一次函數的圖象和性質

一次函數的圖象和性質

教學目標：

　　1、使學生能進一步理解函數的定義，根據實際情況求函數的定義域，并能利用函數解決實際問題中的最值問題。

　　2、滲透函數的數學思想，培養學生的數學建模能力，以及解決實際問題的能力。

　　3、能初步建立應用數學的意識，體會到數學的抽象性和廣泛應用性。

　　教學重點：

　　1、從實際問題中抽象概括出運動變化的規律，建立函數關系式。

　　2、通過函數的性質及定義域范圍求函數的最值。

　　教學難點：

　　從實際問題中抽象概括出運動變化的規律，建立函數關系式

　　教學方法：討論式教學法

　　教學過程：

　　例1、A校和B校各有舊電腦12臺和6臺，現決定送給C校10臺、D校8臺，已知從A校調一臺電腦到C校、D校的費用分別是40元和80元，從B校調運一臺電腦到C校、D校的運費分別是30元和50元，試求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少?

　　(1)幾分鐘讓學生認真讀題，理解題意

　　(2)由題意可知，一種調配方案，對應一個費用。不同的調配方案對應不同的費用，在這個變化過程中，調配方案決定了總費用。它們之間存在著一定的關系。究竟是什么樣的關系呢？需要我們建立數學模型，將之形式化、數學化。

　　解法（一）列表分析：

　　

　　設從A校調到C校x臺，則調到D校（12―x）臺，B校調到C校是（10―x）臺。B校調到D校是[6-(10-x)]即（x-4）臺，總運費為y。

　　根據題意：

　　　y = 40x+80（12- x）+ 30（10-x）+50（x-4）

　　　y = 40x+960-80x+300-30x+50x-200

　　　= -20x+1060（4≤x≤10，且x是正整數）

　　　y = -20x+1060是減函數。

　　　∴當x = 10時，y有最小值y_min= 860

　　　∴調配方案為A校調到C校10臺，調到D校2臺，B校調到D校2臺。

　　解法（二）列表分析

　　

　　設從A校調到D校有x臺，則調到C校（12―x）臺。B校調到C校是[10-(12-x)]即（x-2）臺。B校調到D校是（8―x）臺，總運費為y。

　　　y = 40（12 – x）+ 80x+ 30（x –2）+50（8-x）

　　　= 480 – 40x+80x+30x – 60+400 – 50x

　　　=20x +820（2≤x≤8，且x是正整數）

　　　y =20x +820是增函數

　　　∴x=2時，y有最小值y_min=860

　　調配方案同解法(一)

　　解法（三）列表分析：

　　

　　解略

　　解法（四）列表分析：

　　

　　解略

　　例2、公司試銷一種成本單價為500元/件的新產品，規定試銷時的銷售單價不低于成本單價，又不高于800元/件。經試銷調查，發現銷售量y（件），與銷售單價x（元/件）可近似看作一次函數y =kx+b的關系

　　（1）根據圖象，求一次函數y = kx+b的表達式

　　（2）設公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價―成本總價）為s元

　　試用銷售單價x表示毛利潤s；

　　解：如圖所示

　　　直線過點（600，400），（700，300）

　　　∴400 = 600k+b

　　　300 = 700k+b

　　　k = -1，b = 1000

　　　∴ y = - x + 1000（500≤x≤800）

　　　s = x(1000 – x)-500(1000 – x)

　　　=1000x – x² – 500000 + 500x

　　　=- x² + 1500x – 500000（500≤x≤800）

　　小結：本節課試圖讓學生體會到函數的本質是對應關系。在實際生活中，影響事物的因素往往是多方面的，而且它們之間存在一定的關系。數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學。對于實際問題我們抽象概括出它的本質特征，將其數學化、形式化，形成數學模型。這個過程既體現了數學的高度抽象性，又因其高度的抽象性決定了數學的廣泛應用性。

　　作業：略

探究活動

　　(1) 在邊防沙漠區，巡邏車每天行駛200千米，每輛巡邏車裝載供行駛14天的汽油．現有5輛巡邏車同時由駐地A出發，完成任務再返回A．為讓其余3輛盡可能向更遠距離巡邏(然后一起返回)，甲、乙兩車行至途中B后，僅留足自己返回A必須的汽油，將多余的油給另3輛用，問另3輛行駛的最遠距離是多少千米．

　　(2)30名勞力承包75畝地，這些地可種蔬菜、玉米和雜豆．每畝蔬菜需0.5個勞力，預計畝產值2000元；每畝玉米需0.25個勞力，預計畝產值800元；每畝雜豆需0.125個勞力，預計畝產值550元．怎樣安排種植計劃，才能使總產值最大？最大產值是多少元？

　　答案：

　　(1)設巡邏車行至B處用x天，從B到最遠處用y天，則2[3(x＋y)＋2x]＝14×5，即

　　又x＞0，y＞0，14×5－(5＋2)x≤14×3，

　　所以x＝4時，y取最大值5．另三輛車行駛最遠距離：(4＋5)×200＝1800(千米)．

　　(2)設種蔬菜、玉米、雜豆各x、y、z畝，總產量u元．則

　　

　　所以45≤x≤55，即種蔬菜55畝，雜豆20畝，最大產值為121000元．

　　（3）某果品公司急需汽車，但無力購買，公司經理想租一輛．一出租公司的出租條件為：每百千米租費110元；一個體出租車司機的條件為：每月付800元工資，另外每百千米付10元油費．問該果品公司租哪家的汽車合算？

　　解 設汽車每月所行里程為x百千米，于是，應付給出租公司的費用為y₁＝110x，應付給個體司機的費用為y₂＝800＋10x．畫出它們的圖象，易得圖象交點坐標為(8，8800)．由圖象可知，當x＜8時，y₁＜y₂；當x＝8時，y₁＝y₂，當x＞8時，y₁＞y₂．

　　綜合上述可知，汽車每月行駛里程少于800千米時，租國營出租汽車公司的汽車合算；每月行駛里程大于800千米時，租個體司機的汽車合算．因此，該果品公司應先估計一下每月用車的里程，然后根據估算的結果確定該租哪家的汽車．

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