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例談遞進式幾何探究題求解策略
例談遞進式幾何探究題求解策略東臺市實驗中學教育集團 楊 磊
何為遞進式幾何探究題
遞進式幾何題都具有如下特點：小切口，深分析， 其問題都是從特殊到一般，由表及里、由淺入深，每個問題之間，是逐步遞進的關系，前一問題的解法對后一問題的解法有直接或間接的提示作用，解法互相關聯。
解答遞進式幾何探究題的策略
關鍵在于對后續問題中圖形結構進行類比聯想，可添加適當的輔助線，化歸為前面問題中出現的相同或相似的圖形結構模型，以已經解決的問題的結論或方法，類比、猜想、論證另一個問題的結論或方法，抽絲剝繭、層層深入。
例題精講
如圖（1）～（3），已知∠ＡＯＢ的角平分線ＯＭ上有一點Ｐ，∠ＣＰＤ的兩邊與射線ＯＡ、ＯＢ交于點Ｃ、Ｄ，連接ＣＤ交ＯＰ于點Ｇ，設∠ＡＯＢ＝α（０°＜α180°），∠ＣＰＤ＝β。
（1）如圖（１），當α＝β＝９０°時，試猜想ＰＣ與ＰＤ，∠ＰＤＣ與∠ＡＯＢ的數量關系（不用說明理由）；
（２）如圖（２），當α＝６０°，β＝１２０°時，（１）中的兩個猜想還成立嗎？請說明理由；
（3）如圖（3），當α＋β＝１８０°時，你認為（1）中的兩個猜想是否仍然成立？請說明理由。
【分析】（1）由點Ｐ是已知∠ＡＯＢ的平分線上一點， 聯想到角平分線性質：角平分線上任意一點到角兩邊距離相等，故不妨作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，而∠EPC、∠FPＤ都是∠CPF的余角，它們相等，所以易證△EPC≌△FPＤ，得PC=PD；因為α=β=90°，所以∠ＰＤＣ＝４５°＝a/2.
（2）與（1）比較，α從特殊的90°變成較為一般的６０°，β從特殊的90°變成較為一般的１２０°，圖形結構沒有本質變化，關鍵是α＋β仍然是１８０°，因此，以（１）的思路方法為模型，應該仍可證結論成立。
（3）與（1）（2）比較，圖形與角度更具有一般性，但仍然保持α＋β＝１８０°這一本質特征，因此，可模仿上面的思路猜想并證明。模仿過程中，原來找什么角和邊的，現在還找什么角和邊，但要注意理論依據可能有所變化。
解：（１） ＰＣ＝ＰＤ，∠ＰＤＣ＝1/2∠ＡＯＢ。
（２）成立。理由如下：如圖１，作PE⊥AO于Ｅ，PF⊥OB于F，所以∠ＣＥＰ＝∠ＤＦＰ。因為ＯＰ平分∠ＡＯＢ，所以ＰＥ＝ＰＦ。
在四邊形ＥＯＦＰ中，因為∠ＡＯＢ＝６０°，∠ＰＥＯ＝∠ＰＦＯ＝９０°，所以∠ＥＰＦ＝１２０°，即∠ＥＰＣ＋∠ＣＰＦ＝１２０°。
又∠ＣＰＤ＝１２０°，即∠ＤＰＦ＋∠ＣＰＦ＝１２０°，所以∠EPC= ∠DPF.
（３）成立。理由如下：
如圖２，作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，所以∠CEP=∠ＰＦＤ。因為OP平分∠AOB，所以PE=PF.在四邊形EOFP中，因為∠PEO=∠PFO=90°，所以∠EPF+∠AOB（α）＝１８０°，因為α＋β（∠ＣＰＤ）＝１８０°，所以∠ＥＰＦ＝∠ＣＰＤ。因為∠ＥＰＦ＝∠ＥＰＣ＋∠ＣＰＦ，∠ＣＰＤ＝∠ＣＰＦ＋∠ＦＰＤ，所以∠ＥＰＣ＝∠ＦＰＤ。所以△EPC≌△FPD，所以ＰＣ＝ＰＤ，∠ＰＤＣ＝
。因為α＋β＝１８０°，所以∠ＰＤＣ＝
。【點評】本題主要考查了角平分線性質、三角形全等的判定和性質，綜合性強，有一定的難度。
遞進式幾何探究題是近年熱點題型，隨著學習的深入，同學們將會有更多的接觸，其解法并不神秘，從起始基本問題挖掘 “模型”（或者說基本圖形）是解決問題的有效策略。
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