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上學期 2.2 函數
教學目標：
1．理解函數的概念，了解函數三要素．
2．通過對函數抽象符號的認識與使用，使學生在符號表示方面的能力得以提高．
3．通過函數定義由變量觀點向映射觀點得過渡，使學生能從發展與聯系的角度看待數學學習．
教學重點難點：重點是在映射的基礎上理解函數的概念；
難點是對函數抽象符號的認識與使用．
教學用具：投影儀
教學方法：自學研究與啟發討論式．
教學過程：
一、復習與引入
今天我們研究的內容是函數的概念．函數并不象前面學習的集合，映射一樣我們一無所知，而是比較熟悉，所以我先找同學說說對函數的認識，如函數是什么?學過什么函數?
(要求學生盡量用自己的話描述初中函數的定義，并試舉出各類學過的函數例子)
學生舉出如 等，待學生說完定義后教師打出投影片，給出定義之后教師也舉一個例子，問學生．
提問1． 是函數嗎?
(由學生討論，發表各自的意見，有的認為它不是函數，理由是沒有兩個變量，也有的認為是函數，理由是可以可做 ．)
教師由此指出我們爭論的焦點，其實就是函數定義的不完善的地方，這也正是我們今天研究函數定義的必要性，新的定義將在與原定義不相違背的基礎上從更高的觀點，將它完善與深化．
二、新課
現在請同學們打開書翻到第50 頁，從這開始閱讀有關的內容，再回答我的問題．(約2-3分鐘或開始提問)
提問2．新的函數的定義是什么?能否用最簡單的語言來概括一下．
學生的回答往往是把書上的定義念一遍，教師可以板書的形式寫出定義，但還要引導形式發現定義的本質．
(板書)2．2函數
一、函數的概念
1．定義：如果A，B都是非空的數集，那么A到B的映射 就叫做A到B的函數，記作 ．其中原象集合A稱為定義域，象集C 稱為值域．
問題3：映射與函數有何關系?(函數一定是映射嗎?映射一定是函數嗎?)
引導學生發現，函數是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的數集．
2．本質：函數是非空數集到非空數集的映射．(板書)
然后讓學生試回答剛才關于 是不是函數的問題，要求從映射的角度解釋．
此時學生可以清楚的看到 滿足映射觀點下的函數定義，故是一個函數，這樣解釋就很自然．
教師繼續把問題引向深入，提出在映射的觀點下如何解釋 是個函數?
從映射角度看可以是 其中定義域是 ，值域是 ．
從剛才的分析可以看出，映射觀點下的函數定義更具一般性，更能揭示函數的本質．這也是我們后面要對函數進行理論研究的一種需要．所以我們著重從映射角度再來認識函數．
3．函數的三要素及其作用(板書)
函數是映射，自然是由三件事構成的一個整體，分別稱為定義域．值域和對應法則．當我們認識一個函數時，應從這三方面去了解認識它．
例1 以下關系式表示函數嗎?為什么?
(1) ； (2) ．
解：(1)由 有意義得 ，解得 ．由于定義域是空集，故它不能表示函數．
(2) 由 有意義得 ，解得 ．定義域為 ，值域為 ．
由以上兩題可以看出三要素的作用
(1)判斷一個函數關系是否存在．(板書)
例2 下列各函數中，哪一個函數與 是同一個函數．
(1) ； (2) (3) ； (4) ．
解：先認清 ，它是 (定義域)到 (值域)的映射，其中
．
再看(1)定義域為 且 ，是不同的； (2)定義域為 ，是不同的；
(4) ，法則是不同的；
而(3)定義域是 ，值域是 ，法則是乘2減1，與 完全相同．
求解后要求學生明確判斷兩個函數是否相同應看定義域和對應法則完全一致，這時三要素的又一作用．
(2)判斷兩個函數是否相同．（板書）
下面我們研究一下如何表示函數，以前我們學習時雖然會表示函數，但沒有相系統研究函數的表示法，其實表示法有很多，不過首先應從函數記號 說起．
4．對函數符號 的理解(板書)
首先讓學生知道 與 的含義是一樣的，它們都表示 是 的函數，其中 是自變量， 是函數值，連接的紐帶是法則 ，所以這個符號本身也說明函數是三要素構成的整體．下面我們舉例說明．
例3 已知函數 試求 (板書)
分析：首先讓學生認清 的含義，要求學生能從變量觀點和映射觀點解釋，再進行計算．
含義1：當自變量 取3時，對應的函數值即 ；
含義2：定義域中原象3的象 ，根據求象的方法知 ．而 應表示原象 的象，即 ．
計算之后，要求學生了解 與 的區別， 是常量，而 是變量， 只是 中一個特殊值．
最后指出在剛才的題目中 是用一個具體的解析式表示的，而以后研究的函數 不一定能用一個解析式表示，此時我們需要用其他的方法表示，具體的方法下節課再進一步研究．
三、小結
1. 函數的定義
2. 對函數三要素的認識
3. 對函數符號的認識
四、作業：略
五、板書設計
2．2函數 例1． 例3．
一. 函數的概念
1. 定義
2. 本質 例2． 小結：
3. 函數三要素的認識及作用
4. 對函數符號的理解
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