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數學教案－圓周角
第一課時 圓周角（一）
教學目標：
（1）理解圓周角的概念,掌握圓周角的兩個特征、定理的內容及簡單應用；
（2）繼續培養學生觀察、分析、想象、歸納和邏輯推理的能力；
（3）滲透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的數學思想方法．
教學重點：圓周角的概念和圓周角定理
教學難點：圓周角定理的證明中由“一般到特殊”的數學思想方法和完全歸納法的數學思想．
教學活動設計：（在教師指導下完成）
（一）圓周角的概念
1、復習提問：
（1）什么是圓心角？
答：頂點在圓心的角叫圓心角.
（2）圓心角的度數定理是什么？
答：圓心角的度數等于它所對弧的度數.（如右圖）
2、引題圓周角：
如果頂點不在圓心而在圓上，則得到如左圖的新的角∠ACB，它就是圓周角.（如右圖）（演示圖形，提出圓周角的定義）
定義：頂點在圓周上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角
3、概念辨析：
教材P93中1題：判斷下列各圖形中的是不是圓周角，并說明理由．
學生歸納：一個角是圓周角的條件：①頂點在圓上；②兩邊都和圓相交.
（二）圓周角的定理
1、提出圓周角的度數問題
問題：圓周角的度數與什么有關系？
經過電腦演示圖形，讓學生觀察圖形、分析圓周角與圓心角，猜想它們有無關系．引導學生在建立關系時注意弧所對的圓周角的三種情況：圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角內部、圓心在圓周角外部．
（在教師引導下完成）
（1）當圓心在圓周角的一邊上時，圓周角與相應的圓心角的關系：（演示圖形）觀察得知圓心在圓周角上時，圓周角是圓心角的一半.
提出必須用嚴格的數學方法去證明.
證明:(圓心在圓周角上)
（2）其它情況，圓周角與相應圓心角的關系：
當圓心在圓周角外部時（或在圓周角內部時）引導學生作輔助線將問題轉化成圓心在圓周角一邊上的情況，從而運用前面的結論，得出這時圓周角仍然等于相應的圓心角的結論.
證明：作出過C的直徑（略）
圓周角定理: 一條弧所對的
周角等于它所對圓心角的一半.
說明：這個定理的證明我們分成三種情況.這體現了數學中的分類方法；在證明中，后兩種都化成了第一種情況，這體現數學中的化歸思想.（對A層學生滲透完全歸納法）
（三）定理的應用
1、例題: 如圖 OA、OB、OC都是圓O的半徑， ∠AOB=2∠BOC．
求證：∠ACB=2∠BAC
讓學生自主分析、解得，教師規范推理過程．
說明：①推理要嚴密；②符號“”應用要嚴格，教師要講清．
2、鞏固練習:
（1）如圖，已知圓心角∠AOB=100°，求圓周角∠ACB、∠ADB的度數？
（2）一條弦分圓為1：4兩部分，求這弦所對的圓周角的度數？
說明：一條弧所對的圓周角有無數多個，卻這條弧所對的圓周角的度數只有一個，但一條弦所對的圓周角的度數只有兩個．
（四）總結
知識：（1）圓周角定義及其兩個特征；（2）圓周角定理的內容．
思想方法：一種方法和一種思想：
在證明中，運用了數學中的分類方法和“化歸”思想．分類時應作到不重不漏；化歸思想是將復雜的問題轉化成一系列的簡單問題或已證問題．
（五）作業 教材P100中 習題A組6,7,8
第二、三課時 圓周角（二、三）
教學目標：
（1）掌握圓周角定理的三個推論，并會熟練運用這些知識進行有關的計算和證明；
（2）進一步培養學生觀察、分析及解決問題的能力及邏輯推理能力；
（3）培養添加輔助線的能力和思維的廣闊性．
教學重點：圓周角定理的三個推論的應用．
教學難點：三個推論的靈活應用以及輔助線的添加．
教學活動設計：
（一）創設學習情境
問題1：畫一個圓，以B、C為弧的端點能畫多少個圓周角？它們有什么關系？
問題2：在⊙O中，若 = ，能否得到∠C=∠G呢？根據什么？反過來，若土∠C=∠G ，是否得到 = 呢？
（二）分析、研究、交流、歸納
讓學生分析、研究，并充分交流．
注意：①問題解決，只要構造圓心角進行過渡即可；②若 = ，則∠C=∠G；但反之不成立．
老師組織學生歸納：
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．
重視：同弧說明是“同一個圓”； 等弧說明是“在同圓或等圓中”．
問題： “同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所對的圓周角一定相等嗎？（學生通過交流獲得知識）
問題3：（1）一個特殊的圓弧——半圓，它所對的圓周角是什么樣的角？
（2）如果一條弧所對的圓周角是90°，那么這條弧所對的圓心角是什么樣的角?
學生通過以上兩個問題的解決，在教師引導下得推論2：
推論2： 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦直徑．
指出：這個推論是圓中一個很重要的性質，為在圓中確定直角、成垂直關系創造了條件，要熟練掌握．
啟發學生根據推論2推出推論3：
推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角是直角三角形．
指出：推論3是下面定理的逆定理：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．
（三）應用、反思
例1、如圖，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓直徑．
求證：AB·AC＝AE·AD．
對A層同學，讓學生自主地分析問題、解決問題，進行生生交流，師生交流；其他層次的學生在教師引導下完成．
交流：①分析解題思路；②作輔助線的方法；③解題推理過程（要規范）．
解（略）
教師引導學生思考：（1）此題還有其它證法嗎? （2）比較以上證法的優缺點．
指出：在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑上的圓周角，以便利用直徑上的圓周角是直角的性質．
變式練習1：如圖，△ABC內接于⊙O，∠1=∠2．
求證：AB·AC＝AE·AD．
變式練習2：如圖，已知△ABC內接于⊙O，弦AE平分
∠BAC交BC于D．
求證：AB·AC＝AE·AD．
指出：這組題目比較典型，圓和相似三角形有密切聯系，證明圓中某些線段成比例，常常需要找出或通過輔助線構造出相似三角形．
例2：如圖，已知在⊙O中，直徑AB為10厘米，弦AC為6厘米，∠ACB的平分線交⊙O于D；
求BC，AD和BD的長．
解：(略)
說明：充分利用直徑所對的圓周角為直角，解直角三角形．
練習：教材P96中1、2
（四）小結（指導學生共同小結）
知識：本節課主要學習了圓周角定理的三個推論．這三個推論各具特色，作用各異，在今后的學習中應用十分廣泛，應熟練掌握．
能力：在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角或構成相似三角形，這種基本技能技巧一定要掌握．
（五）作業
教材P100．習題A組9、10、12、13、14題；另外A層同學做P102B組3，4題．
探究活動
我們已經學習了“圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半”，但當角的頂點在圓外（如圖①稱圓外角）或在圓內（如圖②稱圓內角），它的度數又和什么有關呢？請探究．
提示：（1）連結BC，可得∠E= （ 的度數— 的度數）
（2）延長AE、CE分別交圓于B、D，則∠B= 的度數，
∠C= 的度數，
∴∠AEC=∠B+∠C= （ 的度數+ 的度數）．
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