高中數學教科書中應用問題初探

高中數學教科書中應用問題初探

高中數學教科書中應用問題初探

課程教材研究所 張勁松

－、數學及其應用

數學是研究空間形式和數量關系的科學。當代數學能夠處理科學中的數據和觀測資料，進行推理、演繹、證明，可提供自然現象、社會系統的數學模型。

數學的特點：高度抽象性、邏輯嚴密性、應用的廣泛性。

隨著社會的發展，數學的地位日益提高，應用越來越廣泛。它是人們參加社會生活、從事生產勞動和學習、研究現代科學的基礎；它在培養思維品質，提高思維水平方面發揮著特有的作用；它的內容、思想、方法和語言已成為現代文化的重要組成部分。

１９５９年５月，華羅庚教授在《人民日報》發表了《大哉數學之為用》一文，精彩地敘述數學在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁”等各方面的應用；進入九十年代，中國科學院數學物理學部在《今日數學及其應用》（王梓坤執筆）一文中，對數學及其應用進行了酣暢淋漓的論述。正如該文的第一句話：“本文的目的是雙重的和互補的：一是論述數學在國富民強中的重要意義；二是通過近年來數學在我國的許多應用來證實這種意義的真實性，從而希望提高人們對數學的認識。”

數學科學的發展對數學課程教材的建設起著至關重要的作用。

二、數學課程改革中的“應用”

近年來，數學教育界內的“問題解決”、數學建模等無一例外地把應用提高到一個非常高的程度，因此，正確理解“應用”就成為一個非常重要的問題。

對于“問題解決”、“大眾數學”、“數學建模”、 “應用”等等，對于使數學課程“貼近”實際，歷史上已作了許多討論。事實上，理論與實踐相結合是數學課程教材改革的重要目標之一。在兩千多年前，數學教育就存在著著眼于實用和訓練思維的兩大目標。今天數學的內容大大地豐富和深化了，實際應用和訓練思維的涵義也大大拓展了。歸根到底，數學教育的目的除思想教育方針之外，仍然是這兩個目標的結合。數學就自身發展來說，始終是理論與實踐密切結合一門科學。

綜觀數學教育史，我們不難發現，數學教學總是具有很強職業成分，只是隨著中學和大學的學院化，數學和現實的聯系才被忽視，但是如何人教“應用”和運用“現實生活”例子為數學教學服務仍有待研究。應用在數學教學中可以有許多解釋，有些人為的，非現實生活的例子，也可能有重要的教育價值，能養成學生應用數學的技能，不能一概否定；還有一類傳統的例子是過分“現實”的，是直接從職業中拿出來的，如儲蓄、稅收等，這就有一個誰的“現實”的問題。這些例子只是社會的一些特殊需要，不足取。就算排除了這類實例，還會有多種形式體現“應用”。比如，守門員如何占位才能縮小對手的射門角度？這些問題把數學與實際情境聯系在一起，對一些學生有吸引力，但并不是真用數學解決問題，沒有哪個球員會這樣去計算他們站立的位置。數學的應用主要不在于這樣的“應用”，更重要的是，這種“聯系”不可能總是結合學生的“現實”的，正如卡爾松說的“現實是主體和時間的函數，對我是現實的，對別人未必是現實的，在過去是現實的，現在不一定再是現實的了”。可見要使課程有“應用”性是既復雜，又有待長期解決的問題。

前面說的都是用來為數學教學服務的“現實”例子，當數學為現實服務時，情況就完全不同了，它是完全不同的一種例子，它是用數學去描述、理解和解決學生熟悉的社會現實問題，這種問題不僅有社會意義，而且不局限于單一的數學，還要用到學生多方面的知識。

著名數學教育家弗蘭登塔爾曾對數學教學表示了憂慮，他認為，數學教學應講授從豐富的現實情境中抽象出這些結構的數學發現過程。學習是指形成這種系統化的數學活動過程，而不是系統化的最后結果。因為系統化的最后結果是一個系統，是一個漂亮的封閉系統，甚至封閉到沒有入口和出口……學生所要學習的不是作為一個封閉系統的數學，而是作為一項人類活動的數學，即從現實生活出發的數學化過程。如果需要，也可以包括從數學本身出發的數學化過程。學生應該形成一個相對開放的系統，至少是一個既有入口又有出口的封閉系統。

“問題解決”恰恰反映了“入口”和“出口”問題，即從現實情景（“入口”）出發，這里所說的現實情景，既包括客觀的世界和現實的生活，又包括學生的數學現實。事實上，這是應用的一個非常重要的方面。所謂“出口”，是指數學知識應用到現實情景中去。我們所說的應用，不僅僅是解決出口問題，更重要的是解決入口問題，即從現實情景引入數學，讓學生隨時隨地都感到數學就在我身邊。

我國的一些數學教育工作者提出的“掐頭去尾燒中段”與“入口”和“出口” 的觀點可以說不謀而和，他們都強調數學學習的一個完整過程，要了解數學的來龍去脈。

強調數學應用現已成為各國數學課程教材改革的共同特點，在數學課程、教科書中更加重視應用。在處理數學內容時，更多地遵循“實際問題→數學概念→實際問題”這個模式來展開。許多教科書面向現實，數學知識的引入以閱讀材料的方式出現。這些材料內容廣泛，形式各異，圖文并茂，有生動具體的現實問題，有讓人著迷的數學史，有發人深思的懸念，也有尚未解決的各種實際問題，還有現代數學及其應用的最新發展等。教科書中每節后，還安排大量與現實世界結合并帶有挑戰性的問題，供學生討論、思考和實踐，并對每一問題在題首注明數學知識被應用的領域（例如天文、建筑、管理、經濟、物理、化學等），讓學生充分感受數學與其他學科和科學之間的聯系。

總之，數學教育改革中對于應讓學生認識有關知識的來龍去脈已形成共識。

《全日制普通高級中學數學教學大綱（試驗修訂版）》（以下簡稱《大綱》）進一步突出了理論聯系實際，加強應用。“培養解決實際問題的能力，并逐步形成數學創新意識”是高中數學的教目的之一。

解決實際問題的能力是指：會提出、分析和解決帶有實際意義的或在相關學科、生產和生活中的數學問題；會使用數學語言表達問題、進行交流，形成用數學的意識。

數學創新意識主要是指：對自然界和社會中的數學現象具有好奇心，不斷追求新知，獨立思考，會從數學的角度發現和提出問題，加以探索和研究。

《大綱》在“教學內容和目標”“教學中需注意的幾個問題”等處，對應用數學知識解決實際問題只做了原則性的說明。《大綱》中規定的教學內容和教學要求由教科書、教師的教學、學生的學習等多種渠道來體現，教科書如何更好地貫徹大綱中的“應用”，對編者來說，有一個再發現、再創造的過程。

我們認為，數學應用不僅包括人們常講的用數學的結論，用數學的方法，用數學的思想，還包括用數學的語言，用數學的觀念，用數學的精神。因此，強調數學課程教材中的應用，并不是僅僅通過“增加一些有用的數學內容”，，“在例題和習題中增加一些應用題”，而是要在教材設計、編排體系等方面做更深層次的考慮。

三、高中數學教科書中的“應用”

下面以《全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本）數學第一冊（上）為例》，對“應用”進行具體的分析：

1．教學內容的選取

知識點：函數的應用舉例。實習作業。等差數列及其通項公式。等差數列前n項和公式。等比數列及其通項公式。等比數列前n項和公式。

研究性課題：數列在分期付款中的應用

教學目標：

能夠運用函數的性質、指數函數、對數函數的性質解決某些簡單的實際問題。

實習作業已函數應用為內容，培養學生應用函數知識解決實際問題的能力。

理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題。

理解等比數列的概念，掌握等比數列的通項公式與前n項和公式，并能運用公式解決簡單的問題。

毋庸諱言，現在的數學教科書主要是以數學知識為中心，進行教材的設計；數學的組織基本上以數學學科的內在邏輯順序為主線。

2．教學內容的處理

（1）　正文：“2.2函數一節中”

例5　 在國內投寄外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g而不超過40g 付郵資160分，依此類推，試建立平信應付郵資（單位：分）的函數關系，并畫出圖象。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

這是幾乎每個人在現實生活中都會遇到的問題，也即現實情境（問題情境），建立函數關系式（數學模型）：

當郵寄35g的外埠平信時，從圖象中可以看出，應付160分的郵資（應用到現實情境中去）。

這是一個比較簡單的“數學建模”過程：問題情境→建立模型→解釋與應用。可以說，在一定程度上，“數學建模”使應用更現實化。學生看到數學如何才能應用到真正的“現實生活”問題中，并且渴望獲得進一步學習的動力，會自然地尋找“數學建模”的機會。

在解決實際問題中，“會使用數學語言表達問題、進行交流，形成用數學的意識”是應用的一個重要的方面。從上例中可以看出，在建立數學模型的過程中，自然經歷自然語言、數學語言（函數關系式）、圖形語言（函數圖象）相互轉化的過程。

(２）閱讀材料 自由落體運動的數學模型

該閱讀材料結合典型事例，詳細地介紹了數學模型的概念、數學模型建立過程，以及利用數學模型方法解決問題的基本步驟。

（３）研究性課題：數列在分期付款中的作用

研究性課題主要是指對某些數學問題的深入探討，或者從數學角度對某些日常生活和其他學科中出現的問題進行研究。充分地體現學生的自主活動和合作活動。研究性課題應以所學的數學知識為基礎，并且密切結合生活和生產實際。可以師生自擬課題。提倡教師和

[1] [2] 下一頁

學生自己提出問題。

四、應注意的幾個問題

（一）應用的層次性

單就出口而言，有以下幾個層次：

1．在數學學科本身的應用。

由于數學學科本身具有邏輯嚴密的特點，前面知識的學習為學習后面的知識做準備。換句話說，前面的知識要應用到后面知識的學習中。

2．在其他相關學科的應用，特別是物理及工程技術中的應用。

3．應用到現實情境中去

由于高中學生學習的知識畢竟還是有限的，他們用數學知識解決的現實問題，與應用數學家所面臨的現實問題相比，充其量是個“準數學問題”，至少是“半數學化”的問題，是一個經過人為加工的“數學半成品”。

4．發現問題、提出問題、分析問題、解決問題這四者之間，能夠發現問題、提出問題，這是要求最高的。能夠解決已經“數學化”了的問題，對學生來講，是個技能化的過程。而能夠發現問題、提出問題、分析問題則是一個能力問題。

5．數學語言的靈活運用是應用的最高層次，特別是自然語言、數學語言、圖形語言的相互轉化，以及用數學語言進行交流。

（二）應用與基礎知識的關系

對高中學生來講，掌握數學的基礎知識應該是教學的首要目標，應用是以掌握數學知識為前提的。應用不僅僅是目的，更重要的是過程，即我們不僅要使學生樹立起數學應用意識，認識到數學的廣泛應用性特點和應用價值，具備應用數學解決實際問題的規律性認識和操作性能力，而且還要切切實實讓學生在應用數學中掌握基礎知識和數學方法，學會使用數學語言，并受到數學文化的熏陶。很難想象，沒有扎實的基礎知識，談何應用？

（三）應用與計算機（器）

計算機（器）的普及，為數學的應用提供了先進的計算工具，更便于處理實際數據，使應用問題更加真實，切合實際；良好的演示平臺，使數學應用有了廣闊的空間，計算機能夠把靜態的變成動態的，把抽象的東西具體化，直觀化，使人們的思維能夠得到一定程度的延伸。

（四）從數學學習和數學活動看“應用”

數學不同于其他自然科學，它具有逐級抽象的特點。從客觀實際、現實世界中的抽象只是數學的低級抽象；脫離具體事和物的數量關系和空間形式的數學研究的對象是數學的高級抽象。高級抽象是在低級抽象基礎上的進一步抽象，它的研究對象是一種形式化的思想材料，是經過人加工了的思想，是人對自然界的概括和認識。數學的逐級抽象性的特點，說明了學生學習過程中思維發展的不同階段和水平，因而數學的學習活動也是分層次的。學習的最低層次是數學的組織：通過學生自己的猜測、探索，從現實問題情景中提煉數學問題，發現問題及其規律，對問題有整體理解，這是學生數學地組織經驗材料的活動層次；學習的第二個層次是將數學問題組織成原理，并用數學語言模式去描繪原理。即通過對脫離具體事和物的數量關系和空間形式的數學研究，構筑抽象理論意義的數學原理。這是學生組織經驗領域的活動，是進一步抽象概括數學材料并提煉數學原理的過程；第三個層次是數學原理的驗證、推廣階段。如果說前兩個層次是“發現”原理的過程，那么這個層次就是驗證推廣的階段。驗證的過程實際是將“發展”的結果演繹推理的形式系統化、邏輯化的過程；最后一個層次是反省上述學習過程，將抽象結果應用于實際，用以指導現實生活。此層次的反省活動，是對前述認識過程的進一步認識，是對前述學習過程的反思，對整個學習過程起到調節和監控作用。斯托利亞爾認為，數學活動可分為三個階段：經驗材料的數學組織化、數學材料的邏輯組織化、數學理論的應用。這三個階段構成了學生學習活動的完整過程，忽視甚至丟棄哪個階段的做法都是不對的。學生親自感受和經歷“發現”數學的過程，也就是數學再創造的過程，唯有以再創造的方式進行數學學習，將知識的發生發展過程理清，才能在數學上向趨向成熟的下一階段邁進。傳統的數學課程只是按照以形式化了的現成的數學規則去操作數學。現在的數學課程強調了經驗材料的數學組織和數學的應用。

“應用”是一個非常大的話題，不但是課程教材改革的問題，而且還涉及教學、學習、評價（考試）等等。筆者認為，“應用”最主要的是教學思想的問題，即在教學中培養學生的應用意識，從“出口”著眼，從“入口”著手。課程教材和評價（考試）只是培養學生應用意識過程的一個必不可少的環節，更重要的是要在平時的教學中去實現。

摘自中學數學

上一頁  [1] [2]