重視課本原題的拓展

重視課本原題的拓展

在初三數學復習中，我們總想到利用較短的時間取得較好的效果，重點是精選例題和習題，搞題海戰術，得不償失。在中考中總有源于課本例題和習題，利用課本例題或習題進行橫向、縱向拓展，抓好系列題目的訓練是一個行之有效的方法，能收到事半功倍的教學效果。
如原題：如圖（1）已知AB是⊙O直徑上一點，AD和過C點的切線垂直，垂足為O，求證，
AC平分∠DAB，即∠ABC=∠ADC
評注：這是一道較簡單的題目，有好
幾種方法：可以連結BC利用直徑所
對圓圈角是直角，再利用互余算式、
弦切角定理等從而得證；也可以連結
OC利用切線的性質得證。
現進行原題拓展：
1、把原題橫向拓展
  （1）把原題中的切線向上平移改為⊙O的割線，其它條件不變（如圖2），求證：∠ABC2=∠A。
   評注：此題仍可利用原題的證明，連結BC2，則∠AC2B=900，又∠AC1D=∠B，可得證。
（2）把原題中的切線繼續向下平移，變為與圓相離，此直線記為L，提出問題，怎樣在此直線上找出
一點C使∠ABC=∠ADC
評注：此題的解法由前2小題的解法
得到啟發：作OE⊥L交⊙O于F，連
結AF并延長交L于C，則點C即為
所要找的點C（證明略）。
1、縱向拓展：
  （1）若原題條件不變，可以增加結論，求證：AC2=AB·AD
評注：只要證△ABC∽△即可。
  （2）若將原題中條件稍加變化，可改為AB為⊙O直徑，CD為⊙O切線，E為切點，AC⊥CD，BD⊥CD
  ①求證：AC+BD=AB，OC=OD （如圖4）
　②若設AC=a  CD=b  BD=c
求證：CE、DE是一元二次方程x2－bx+ac=0的兩根
評注：①中連結OE，證AC+BD=2OE=AB
②中只需證CE·DE=ac=AC·BD
△ACE∽△EDB即可。
 （3）若將CD向上移動與⊙O相交于E、F，則可得到AB為⊙O直徑，直線CD交⊙O于E、F，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D。
  ①求證：CE=DF　　
②若AC=a，CD=b，BD=c，求證：tan△CAE、tan△CAF是方程ax2－bx+c=0的兩根（如圖5）
評注：由tan△CAE=       tan△CAF=          由tan△CAE+ tan△CAF=       =……=     ，tan△CAE·tan△CAF=   
（4）若將CD繼續多化：把上面圖形結合起來，又可得到（如圖6）
P為⊙O外一點，割線PA過圓心O，PC切⊙O于C，AM⊥PC于M，BN⊥PC于N，CO⊥PA于D，若AB=15，
sinP是方程25x2－5x－6=0的一個根，求PA
及△PCD的外接圓和內切圓的半徑。
評注：由方程可解得sinP=   ，可得有關線段
的比，由前面可得啟發，如連結OC，得
MC=CN，連結AC，得AC平分△MAD，可得
MC=CD=CN，連結BE，可得矩形和直角三角形，可得求解。
以上這些題目，由簡到繁，組合在一起，使學生智力得到開發，舉一反三，提高解題能力，可大大提高復習效果。