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一元二次方程的應用（三） —— 初中數學第一冊教案
12．6 一元二次方程的應用（三）
一、素質教育目標
（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解決有關增長率問題．
（二）能力訓練點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養學生用數學的意識．
二、教學重點、難點
1．教學重點：學會用列方程的方法解決有關增長率問題．
2．教學難點：有關增長率之間的數量關系．下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴大，擴大到，擴大了．
三、教學步驟
（一）明確目標．
（二）整體感知
（三）重點、難點的學習和目標完成過程
1．復習提問
（1）原產量+增產量=實際產量．
（2）單位時間增產量=原產量×增長率．
（3）實際產量=原產量×（1+增長率）．
2．例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？
分析：設平均每月的增長率為x．
則2月份的產量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）．
3月份的產量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（噸）．
解：設平均每月的增長率為x，據題意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2．
x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）．
取x=0.2=20％．
教師引導，點撥、板書，學生回答．
注意以下幾個問題：
（1）為計算簡便、直接求得，可以直接設增長的百分率為x．
（2）認真審題，弄清基數，增長了，增長到等詞語的關系．
（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開．
練習1．教材P.42中5．
學生分析題意，板書，筆答，評價．
練習2．若設每年平均增長的百分數為x，分別列出下面幾個問題的方程．
（1）某工廠用二年時間把總產值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分率．
（1+x）2=b（把原來的總產值看作是1．）
（2）某工廠用兩年時間把總產值由a萬元增加到b萬元，求每年平均增長的百分數．
（a（1+x）2=b）
（3）某工廠用兩年時間把總產值增加了原來的b倍，求每年增長的百分數．
（（1+x）2=b+1把原來的總產值看作是1．）
以上學生回答，教師點撥．引導學生總結下面的規律：
設某產量原來的產值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次后的產值為a（1+x），增長兩次后的產值為a（1+x）2 ，…………增長n次后的產值為S=a（1+x）n．
規律的得出，使學生對此類問題能居高臨下，同時培養學生的探索精神和創造能力．
例2 某產品原來每件600元，由于連續兩次降價，現價為384元，如果兩個降價的百分數相同，求每次降價百分之幾？
分析：設每次降價為x．
第一次降價后，每件為600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降價后，每件為600（1-x）-600（1-x）•x
=600（1-x）2（元）．
解：設每次降價為x，據題意得
600（1-x）2=384．
答：平均每次降價為20％．
教師引導學生分析完畢，學生板書，筆答，評價，對比，總結．
引導學生對比“增長”、“下降”的區別．如果設平均每次增長或下降為x，則產值a經過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．
（四）總結、擴展
1．善于將實際問題轉化為數學問題，嚴格審題，弄清各數據相互關系，正確布列方程．培養學生用數學的意識以及滲透轉化和方程的思想方法．
2．在解方程時，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題．
3．我們只學習一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到兩年的增長率．3年、4年……，n年，應該說按照規律我們可以列出方程，隨著知識的增加，我們也將會解這些方程．
四、布置作業
教材P.42中A8
五、板書設計
12.6 一元二次方程應用（三）
1．數量關系： 例1…… 例2……
（1）原產量+增產量=實際產量 分析：…… 分析……
（2）單位時間增產量=原產量×增長率 解…… 解……
（3）實際產量=原產量（1+增長率）
2．最后產值、基數、平均增長率、時間
的基本關系：
M=m（1+x）n n為時間
M為最后產量，m為基數，x為平均增長率
一、素質教育目標
（一）知識教學點：使學生會用列一元二次方程的方法解決有關增長率問題．
（二）能力訓練點：進一步培養學生化實際問題為數學問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養學生用數學的意識．
二、教學重點、難點
1．教學重點：學會用列方程的方法解決有關增長率問題．
2．教學難點：有關增長率之間的數量關系．下列詞語的異同；增長，增長了，增長到；擴大，擴大到，擴大了．
三、教學步驟
（一）明確目標．
（二）整體感知
（三）重點、難點的學習和目標完成過程
1．復習提問
（1）原產量+增產量=實際產量．
（2）單位時間增產量=原產量×增長率．
（3）實際產量=原產量×（1+增長率）．
2．例1 某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每月增長的百分率是多少？
分析：設平均每月的增長率為x．
則2月份的產量是5000+5000x=5000（1+x）（噸）．
3月份的產量是[5000（1+x）+5000（1+x）x]
=5000（1+x）2（噸）．
解：設平均每月的增長率為x，據題意得：
5000（1+x）2=7200
（1+x）2=1.44
1+x=±1.2．
x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）．
取x=0.2=20％．
教師引導，點撥、板書，學生回答．
注意以下幾個問題：
（1）為計算簡便、直接求得，可以直接設增長的百分率為x．
（2）認真審題，弄清基數，增長了，增長到等詞語的關系．
（3）用直接開平方法做簡單，不要將括號打開．
練習1．教材P.42中5．
學生分析題意，板書，筆答，評價．
練習2．若設每年平均增長的百分數為x，分別列出下面幾個問題的方程．
（1）某工廠用二年時間把總產值增加到原來的b倍，求每年平均增長的百分率．
（1+x）2=b（把原來的總產值看作是1．）
（2）某工廠用兩年時間把總產值由a萬元增加到b萬元，求每年平均增長的百分數．
（a（1+x）2=b）
（3）某工廠用兩年時間把總產值增加了原來的b倍，求每年增長的百分數．
（（1+x）2=b+1把原來的總產值看作是1．）
以上學生回答，教師點撥．引導學生總結下面的規律：
設某產量原來的產值是a，平均每次增長的百分率為x，則增長一次后的產值為a（1+x），增長兩次后的產值為a（1+x）2 ，…………增長n次后的產值為S=a（1+x）n．
規律的得出，使學生對此類問題能居高臨下，同時培養學生的探索精神和創造能力．
例2 某產品原來每件600元，由于連續兩次降價，現價為384元，如果兩個降價的百分數相同，求每次降價百分之幾？
分析：設每次降價為x．
第一次降價后，每件為600-600x=600（1-x）（元）．
第二次降價后，每件為600（1-x）-600（1-x）•x
=600（1-x）2（元）．
解：設每次降價為x，據題意得
600（1-x）2=384．
答：平均每次降價為20％．
教師引導學生分析完畢，學生板書，筆答，評價，對比，總結．
引導學生對比“增長”、“下降”的區別．如果設平均每次增長或下降為x，則產值a經過兩次增長或下降到b，可列式為a（1+x）2=b（或a（1-x）2=b）．
（四）總結、擴展
1．善于將實際問題轉化為數學問題，嚴格審題，弄清各數據相互關系，正確布列方程．培養學生用數學的意識以及滲透轉化和方程的思想方法．
2．在解方程時，注意巧算；注意方程兩根的取舍問題．
3．我們只學習一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到兩年的增長率．3年、4年……，n年，應該說按照規律我們可以列出方程，隨著知識的增加，我們也將會解這些方程．
四、布置作業
教材P.42中A8
五、板書設計
12.6 一元二次方程應用（三）
1．數量關系： 例1…… 例2……
（1）原產量+增產量=實際產量 分析：…… 分析……
（2）單位時間增產量=原產量×增長率 解…… 解……
（3）實際產量=原產量（1+增長率）
2．最后產值、基數、平均增長率、時間
的基本關系：
M=m（1+x）n n為時間
M為最后產量，m為基數，x為平均增長率
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