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研究性課題與實習作業：線性規劃的實際應用
教學目標
（1）了解線性規化的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規化問題的圖解法；
（3）培養學生搜集、分析和整理信息的能力，在活動中學會溝通與合作，培養探索研究的能力和所學知識解決實際問題的能力；
（4）引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德．
教學建議
一、重點難點分析
學以致用，培養學生“用數學”的意識是本節的重要目的。學習線性規劃的有關知識其最終目的就是運用它們去解決一些生產、生活中問題，因而本節的教學重點是：線性規劃在實際生活中的應用。困難大多是如何把實際問題轉化為數學問題（既數學建模），所以把一些生產、生活中的實際問題轉化為線性規劃問題，就是本節課的教學難點。突破這個難點的關鍵就在于盡快熟悉生活，了解實際情況，并與所學知識緊密結合起來。
二、教法建議
（l）建議可適當采用電腦多媒體和投影儀等先進手段來輔助教學，以增加課堂容量，增強直觀性，進而提高課堂效率．
（2）課堂上可以設計幾個實際讓學生分組研討解答，一方面是復習線性規劃問題的一般解法，為總結線性規劃問題的數學模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調研積累經驗，讓學生在討論、探究過程中初步學會溝通與合作，共同完成活動任務．
（3）確定研究課題，建議各小組以三個常見問題為主，或者根據本小組實際自擬課題．
（4）活動安排，建議要求各小組分式明確，團結協作，聽從指揮，注意安全．學生研究活動的成果，可以用研究報告或論文的形式體現．一切以學生自己的自主探究活動為主，教師不能越俎代庖．
（5）對學生在課余時間開展的研究性課題，建議作做好成果展示、評估和交流．展示不僅可以讓全體學生來分享成果，享受成功的喜悅，而且還可以鍛煉學生的組織表達能力，增強學生的自信心．通過評估，可以使同學清楚地看到自己的優點與不足．通過交流研討，分享成果，進行思維碰撞，使認識和情感得到提升．
教學設計方案
教學目標
（1）了解線性規劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、線性規化問題、可行解、可行域以及最優解等基本概念；
（2）了解線性規劃問題的圖解法，并能應用它解決一些簡單的實際問題；
（3）培養學生觀察、聯想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數形結合的數學思想，提高學生“建模”和解決實際問題的能力；
（4）結合教學內容，培養學生學習數學的興趣和“用數學”的意識，激勵學生勇于創新．
重點難點
理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點。
如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點。
教學步驟
（一）引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標函數的線性規劃問題。那么是否有多個兩個變量的線性規劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規劃知識來解決呢？
（二）線性規劃問題的教學模型
線性規劃研究的是線性目標函數在線性約束條件下取最大值或最小值問題，一般地，線性規劃問題的數字模型是
已知 其中 都是常數， 是非負變量，求 的最大值或最小值，這里 是常量。
前面我們計論了兩個變量的線性規劃問題，這類問題可以用圖解法來求最優解，涉及更多變量的線性規劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它，那么對四元線性規劃問題就不能用圖形來求解了，對這樣的線性規劃問題怎樣求解，同學們今后在大學學習中會得到解決。
線性規劃在實際中的應用
線性規劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務，常見問題有：
1．物調運問題
例如，已知 兩煤礦每年的產量，煤需經 兩個車站運往外地， 兩個車站的運輸能力是有限的，且已知 兩煤礦運往 兩個車站的運輸價格，煤礦應怎樣編制調運方案，能使總運費最小？
2．產品安排問題
例如，某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一個單位的甲種或乙種產品需要的A、B、C三種材料的數量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個工廠在每個月中應如何安排這兩種產品的生產，能使每月獲得的總利潤最大？
3．下料問題
例如，要把一批長鋼管截成兩種規格的鋼管，應怎樣下料能使損耗最小？
4．研究一個例子
下面的問題，能否用線性規劃求解？如能，請同學們解出來。
某家具廠有方木料 ，五合板 ，準備加工成書桌和書櫥出售，已知生產每張書桌需要方木料 、五合板 ，生產每個書櫥需要方木料 、五合板 ，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？如何只安排生產書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產時可使所得利潤最大？
A．教師指導同學們逐步解答：
（1）先將已知數據列成下表
（2）設生產書桌x張，生產書櫥y張，獲利潤為z元。
分析：顯然這是一個二元線性問題，可歸結于線性規劃問題，并可用圖解法求解。
（3）目標函數
①在第一個問題中，即只生產書桌，則 ，約束條件為
∴ 最多生產300張書桌，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板先用光，方木料只用了 ，還有 沒派上用場。
②在第二個問題中，即只生產書櫥，則 ，約束條件是
∴ 最多生產600張書櫥，獲利潤 元
這樣安排生產，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 沒派上用場，獲利潤比只生產書桌多了48000元。
③在第三個問題中，即怎樣安排生產，可獲利潤最大？
，約束條件為
對此，我們用圖解法求解，
先作出可行域，如圖陰影部分。
時得直線 與 平行的直線 過可行域內的點M（0，600）。因為與 平等的過可行域內的點的所有直線中， 距原點最遠，所以最優解為 ，即此時
因此，只生產書櫥600張可獲得最大利潤，最大利潤是72000元。
B．討論
為什么會出現只生產書櫥，可獲最大利潤的情形呢？第一，書櫥比書桌價格高，因此應該盡可能多生產書櫥；第二，生產一張書櫥只需要五合板 ，生產一張書桌卻需要五合板 ，按家具廠五合板的存有量 ，可生產書櫥600張，若同時又生產書桌，則生產一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應的，家具廠方木料存有量為 ，而生產600張書櫥只需要方木料 。
這是一個特殊的線性規劃問題，再來研究它的解法。
C．改變這個例子的個別條件，再來研究它的解法。
將這個例子中方木料存有量改為 ，其他條件不變，則
作出可行域，如圖陰影部分，且過可行域內點M（100，400）而平行于 的直線 離原點的距離最大，所以最優解為（100，400），這時 （元）。
故生產書桌100、書櫥400張，可獲最大利潤56000元。
總結、擴展
1．線性規劃問題的數字模型。
2．線性規劃在兩類問題中的應用
布置作業
到附近的工廠、鄉鎮企業、商店、學校等作調查研究，了解線性規劃在實際中的應用，或提出能用線性規劃的知識提高生產效率的實際問題，并作出解答。把實習和研究活動的成果寫成實習報告、研究報告或小論文，并互相交流。
探究活動
如何確定水電站的位置
小河同側有兩個村莊A，B，兩村莊計劃于河上共建一水電站發電供兩村使用．已知 A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處，送電到兩村電線用料最省？
[解]視兩村莊為兩點A，B，小河為一條直線L，原問題便轉化成在直線上找一點P，使P點到A，B兩點距離之和為最小的問題．
以L所在直線為 軸， 軸通過A點建立直角坐標系，如圖所示．作A關于 軸的對稱點 ，連 ， 與 軸交于點P．由平面幾何知識得，點P即為所求．據已知條件，A（0，300）， （0，－300）．過B作 軸于點 ，過A作 ，于點H．
由 ， ，得B（300，700）．于是直線 的方程為
即
所以P點的坐標即為 與 軸的交點（90，0），即水電站應建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點90 m的地方
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