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兩條直線的位置關(guān)系
教學(xué)目標(biāo)
（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系．
（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角．
（3）能夠根據(jù)兩條直線的方程求出它們的交點坐標(biāo)．
（4）掌握點到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用．
（5）進一步掌握求直線方程的方法．
（6）進一步理解直線方程的概念，理解運用直線的方程討論兩條直線位置關(guān)系的思想方法．
（7）通過點到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，理解數(shù)形結(jié)合的思想方法．
教學(xué)建議
一、教材分析
1．知識結(jié)構(gòu)
2．重點、難點分析
重點是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點到直線的距離．
難點是兩條直線垂直條件的推導(dǎo)；一條直線到另一條直線的角的概念和點到直線距離公式的推導(dǎo)．
本節(jié)內(nèi)容與后邊內(nèi)容聯(lián)系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應(yīng)用，因此非常重要．
（1）平行與垂直
①平行
在討論兩條直線平行的問題時，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據(jù)傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系，將初中學(xué)過的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質(zhì)定理）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語言，用斜率和截距重新加以刻畫，教學(xué)中應(yīng)注意斜率不存在的情況．
②垂直
教材上將直線的斜率轉(zhuǎn)化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件．結(jié)合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：
或 一個為0，另一個不存在．
（2）夾角
①應(yīng)正確區(qū)分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個概念．
到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與 重合時所轉(zhuǎn)的角，它與 到 的角是不同的，如果設(shè)前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ ． 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向．
當(dāng) 到 的角為銳角 時，則 和 的夾角也是 ；當(dāng) 到 的角為鈍角 時，則 和 的夾角也是 ．
②在求直線 到 的角 時，應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關(guān)系，得出 或 ，然后由 ， 聯(lián)想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語言來表示，推導(dǎo)出
．
再由 與 的夾角與 到 的角之間的關(guān)系，而得出夾角計算公式
這種把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的方法，是解析幾何的基本方法，要認(rèn)真揣摩．
③對于以上兩個求角公式，在解決實際問題時，要注意根據(jù)具體情況選用．
（3）交點
①求兩條直線的交點問題就是求它們的方程的公共解的問題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來理解．
②在同一平面內(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無解、無數(shù)多個解．但在實際判定時，利用直線的斜率和截距更方便．若 ， ，則：
與 相交 ；
且 ；
與 重合 且 ．
（4）點到直線的距離
①點到直線的距離公式是研究點與直線位置關(guān)系的重要工具．教科書借助于直角三角形的面積公式，推導(dǎo)出點到直線的距離公式．在推導(dǎo)過程中，把與兩條坐標(biāo)軸都不平行的線段的長度的計算，轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平等或垂直的線段長度的計算，從而簡化了運算過程．
②利用點到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： ．
③點到直線距離公式的推導(dǎo)，有多種方法，應(yīng)鼓勵同學(xué)們思考，下面介紹一種較簡便的方法．
如右圖，設(shè) ，過點 作直線 的垂線，垂足為 ，則有
即
得
，
即 ，
．
當(dāng) 時，上述公式也成立．
（5）當(dāng)直線中有一條沒有斜率時，討論平行、垂直、角、距離的問題，不必套用以上結(jié)論，這時可結(jié)合圖形幾何性質(zhì)；直接求解．
二、教法建議
1．本節(jié)知識與初中所學(xué)的平面幾何知識和三角知識聯(lián)系非常緊密，教學(xué)時應(yīng)加強啟發(fā)和引導(dǎo)．如學(xué)生對兩條直線的平行同位角相等的條件已經(jīng)非常熟悉，因此在研究兩直線平行時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生迅速建立聯(lián)系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）．又如，在求 到 的角 時，根據(jù)圖形中角的關(guān)系，建立 與傾斜角 和 的聯(lián)系（有且只有 或 兩種情況），進而借助三角建立與斜率的關(guān)系，得出公式．
2．本節(jié)內(nèi)容中在研究兩直線的垂直條件時，由于采用向量這一更高級的工具來處理，顯得既簡單又深刻．所以教學(xué)中應(yīng)注意向量工具的運用，可讓學(xué)生嘗試用向量推導(dǎo)兩直線平行的條件和點到直線距離公式的推導(dǎo)．
3．本節(jié)內(nèi)容新概念不多，但要求推導(dǎo)的內(nèi)容不少，教學(xué)時要堅持啟發(fā)式的教學(xué)思想，重點放在思路的探求和結(jié)論或公式的運用上．本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能熟練地掌握公式，增強學(xué)生動手計算的能力．本節(jié)還要加強根據(jù)已知條件求直線方程的教學(xué)．
4．不僅要使學(xué)生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據(jù)直線方程系數(shù)求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時會根據(jù)所給條件選用．
5．已知兩直線的方程會求其交點即可，不必研究兩直線方程系數(shù)與位置關(guān)系之間的關(guān)系．
6．在學(xué)習(xí)點到直線距離公式時，可利用課余時間發(fā)動學(xué)生尋找更多的推導(dǎo)公式的方法，并通過尋找多種推導(dǎo)公式的方法，鍛煉思維，培養(yǎng)能力．
7．本節(jié)學(xué)完以后學(xué)生可以解決很多較復(fù)雜、較綜合的問題，如對稱問題、直線系過定點問題、光路最短與足球射門角度最大等最值問題．教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)安排一些這樣的內(nèi)容，以訓(xùn)練學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．
教學(xué)設(shè)計方案
課題：點到直線的距離
教學(xué)目標(biāo)：（1）理解點到直線距離公式的推導(dǎo)過程.
（2）會求點到直線的距離.
（3）在探索點到直線距離公式推導(dǎo)思路的過程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、積極探索的精神.
教學(xué)用具：計算機
教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法
教學(xué)過程（m.baimashangsha.com）：
一、引入
點到直線的距離是指過點 作 的垂線， 與垂足 之間的長度
【問題1】已知點 （-1，2）和直線 ： ，求 點到直線 的距離．
（由學(xué)生分析、解答）
分析：先求出過 點和 垂直的直線：
： ，再求出 和 的交點
∴
如果把問題1一般化就有如下問題：
【問題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點到直線 的距離．
二、點到直線距離
分析1：要求 的長度可以象問題1的解法一樣，利用兩點的距離公式可以求 的長度．
∵ 點坐標(biāo)已知，∴只要求出 點坐標(biāo)就可以了．
又∵ 點是直線 和直線 的交點
又∵直線 的方程已知
∴只要求出直線 的方程就可以了.
即： ← 點坐標(biāo)←直線 與直線 的交點←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率
（這一解法在課前由學(xué)生自學(xué)完成，課上進行評價總結(jié)）
問：這種解法好不好，為什么?
根據(jù)學(xué)生討論，教師適時啟發(fā)、引導(dǎo)，得出
分析2：如果 垂直坐標(biāo)軸，則交點和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標(biāo)軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對而言 ，和 好求一些，事實上，設(shè) 到直線的距離為 ， 坐標(biāo)為 ， 坐標(biāo)為 ，則易求：
，
所以： ，
所以：
根據(jù)三角形面積公式：
所以： （至此問題2已經(jīng)解決）
公式 的完善.
容易驗證（由學(xué)生完成）：
當(dāng) ，即 軸時，公式成立；
當(dāng) ，即 軸時，公式成立；
當(dāng) 點在 上時，公式成立．
公式 結(jié)構(gòu)特點
師生一起總結(jié)：
（1）分子是 點坐標(biāo)代入直線方程；
（2）分母是直線未知數(shù) 、 系數(shù)平方和的算術(shù)根．
類似于勾股定理求斜邊的長
三、檢測與鞏固
練習(xí)1
（1） 到直線 的距離是________．
（2） 到直線 的距離是_______．
（3）用公式解 到直線 的距離是______．
（4） 到直線 的距離是_________．
訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） ．
練習(xí)2
1．求平行直線 和 的距離．
解：在直線 上任取一點，如 ，則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離．
因此， ＝ ＝
【問題3】
兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離．
解：在直線上 任取一點，如
則兩平行線的距離就是點 到直線 的距離，（如圖2）．
因此， ＝ ＝
注意：用公式時，注意一次項系數(shù)是否一致．
四、小結(jié)作業(yè)
1、點到直線的距離公式及其推導(dǎo)；
師生一起總結(jié)點到直線距離公式的推導(dǎo)過程：
2、利用公式求點到直線的距離．
3、探索兩平行直線的距離
4、探索“已知點到直線的距離及一條直線求另一條直線距離．
作業(yè)：P54 13、14、16思考研究：運用多種方法推導(dǎo)點到直線的距離公式．
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