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下學期 4.10 正切函數的圖象和性質1
4.10 正切函數的圖象和性質
第一課時
（一）教學具準備
直尺、投影儀．
（二）教學目標
1．會用“正切線”和“單移法”作函數 的簡圖．
2．掌握正切函數的性質及其應用．
（三）教學過程
1．設置情境
正切函數是區別于正弦函數的又一三角函數，它與正弦函數的最大區別是定義域的不連續性，為了更好研究其性質，我們首先討論 的作圖．
2．探索研究
師：請同學們回憶一下，我們是怎樣利用單位圓中的正弦線作出 圖像的．
生：在單位圓上取終邊為 （弧度）的角，作出其正弦線 ，設 ，在直角坐標系下作點 ，則點 即為 圖像上一點．
師：這位同學講得非常好，本節課我們也將利用單位圓中的正切線來繪制 圖像．
（1）用正切線作正切函數圖像
師：首先我們分析一下正切函數 是否為周期函數？
生：∵
∴ 是周期函數， 是它的一個周期．
師：對，我們還可以證明， 是它的最小正周期．類似正弦曲線的作法，我們先作正切函數在一個周期上的圖像，下面我們利用正切線畫出函數 ， 的圖像．
作法如下：①作直角坐標系，并在直角坐標系 軸左側作單位圓．
②把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．
③找橫坐標（把 軸上 到 這一段分成8等份）．
④找縱坐標，正切線平移．
⑤連線．
圖1
根據正切函數的周期性，我們可以把上述圖像向左、右擴展，得到正切函數 ， 且 （ ）的圖像，并把它叫做正切曲線（如圖1）．
圖2
（2）正切函數的性質
請同學們結合正切函數圖像研究正切函數的性質：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性．
①定義域：
②值域
由正切曲線可以看出，當 小于 （ ）且無限親近于 時， 無限增大，即可以比任意給定的正數大，我們把這種情況記作 （讀作 趨向于正無窮大）；當 大于 且無限接近于 ， 無限減小，即取負值且它的絕對值可以比任意給定的正數大，我們把這種情況記作 （讀作 趨向于負無窮大）．這就是說， 可以取任何實數值，但沒有最大值、最小值．
因此，正切函數的值域是實數集 ．
③周期性
正切函數是周期函數，周期是 ．
④奇偶性
∵ ，∴正切函數是奇函數，正切曲線關于原點 對稱．
⑤單調性
由正切曲線圖像可知：正切函數在開區間（ ， ）， 內都是增函數．
（3）例題分析
【例1】求函數 的定義域．
解：令 ，那么函數 的定義域是
由 ，可得
所以函數 的定義域是
【例2】不通過求值，比較下列各組中兩個正切函數值的大小：
（1） 與 ；
（2） 與 ．
解：（1）∵
又 ∵ ，在 上是增函數
∴
（2）∵
又 ∵ ，函數 ， 是增函數，
∴ 即 ．
說明：比較兩個正切型實數的大小，關鍵是把相應的角誘導到 的同一單調區間內，利用 的單調遞增性來解決．
3．演練反饋（投影）
（1）直線 （ 為常數）與正切曲線 （ 為常數且 ）相交的相鄰兩點間的距離是（ ）
A． B． C． D．與 值有關
（2） 是 的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（3）根據三角函數的圖像寫出下列不等式成立的角 集合
① ②
參考答案：
（1）C．注： 與 相鄰兩點之間距離即為周期長
（2）D．注：由 ，但 ，反之 ，但
（3）①
②
4．總結提煉
（1） 的作圖是利用平移正切線得到的，當我們獲得 上圖像后，再利用周期性把該段圖像向左右延伸、平移。
（2） 性質．
定義域
值域
周期
奇偶性
單調增區間
對稱中心
漸近線方程
奇函數
，
（四）板書設計
課題……
1．用正切線作正切函數圖像
2．正切函數的性質
例1
例2
演練反饋
總結提煉
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