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復數的加法與減法
教學目標
（1）掌握復數加法與減法運算法則，能熟練地進行加、減法運算；
（2）理解并掌握復數加法與減法的幾何意義，會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題；
（3）能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題；
（4）通過學習平行四邊形法則和三角形法，培養學生的數形結合的數學思想；
（5）通過本節內容的學習，培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）．
教學建議
一、知識結構
二、重點、難點分析
本節的重點是復數加法法則。難點是復數加減法的幾何意義。復數加法法則是教材首先規定的法則，它是復數加減法運算的基礎，對于這個規定的合理性，在教學過程中要加以重視。復數加減法的幾何意義的難點在于復數加減法轉化為向量加減法，以它為根據來解決某些平面圖形的問題，學生對這一點不容易接受。
三、教學建議
（1）在復數的加法與減法中，重點是加法．教材首先規定了復數的加法法則．對于這個規定，應通過下面幾個方面，使學生逐步理解這個規定的合理性：①當 時，與實數加法法則一致；②驗證實數加法運算律在復數集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則．
（2）復數加法的向量運算講解設 ，畫出向量 ， 后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學生自己畫出和向量（即合向量） ，畫出向量 后，問與它對應的復數是什么，即求點Z的坐標OR與RZ（證法如教材所示）．
（3）向學生介紹復數加法的三角形法則．講過復數加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進行：如教材中圖8－5（2）所示，求 與 的和，可以看作是求 與 的和．這時先畫出第一個向量 ，再以 的終點為起點畫出第二個向量 ，那么，由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量 ，就是這兩個向量的和向量．
（4）向學生指出復數加法的三角形法則的好處．向學生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當 與 在同一直線上時，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復數減法的幾何意義時，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便．
（5）講解了教材例2后，應強調 （注意：這里 是起點， 是終點）就是同復數 － 對應的向量．點 ， 之間的距離 就是向量 的模，也就是復數 － 的模，即 ．
例如，起點對應復數－1、終點對應復數 的那個向量（如圖），可用 來表示．因而點 與 （ ）點間的距離就是復數 的模，它等于 。
教學設計示例
復數的減法及其幾何意義
教學目標
1．理解并掌握復數減法法則和它的幾何意義．
2．滲透轉化，數形結合等數學思想和方法，提高分析、解決問題能力．
3．培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）．
教學重點和難點
重點：復數減法法則．
難點：對復數減法幾何意義理解和應用．
教學過程設計
（一）引入新課
上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義．（板書課題：復數減法及其幾何意義）
（二）復數減法
復數減法是加法逆運算，那么復數減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，
1．復數減法法則
（1）規定：復數減法是加法逆運算；
（2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）．
把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導這個法則．
（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i．
推導的想法和依據把減法運算轉化為加法運算．
推導：設（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）．即復數 + i為復數 + i減去復數 + i的差．由規定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據復數相等定義，得
故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i．這樣推導每一步都有合理依據．
我們得到了復數減法法則，兩個復數的差仍是復數．是唯一確定的復數．
復數的加（減）法與多項式加（減）法是類似的．就是把復數的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i．
（三）復數減法幾何意義
我們有了做復數減法的依據——復數減法法則，那么復數減法的幾何意義是什么？
設z= + i（ ， ∈R），z1= + i（ ， ∈R），對應向量分別為 ， 如圖
由于復數減法是加法的逆運算，設z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由復數加法幾何意義，以 為一條對角線， 1為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復數z-z1的差（ - ）+（ - ）i對應，如圖．
在這個平行四邊形中與z-z1差對應的向量是只有向量 2嗎？
還有 ． 因為OZ2 Z1Z，所以向量 ，也與z-z1差對應．向量 是以Z1為起點，Z為終點的向量．
能概括一下復數減法幾何意義是：兩個復數的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應．
（四）應用舉例
在直角坐標系中標Z1（-2，5），連接OZ1，向量 1與多數z1對應，標點Z2（3，2），Z2關于x軸對稱點Z2（3，-2），向量 2與復數對應，連接，向量與的差對應（如圖）．
例2 根據復數的幾何意義及向量表示，求復平面內兩點間的距離公式．
解：設復平面內的任意兩點Z1，Z2分別表示復數z1，z2，那么Z1Z2就是復數對應的向量，點之間的距離就是向量的模，即復數z2-z1的模．如果用d表示點Z1，Z2之間的距離，那么d=|z2-z1|．
例3 在復平面內，滿足下列復數形式方程的動點Z的軌跡是什么．
（1）|z-1-i|=|z+2+i|；
方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復數Z與復數1+i差的模．
幾何意義是是動點Z與定點（1，1）間的距離．方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復數z與復數-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離．這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線．
（2）|z+i|+|z-i|=4；
方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡．滿足方程的動點軌跡是橢圓．
（3）|z+2|-|z-2|=1．
這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線．是雙曲線右支．
由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復數方程．使有些曲線方程形式變得更為簡捷．且反映曲線的本質特征．
例4 設動點Z與復數z= + i對應，定點P與復數p= + i對應．求
（1）復平面內圓的方程；
解：設定點P為圓心，r為半徑，如圖
由圓的定義，得復平面內圓的方程|z-p|=r．
（2）復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點Z的集合是什么圖形？
解：復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）．利用復平面內兩點間距離公式，可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程．不等式等問題．
（五）小結
我們通過推導得到復數減法法則，并進一步得到了復數減法幾何意義，應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式，可以用復數研究解析幾何問題，不等式以及最值問題．
（六）布置作業P193習題二十七：2，3，8，9．
探究活動
復數等式的幾何意義
復數等式 在復平面上表示以 為圓心，以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。
分析與解
1． 復數等式 在復平面上表示線段 的中垂線。
2． 復數等式 在復平面上表示一個橢圓。
3． 復數等式 在復平面上表示一條線段。
4． 復數等式 在復平面上表示雙曲線的一支。
5． 復數等式 在復平面上表示原點為O、 構成一個矩形。
說明 復數與復平面上的點有一一對應的關系，如果我們對復數的代數形式工（幾何意義）之
間的關系比較熟悉的話，必然會強化對復數知識的掌握。
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