)
教師活動：形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的拋物線的對稱軸、頂點坐標分別是什么?那么對于一般式y=ax2+bx+c(a≠0)頂點坐標和對稱軸又怎樣呢?圖像又如何?
學生活動：學生快速回答出第一個問題，第二個問題引起學生的思考。
目的：由舊有的知識引出新內容，體現復習與求新的關系，暗示了探究新知的方法。
(二)探究新知
1.探索二次函數y=0.5x2-6x+21的函數圖像(約2分鐘)
教師活動：教師提出思考問題。這里教師適當引導能否將次一般式化成頂點式?然后結合頂點式確定其頂點和對稱軸。
學生活動：討論解決
目的：激發興趣
2.配方求解頂點坐標和對稱軸(約5分鐘)
教師活動：教師板書配方過程：y=0.5x2-6x+21=0.5(x2-12x+42)
=0.5(x2-12x+36-36+42)
=0.5(x-6)2+3
教師還應強調這里的配方法比一元二次方程的配方稍復雜，注意其區別與聯系。
學生活動：學生關注黑板上的講解內容，注意自己容易出錯的地方。
目的：即加深對本課知識的`認知有增強了配方法的應用意識。
3.畫出該二次函數圖像(約5分鐘)
教師活動：提出問題。這里要引導學生是否可以通過y=0.5x2的圖像的平移來說明該函數圖像。關注學生在連線時是否用平滑的曲線，對稱性如何。
學生活動：學生通過列表、描點、連線結合二次函數圖像的對稱性完成作圖。
目的：強化二次函數圖像的畫法。即確定開口方向、頂點坐標、對稱軸結合圖像的對稱性完成圖像。
4.探究y=-2x2-4x+1的函數圖像特點(約3分鐘)
教師活動：教師提出問題。找學生板演拋物線的開口方向、頂點和對稱軸內容，教師巡視，學生互相查找問題。這里教師要關注學生是否真正掌握了配方法的步驟及含義。
學生活動：學生獨立完成。
目的：研究a<0時一個具體函數的圖像和性質，體會研究二次函數圖像的一般方法。
5.結合該二次函數圖像小結y=ax2+bx+c(a≠0)的性質(約14分鐘)
教師活動：教師將y=ax2+bx+c(a≠0)通過配方化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式。確定函數頂點、對稱軸和開口方向并著重討論分析a>0和a<0時，y隨x的變化情況、拋物線與y的交點以及函數的最值如何。
學生活動：仔細理解記憶一般式中的頂點坐標、對稱軸和開口方向；理解y隨x的變化情況。
目的：體會由特殊到一般的過程。體驗、觀察、分析二次函數圖像和性質。
6.簡單應用(約11分鐘)
教師活動：教師板書：已知拋物線y=0.5x2-2x+1.5，求這條拋物線的開口方向、頂點坐標、對稱軸圖像和y軸的交點坐標并確定y隨x的變化情況和最值。
教師巡視，個別指導。教師在這里可以用兩種方法解決該問題：i)用配方法如例題所示；ii)我們可以先求出對稱軸，然后將對稱軸代入到原函數解析式求其函數值，此時對稱軸數值和所求出的函數值即為頂點的橫、縱坐標。
學生活動：學生先獨立完成，約3分鐘后討論交流，最后形成結論。
目的：鞏固新知
課堂小結(2分鐘)
1. 本節課研究的內容是什么?研究的過程中你遇到了哪些知識上的問題?
2. 你對本節課有什么感想或疑惑?
布置作業(1分鐘)
1. 教科書習題22.1第6，7兩題；
2. 《課時練》本節內容。
教學反思
在教學中我采用了合作、體驗、探究的教學方式。在我引導下，學生通過觀察、歸納出二次函數y=ax2+bx+c的圖像性質，體驗知識的形成過程，力求體現“主體參與、自主探索、合作交流、指導引探”的教學理念。整個教學過程主要分為三部分：第一部分是知識回顧；第二部分是學習探究；第三部分是課堂練習。從當堂的反饋和第二天的作業情況來看，絕大多數同學能掌握本節課的知識，達到了學習目標中的要求。
我認為優點主要包括：
1.教態自然，能注重身體語言的作用，聲音洪亮，提問具有啟發性。
2.教學目標明確、思路清晰，注重學生的自我學習培養和小組合作學習的落實。
3.板書字體端正，格式清晰明了，突出重點、難點。
4.我覺的精彩之處是求一般式的頂點坐標時的第二種方法，給學生減輕了一些負擔，不一定非得配方或運用公式求頂點坐標。
所以我對于本節課基本上是滿意的。但也有很多需要改進的地方主要表現在：
1.知識的生成過程體現的不夠具體，有些急于求成。在學生活動中自己引導的較少，時間較短，討論的不夠積極；
2.一般式圖像的性質自己總結的較多，學生發言較少，有些知識完全可以有學生提出并生成，這樣的結論學生理解起來會更深刻；
3.學生在回答問題的過程中我老是打斷學生。提問一個問題，學生說了一半，我就迫不及待地引導他說出下一半，有的時候是我替學生說了，這樣學生的思路就被我打斷了。破壞學生的思路是我們教師最大的毛病，此頑疾不除，教學質量難以保證。
4.合作學習的有效性不夠。正所謂：“水本無波，相蕩乃成漣漪；石本無火，相擊而生靈光。”只有真正把自主、探究、合作的學習方式落到實處，才能培養學生成為既有創新能力，又能適應現代社會發展的公民。
重新去解讀這節課的話我會注意以上一些問題，再多一些時間給學生，讓他們去體驗，探究而后形成自己的知識。
數學函數的教案 18
教學目標：
(一)教學知識點：
1.對數函數的概念；
2.對數函數的圖象和性質.
(二)能力訓練要求：
1.理解對數函數的概念；
2.掌握對數函數的圖象和性質.
(三)德育滲透目標：
1.用聯系的觀點分析問題；
2.認識事物之間的互相轉化.
教學重點：
對數函數的圖象和性質
教學難點：
對數函數與指數函數的關系
教學方法：
聯想、類比、發現、探索
教學輔助：
多媒體
教學過程：
一、引入對數函數的概念
由學生的預習，可以直接回答“對數函數的概念”
由指數、對數的定義及指數函數的概念，我們進行類比，可否猜想有：
問題：
1.指數函數是否存在反函數？
2.求指數函數的反函數．
3.結論
所以函數與指數函數互為反函數．
這節課我們所要研究的便是指數函數的反函數——對數函數．
二、講授新課
1.對數函數的定義：
定義域：(0,+∞)；值域:(-∞,+∞)
2.對數函數的圖象和性質：
因為對數函數與指數函數互為反函數．所以與圖象關于直線對稱．
因此，我們只要畫出和圖象關于直線對稱的曲線，就可以得到的圖象．
研究指數函數時，我們分別研究了底數和兩種情形．
那么我們可以畫出與圖象關于直線對稱的曲線得到的圖象．
還可以畫出與圖象關于直線對稱的曲線得到的圖象．
請同學們作出與的.草圖，并觀察它們具有一些什么特征？
對數函數的圖象與性質：
（1）定義域：
（2）值域：
（3）過定點，即當時，
（4）上的增函數
（4）上的減函數
3.練習：
(1)比較下列各組數中兩個值的大小：
(2)解關于x的不等式：
思考：
(1)比較大小：
(2)解關于x的不等式：
三、小結
這節課我們主要介紹了指數函數的反函數——對數函數．并且研究了對數函數的圖象和性質．
四、課后作業
課本P85，習題2．8，1、3
數學函數的教案 19
目標：
學生將了解什么是函數以及如何在數學中表示和應用函數。
教學步驟：
1、引入
教師可以用圖表、示例和互動活動來引入本節課的主題。例如，教師可以用一個圓的圖形來展示什么是函數，然后向學生解釋圓上的每個點代表著函數的輸入值，而圓上的每個點代表著函數的輸出值。
2、函數的定義
教師可以用一些示例來解釋函數的'定義。例如，如果有一個函數y = f(x)，那么這個函數告訴我們當x等于1時，y的值為2。在這個例子中，x是輸入值，y是輸出值。教師可以使用圖表來幫助學生理解這個概念。
3、函數的表示方法
教師可以向學生介紹不同的函數表示方法，包括等式、不等式和圖表。學生應該學會如何在數學中表示和應用函數。
4、函數的應用
教師可以提供一些實際應用的例子，如地圖投影、比例尺和三角函數。通過這些實際應用的例子，學生可以更好地理解函數在現實世界中的作用。
5、總結
教師可以通過問題回答、練習和互動活動來幫助學生總結本節課的內容。教師可以向學生提供一些練習題，讓他們在課后繼續學習和練習。
6、教學資源：
圖表、示例和實際應用的例子
練習題和互動活動
課件和視頻資源
評估：
練習題和互動活動
問題回答
課堂表現
反饋：
向學生提供及時的反饋和指導
與學生交流，了解他們的學習情況和進度
根據學生的反饋和表現，及時調整教學方法和策略。
數學函數的教案 20
教學目標：
理解函數的概念和性質；
能夠根據給定的條件求出函數的解析式；
能夠繪制函數的圖像；
能夠利用函數的性質進行簡單的運算。
教學內容：
函數的概念和性質；
函數的解析式和圖像；
函數的性質。
教學步驟：
一、引入
通過問題的形式引入函數的概念和性質。
例如：假設你去買水果，有三種水果，分別是蘋果、橙子和香蕉，每種水果有三個單位的數量，現在你需要購買的數量分別是10個蘋果、8個橙子和5個香蕉，那么你需要支付多少錢？
通過這個問題，學生可以感受到函數的實際應用，同時也能夠理解函數的概念和性質。
二、函數的概念和性質
函數的定義
定義：一個函數是由一個集合中的每個元素與另一個集合中的唯一元素對應而成的一種映射。
例如：對于集合{1,2,3}和集合{x,y,z}，它們之間的映射關系為：
{1,2,3}中的每個元素1、2、3分別對應{x,y,z}中的唯一元素x、y、z，即：
{1,2,3} -> {x,y,z}
函數的性質
1 唯一性
對于一個函數，它的定義域中的每個元素只能對應函數中的一個唯一的值，即每個元素只有一個解析式。
例如：函數f(x) = 2x + 1，定義域為實數集合，因此它的'解析式中只有一個解析式：f(x) = 2x + 1。
2 對稱性
函數的對稱性指的是函數在某個點處的取值相等，則該函數是對稱的。
例如：函數f(x) = x - 2，它在點x=1處的取值為f(1) = 1 - 2 = -1，因此它是對稱的。
3 奇偶性
函數的奇偶性指的是函數的圖像是否在某個象限內對稱。
例如：函數f(x) = x，它的圖像不在任何象限內對稱，因此它是奇函數。
4 可導性
函數的可導性指的是函數在某個點處的導數是否存在。
例如：函數f(x) = x - 4，它在點x=2處的導數存在，即f(2) = 4，因此它是可導函數。
三、函數的解析式和圖像
函數的解析式
定義：函數的解析式是函數在某個點處的具體取值。
例如：函數f(x) = x - 2，它在點x=1處的具體取值為f(1) = 1 - 2 = -1。
函數的圖像
定義：函數的圖像是函數的數軸對應圖形。
四、函數的性質
性質1：平移性
函數的平移性指的是對函數進行平移后，函數的值不變。
例如：函數f(x) = 2x，它對x平移2，得到的新函數為f(x+2) = 2(x+2)，兩個函數的值相等。
性質2：縮放性
函數的縮放性指的是對函數進行縮放后，函數的值也不變。
例如：函數f(x) = x，它對x縮放1/2，得到的新函數為f(x/2) = x/2，兩個函數的值相等。
性質3：對稱性
函數的對稱性指的是函數在某個點處的取值相等，則該函數是對稱的。
例如：函數f(x) = x - 2，它在點x=1處的取值為f(1) = 1 - 2 = -1，因此它是對稱的。
性質4：奇偶性
函數的奇偶性指的是函數的圖像是否在某個象限內對稱。
例如：函數f(x) = x，它的圖像不在任何象限內對稱，因此它是奇函數。
性質5：可導性
函數的可導性指的是函數在某個點處的導數是否存在。
例如：函數f(x) = x - 4，它在點x=2處的導數存在，即f(2) = 4，因此它是可導函數。
五、總結
通過本節課的學習，學生們掌握了函數的概念、性質、解析式和圖像，以及函數的性質。這些知識對于初中學生學習函數是非常重要的。
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