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正多邊形的有關計算
教學設計示例1
教學目標：
（1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關的計算問題轉化為解直角三角形的問題；
（2）鞏固學生解直角三角形的能力，培養學生正確迅速的運算能力；
（3）通過正多邊形有關計算公式的推導，激發學生探索和創新．
教學重點:
把正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題．
教學難點:
正確地將正多邊形的有關計算問題轉化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算．
教學活動設計:
（一）創設情境、觀察、分析、歸納結論
1、情境一：給出圖形．
問題1：正n邊形內角的規律．
觀察：在圖形中，應用以有的知識（多邊形內角和定理，多邊形的每個內角都相等）得出新結論．
教師組織學生自主觀察，學生回答．（正n邊形的每個內角都等于 ．）
2、情境二：給出圖形．
問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規律？
教師引導學生觀察，學生回答．
觀察：三角形的形狀，三角形的個數．
歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形．
3、情境三：給出圖形．
問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規律？
觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的．
（二）定理、理解、應用：
1、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n 個全等的直角三角形．
2、理解：定理的實質是把正多邊形的問題向直角三角形轉化．
由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角 的一半，即 ，所以，根據上面定理就可以把正n邊形的有關計算歸結為解直角三角形問題．
3、應用：
例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6．
教師引導學生分析解題思路：
n=6 =30°，又半徑為R a6 、r6． P6、S6．
學生完成解題過程，并關注學生解直角三角形的能力．
解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB．
∵∠GOB= ，
∴a6 =2·Rsin30°=R，
∴P6=6·a6=6R，
∵r6=Rcos30°= ，
∴ ．
歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6= Pn rn．
4、研究：（應用例1的方法進一步研究）
問題：已知圓的半徑為R，求它的內接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積．
學生以小組進行研究，并初步歸納：
； ； ； ；
； ．
上述公式是運用解直角三角形的方法得到的．
通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了．例如：(1)圓的半徑或邊數；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素．
（三）小節
知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題．
思想：轉化思想．
能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力．
（四）作業
歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關計算公式．
教學設計示例2
教學目標：
（1）進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題；
（2）通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關系的證明，學習邊計算邊推理的數學方法；
（3）通過解決實際問題，培養學生簡單的數學建模能力；
（4）培養學生用數學意識，滲透理論聯系實際、實踐論的觀點．
教學重點:
應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數計算的證明方法．
教學難點:
例3的證明方法．
教學活動設計：
（一）知識回顧
（1）方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關計算轉化為解直角三角形問題．
（2）知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關計算問題，正多邊形的有關計算．
； ； ； ；
； ．
組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格．
（二）正多邊形的應用
正多邊形的有關計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義．
例2、在一種聯合收割機上，撥禾輪的側面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm)．
解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF= ．
∵AF= （cm），∴R5= （cm）．
r5= （cm）．
答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm
建議：①組織學生，使學生主動參與教學；②滲透簡單的數學建模思想和實際應用意識；③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養．
以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內交流．
例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長 ．
教師引導學生：
（1）∠AOB=？
（2）在△OAB中，∠A與∠B的度數？
（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你發現圖形中相等的線段有哪些？你發現圖中三角形有什么關系？
（4）已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎？怎么計算？
解：如圖，設AB=a10．作∠OBA的平分線BM，交OA于點M，則
∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°．
∴OM=MB=AB= a10．
△ OAB∽△BAM OA:AB=BA:AM，即R :a10= a10:（R- a10），整理，得
， （取正根）．
由例3的結論可得 ．
回顧：黃金分割線段．AD2=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項．頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段．
反思：解決方法．在推導a10與R關系時，輔助線角平分線是怎么想出來的．解決方法是復習等腰三角形的性質、判定及相似三角形的有關知識．
練習P.165中練習1
(三)總結
（1）應用正多邊形的有關計算解決實際問題；
（2）綜合代數列方程的方法證明了 ．
（四）作業
教材P173中8、9、10、11、12．
探究活動
已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角 、 、 的大小．
探究它們存在什么規律？你能證明嗎？
（提示： ．）
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