弦切角

弦切角

1、教材分析

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　重點：弦切角定理是本節的重點也是本章的重點內容之一，它在證明角相等、線段相等、線段成比例等問題時，有重要的作用；它與圓心角和圓周角以及直線形角的性質構成了完美的角的體系，屬于工具知識之一．

　　難點：弦切角定理的證明．因為在證明過程中包含了由“一般到特殊”的數學思想方法和完全歸納法的數學思想，雖然在圓周角定理的證明中應用過，但對學生來說是生疏的，因此它是教學中的難點．

　　2、教學建議

　　（1）教師在教學過程中，主要是設置學習情境，組織或引導學生發現問題、分析問題、研究問題和歸納結論，應用知識培養學生的數學能力；在學生主體參與的學習過程中，讓學生學會學習，并獲得新知識；

　　（2）學習時應注意：（Ⅰ）弦切角的識別由三要素構成：①頂點為切點，②一邊為切線，③一邊為過切點的弦；（Ⅱ）在使用弦切角定理時，首先要根據圖形準確找到弦切角和它們所夾弧上的圓周角；（Ⅲ）要注意弦切角定理的證明，體現了從特殊到一般的證明思路．

教學目標：

　　1、理解弦切角的概念；

　　2、掌握弦切角定理及推論，并會運用它們解決有關問題；

　　3、進一步理解化歸和分類討論的數學思想方法以及完全歸納的證明方法．

　　教學重點：弦切角定理及其應用是重點．

　　教學難點：弦切角定理的證明是難點．

　　教學活動設計：

　　（一）創設情境，以舊探新

　　1、復習：什么樣的角是圓周角?

　　2、弦切角的概念：

　　電腦顯示：圓周角∠CAB，讓射線AC繞點A旋轉，產生無數個圓周角，當AC繞點A  旋轉至與圓相切時，得∠BAE．

　　引導學生共同觀察、分析∠BAE的特點：

　　(1)頂點在圓周上；　(2)一邊與圓相交；　(3)一邊與圓相切．

　　弦切角的定義：

　　頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

　　3、用反例圖形剖析定義，揭示概念本質屬性：

　　判斷下列各圖形中的角是不是弦切角，并說明理由：

　　以下各圖中的角都不是弦切角．

　　圖(1)中，缺少“頂點在圓上”的條件；

　　圖(2)中，缺少“一邊和圓相交”的條件；

　　圖(3)中，缺少“一邊和圓相切”的條件；

　　圖(4)中，缺少“頂點在圓上”和“一邊和圓相切”兩個條件．

　　通過以上分析，使全體學生明確：弦切角定義中的三個條件缺一不可。

　　 （二）觀察、猜想

　　1、觀察：（電腦動畫，使C點變動）

　　觀察∠P與∠BAC的關系．

　　2、猜想：∠P=∠BAC

　　（三）類比聯想、論證

　　1、首先讓學生回憶聯想：

　　(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?

　　(2)既然弦切角可由圓周角演變而來，那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢?

　　2、分類：教師引導學生觀察圖形，當固定切線，讓過切點的弦運動，可發現一個圓的弦切角有無數個．

　　如圖．由此發現，弦切角可分為三類：

　　(1)圓心在角的外部；

　　(2)圓心在角的一邊上；

　　(3)圓心在角的內部．

　　3、遷移圓周角定理的證明方法

　　先證明了特殊情況，在考慮圓心在弦切角的外部和內部兩種情況．

　　組織學生討論：怎樣將一般情況的證明轉化為特殊情況．

　　如圖 (1)，圓心O在∠CAB外，作⊙O的直徑AQ，連結PQ，則∠BAC＝∠BAQ-∠l＝∠APQ-∠2＝∠APC．

　　如圖 (2)，圓心O在∠CAB內，作⊙O的直徑AQ．連結PQ，則∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，

　　（在此基礎上，給出證明，寫出完整的證明過程)

　　回顧證明方法：將情形圖都化歸至情形圖1，利用角的合成、對三種情況進行完    全歸納、從而證明了上述猜想是正確的，得：

　　弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角．
　4．深化結論．

　　練習1 直線AB和圓相切于點P，PC，PD為弦，指出圖中所有的弦切角以及它們所夾的弧．

　　練習2 如圖，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O 的弦，若＝，那么∠DAB和∠EAC是否相等?為什么?

　　分析：由于 和 分別是兩個弦切角∠OAB和∠EAC所夾的弧．而 ＝ ．連結B，C，易證∠B＝∠C．于是得到∠DAB＝∠EAC．

　　由此得出：

　　推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等．

　　（四）應用

　　例1如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O 切于點C，AD⊥CE，垂足為D

　　求證：AC平分∠BAD．

　　思路一：要證∠BAC＝∠CAD，可證這兩角所在的直角三角形相似，于是連結BC，得Rt△ACB，只需證∠ACD＝∠B．

　　證明：(學生板書)

　　組織學生積極思考．可否用前邊學過的知識證明此題?由學生回答，教師小結．

　　思路二，連結OC，由切線性質，可得OC∥AD，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可證得結論。

　　

　　思路三，過C作CF⊥AB，交⊙O于P，連結AF．由垂徑定理可知∠1＝∠3，又根據弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，進而可證明結論成立．

　　練習題

　　1、如圖，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，則∠ECA＝______度．

　　2、AB切⊙O于A點，圓周被AC所分成的優弧與劣弧之比為3:1，則夾劣弧的弦切角∠BAC＝________

　　3、如圖，經過⊙O上的點T的切線和弦AB的延長線相交于點C．

　　求證：∠ATC＝∠TBC．

　　(此題為課本的練習題，證明方法較多，組織學生討論，歸納證法．)

　　（五）歸納小結

　　教師組織學生歸納：

　　(1)這節課我們主要學習的知識；

　　(2)在學習過程中應用哪些重要的數學思想方法？

　　（六）作業：教材P13l習題7．4A組l(2)，5，6，7題．

探究活動

　　一個角的頂點在圓上，它的度數等于它所夾的弧對的圓周角的度數，試探討該角是否圓周角？若不是，請舉出反例；若是圓周角，請給出證明．

　　提示：是圓周角（它是弦切角定理的逆命題）．分三種情況證明（證明略）．