九年義務教育六年制小學數學第九冊簡介

由于小數與整數在計數形式、計算方法等許多方面聯系非常緊密，所以教材注意在已學的整數有關知識的基礎上，教學小數乘、除法的計算法則。如通過具體例子，著重說明小數乘、除法的計算法則與整數乘、除法基本一致，不同的主要是小數點的處理。講整數乘法運算定律推廣到小數時，指出對小數同樣適用。由于突出了小數和整數的聯系，很多內容就不需要完全當作新知識講，可以引導學生把已學的整數知識遷移到小數中去，然后區分與整數不同的地方。這樣既節省教學時間，又使學生易于掌握小數知識，還有利于培養學生遷移類推的能力。

本冊教材在應用題方面，先復習已學過的兩步應用題和比較容易的三步應用題，在此基礎上總結解答應用題的一般步驟，并適當擴大應用題的范圍，出現一般的三步應用題以及有相遇關系的行程問題，進一步提高學生分析和解答應用題的能力。

加強實際操作是發展學生空間觀念的有效途徑。教材繼續通過實際觀察、制作、測量、拆拼等活動，使學生獲得有關圖形大孝特征的深刻印象，清楚地理解各種圖形的面積計算公式的來源，能夠根據所給的已知條件正確地計算有關圖形的面積。

同時，教材注意在操作過程中滲透數學的思想方法，如數學變換思想，使學生把有關的圖形知識很好地聯系起來，促進新舊知識的轉化，既可以幫助學生總結概括出計算公式，又可以發展空間觀念，為以后進一步學習幾何知識積累直觀經驗。

在小學數學中適當引入一些代數初步知識，有利于學生鞏固和加深對已學過的知識的理解；可以使一些整數、分數、百分數的應用題（主要是逆思考的）化難為易，減輕學生學習負擔，提高學生解題能力；有助于培養學生的抽象思維能力；有利于加強中小學數學的街接。下面就本冊教材各單元的主要內容和編寫意圖作一簡要介紹。

一、小數的乘法和除法

（一）小數乘法

這部分內容主要包括小數乘以整數和一個數乘以小數，積的近似值，連乘、乘加、乘減和整數乘法運算定律推廣到小數。小數乘以整數和一個小數乘以小數，教材都是先講意義，再講計算方法。在教學小數乘法的計算方法時，先啟發學生想怎樣把小數乘法的計算轉化成整數乘法，然后根據因數擴大倍數引起積的變化的規律過程，最后再引導學生分析積的小數位數與被乘數、乘數的小數位數的關系，幫助學生總結出小數乘法的計算法則。學生在做整數乘法時已經形成積總是大于被乘數的印象。學過小數乘法后，發現乘積有時比被乘數反而小，有些學生會產生困惑。

為此，教材在本節的最后引導學生把例題中的積和被乘數的大小進行比較，啟發學生自己發現，積與被乘數的關系。這樣可以使學生對小數乘法的意義認識得更清楚。在小數乘法中，求積的近似值，是在求小數的近似數的基礎上進行教學的。教材通過實例說明在小數乘法中求積的近似值的方法。要根據實際需要確定保留一定的小數位數。教材中的練習題一般都注明得數要保留幾位小數，但是也有些題目沒有注明要求，而讓學生根據實際情況確定，以培養學生運用所學的知識解決簡單的實際問題的能力。小數的連乘、乘加、乘減是在整數四則運算順序的基礎上進行教學的。

教材首先復習整數的.連乘、乘加、乘減的計算，然后再進一步說明小數的運算順序同整數是一樣的。接著通過一道例題教學小數連乘的計算方法。小數的乘加和乘減沒有單設例題講解，而是讓學生在已有的知識的基礎上類推的。整數乘法運算定律對于小數乘法同樣適用。這部分教材的安排同小數加減法基本相同，教學時要啟發學生想怎樣計算比較簡便，應用了哪條乘法運算定律，以培養學生思維的邏輯性。此外，還要提醒學生，以后在做練習時能用簡便運算的就要用簡便運算。

（二）小數除法

這部分內容主要包括小數除法的意義，除數是整數的小數除法，一個數除以小數，商的近似值，循環小數和簡便計算。小數除法的意義是在整數除法的意義的基礎上進行教學的。

教材首先是通過一組應用題，讓學生直觀地看到，小數除法的意義和整數除法的意義相同，也是已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。然后，通過一道要求根據小數除法的意義寫出小數除法計算式的商，使學生進一步熟悉小數除法的意義。小數除法的計算可以分兩種情況：一種是除數是整數的，另一種是除數是小數的。由于除數是小數的除法計算要通過商不變的性質變化成除數是整數的小數除法來計算，所以除數是整數的小數除法是學習小數除法計算的基矗除數是整數的小數除法，教材先通過例題著重說明除數是整數的小數除法的計算步驟與整數除法基本相同，唯一不同的是解決小數點的位置問題。除數是小數的除法是小數除法教學的重點。教材通過一道例題著重說明如何把除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法這一關鍵問題，再通過一道例題講解被除數的小數位數比除數的小數位數少的情況。最后再引導學生根據上面兩個例題總結概括出除數是小數的除法的計算法則。商的近似值的教學，由于前面已經教學過一個小數的近似數和求積的近似值，在這個基礎上，教材通過一道計算題，讓學生自己想象商的近似值。然后再幫助學生總結出取商的近似值的一般方法。取

這些方法在實際生活中也有一定用處。考慮到學生年齡較小，生活經驗又少，對后兩種方法不作為共同要求，只在練習題中安排了星號題，為學有余力的同學增加一點知識。循環小數這部分內容概念較多，又比較抽象，是教學的一個難點。教材通過兩道除法計算，使學生看到由于余數重復出現，商也重復出現，而且這樣的重復是循環不斷的。從而，引出循環小數的概念。循環節、純循環小數和混循環小數等概念都是本冊教材的選學內容。

二、整數、小數四則混合運算和應用題

（一）整數、小數四則混合運算

整數、小數四則混合運算是在學生已經掌握的整數四則混合運算和小數四則運算的基礎上，對整數、小數四則混合運算進行概括、總結和提高。通過教學要使學生進一步掌握整數、小數四則混合運算順序，學會使用中括號，能夠正確地計算整數、小數四則混合運算式題。四則混合運算的順序學生在前面已經學習過，但沒有用第一級和第二級運算來敘述，本節教材通過例題明確提出第一級運算和第二級運算的概念，并在此基礎上對四則混合運算的順序進行了概括總結。為了提高學生靈活運用知識的能力，教學時，可以結合例題告訴學生，在計算混合運算式題時，為了提高學生靈活運用知識的能力，有時雖然整個題目不能每一步都用簡便計算，但是有的步驟能用簡便計算的，要盡量用簡便計算。在列綜合算式時怎樣使用中括號，本冊教材是在教學列綜合算式解答文字題和應用題時引入的，以進一步提高學生列綜合算式解答文字題和應用題的能力。學生在列綜合算式解答三步應用題時，特別要注意括號的使用，如果有的學生直接列綜合算式有困難，也可以讓他們先分步列式，再改成列綜合算式。

（二）應用題

這一節主要包括兩部分內容：前一部分是在已有知識的基礎上總結解答應用題的一般方法和步驟，進一步擴展一般應用題的解題范圍。后部分教學以反映兩個物體運動為內容的相遇問題。通過教學，要使學生掌握解答應用題的一般方法和步驟，會列綜合算式解答三步計算的應用題，初步掌握兩個物體同時運動時速度、時間和路程之間的數量關系，會解答一些比較容易的行程應用題，進一步提高學生解答應用題的能力。解答應用題的一般方法和步驟，教材是在學生已有知識的基礎上，通過解答一道應用題總結整理出來的。通過這樣的歸納、整理和總結，便于學生較系統地掌握解答應用題的一般方法和步驟，提高學生的分析問題和解答問題的能力。

教學解答應用題的一般步驟時，可以按照教材提出的問題，依次引導學生思考和解答。關于應用題的檢驗，教材在原有檢驗方法的基礎上，進一步介紹了第二種方法（把得數當作已知數，一步步逆推，看得數是否符合其中的一個已知條件）。由于這種檢驗應用題的方法比較難，要給學生講解一下，同時還應向學生強調，檢驗是解答應用題的重要一步，既使題中沒有要求檢驗，自己也要先檢驗，再寫答案。歸一、歸總的三步應用題是在歸一、歸總的兩步應用題的基礎上教學的。

教材先通過復習題復習已學過的兩步計算的歸一題，然后通過改變其中的一個條件引出歸一的三步應用題。之后，教材還在“做一做”中進一步提出：如果把復習題的問題改變該怎樣解答？使學生明確在兩步題的基礎上，不僅可以通過改變條件把它變成三步題，而且還可以通過變化問題的'問法把原來的兩步題改為三步題，以加深學生對兩步題與三步題的聯系的理解。有關計劃與實際完成數相比的應用題，在實際生產和生活中應用比較廣泛，有必要讓學生學習和了解。但是考慮到學生對這類問題接觸不多，理解起來有一定的困難，因此教材專門安排了一個例題進行講解，并在例題和練習題的選取上注意選取學生比較容易理解的和常見的數量關系。有關行程問題的應用題，這里以相遇問題為主，研究兩個物體在運動中的速度、時間和路程之間的數量關系。兩個物體運動的情況是多種多樣的，有方向問題、出發地點問題，還有時間問題。學生要全部掌握這些是較困難的。

本冊教材的重點是教學兩個物體相向運動的應用題。其中又以“相遇求路程”和“相遇求時間”兩種為主。學好兩物體相向運動的相遇問題，關鍵是弄清每經過一個單位時間，兩物體之間的距離變化。由于學生在這方面的生活經驗較少，往往不易理解相向運動的變化特點，為此教材首先出現準備題，說明什么叫“相向而行”和“相遇”。然后再通過例題教學“相遇求路程”和“相遇求時間”的應用題。四步計算的應用題，大綱中規定不作共同要求，也不作考試內容。但考慮到教學這些應用題不僅可以復習、鞏固已學過的應用題，而且還可以進一步提高學生分析解答應用題的能力。

因此，本冊教材把這些應用題專門作為一段，安排在本單元的最后，供有條件的學校和班級選學。

三、多邊形面積的計算

為了使學生循序漸進地掌握各種多邊形面積的計算方法，根據各種圖形面積計算的內在聯系和學習遷移的規律，本單元面積計算的教學順序是：以長方形面積的計算為基礎，從研究平行四邊形的面積開始，引導學生把平行四邊形轉化為長方形來計算面積，然后再以平行四邊形面積的計算為基礎，推出三角形面積的計算方法。最后再引導學生運用遷移規律自己推導出梯形面積的計算公式。這樣，不僅能使學生以簡馭繁逐步掌握這些圖形面積的計算方法，還滲透了數學的轉化思想，培養了學生應用舊知識解決新問題的能力，既減輕了學生學習負擔，又提高了質量。本單元在教學面積計算時，注意了以下幾點：

（１）加強學生動手操作。通過操作可以加深學生對圖形面積概念的認識，探索面積的計算方法，發展思維能力和空間觀念。

（２）引導學生運用轉化的方法，啟發學生探索規律，溝通知識之間的內在聯系，使學生在理解的基礎上掌握面積的計算公式，思維也得到了發展。

（一）平行四邊形面積的計算

教材先給了方格紙上的平行四邊形和長方形，讓學生通過數方格求出平行四邊形的面積，再算出長方形的面積。當學生發現它們的面積相等時，再讓學生通過觀察，比較平行四邊形的底與高和長方形長與寬有什么關系，為進一步探討平行四邊形面積的計算方法做好準備。教材接著提出問題，不數方格能不能計算平行四邊形面積，怎樣把平行四邊形轉化成長方形來算。教材在這里利用轉化方法，通過學生動手操作、探索，把平行四邊形轉化成已學過的長方形，從而把計算平行四邊形的面積轉化為計算長方形的面積。教材在這里不是像以往一樣讓學生只進行割補，而是通過圖示引導學生把剪下來的部分按照一定方式平移，從而滲透了平移思想。通過這樣操作，學生把一個平行四邊形轉化成一個與它面積相同的長方形，然后讓學生自己找出長方形的長、寬與原來平行四邊形的底、高的關系，推導出平行四邊形的面積計算公式。

（二）三角形面積的計算

這部分教材開始仍從數方格計算三角形的面積引入。教材在方格紙上給出了不同的三角形，讓學生分別用數方格的方法求出它們的面積。然后提出問題，啟發學生想，不用數方格的方法怎樣計算三角形的面積，能不能把三角形轉化為已學過的圖形。教材分三步引導學生進行動手操作。先用兩個完全一樣的直角三角形，能夠拼出長方形、平行四邊形和各種不同的三角形。并引導學生觀察哪些圖形的面積會計算，著重解決直角三角形和平行四邊形面積的關系。使學生看到只有把三角形轉化為平行四邊形，才能運用舊知識解決三角形面積的計算問題，并啟發學生想一想每個直角三角形與拼成的平行四邊形的面積有什么關系。為概括三角形面積公式作初步準備。接著讓學生用兩個完全一樣的銳角三角形拼擺。學生已經有了用直角三角形拼擺的基礎，在此著重通過拼擺活動滲透旋轉、平移思想，這里主要是引導學生用庭園的方法拼擺。在操作的基礎上再引導學生想，每個銳角三角形的面積與拼成的平行四邊形的面積有什么關系。使學生明確每個銳角三角形的面積也是拼成的平行四邊形面積的一半。最后一步，教材沒有給出具體指導，讓學生自己用兩個完全一樣的鈍角三角形拼，發現每個鈍角三角形的面積也是拼成的平行四邊形面積的一半。在此基礎上，引導學生自己說出三角形的底、高和拼成的平行四邊形的底、高的關系，從而總結出三角形面積的計算公式。

（三）梯形面積的計算

學生在本單元的前兩節已學習了一些轉化思想和方法。教材在教學梯形的面積時，沒有再從數方格開始，而是給出一個梯形，讓學生想能不能依照三角形面積的求法，把梯形也轉化成已學過的`圖形，計算出它的面積。然后通過圖示引導學生動手操作，把兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形，再比較梯形的底、高與拼成的平行四邊形的底、高有什么關系，自己推出梯形面積的計算公式。

（四）實際測量

這一節教材包括兩部分內容：在地面上測量距離、步測和目測。教材先教學在地面上測量距離，這部分內容屬于工具測量。工具測量在日常生活中用得很廣泛，是實際測量中的重要手段。教材先介紹在地面上測量的常用工具，并配以實物圖。然后再著重通過圖示說明測量較遠的距離時，需要先使用標桿測定一條直線，再用卷尺或測繩分段測量出這段距離。接著讓學生學習利用工具實際進行測量。步測是通過人走的步長和步數來計算地面上兩點之間距離的方法，也屬于工具測量的性質，只不過是以步代替測量工具。教材先介紹確定步長的方法，并通過例１教學如何計算步長。接著又通過例２教學如何步測兩地間的距離。目測是用眼睛估量一段距離的長度。目測是在沒有測量工具或者測量不大方便，而又對測量結果要求不很精確的情況下使用的。目測需要測量的人對地面上兩點間的距離有一定的經驗才能測得比較準確。教材介紹了一些取得這些經驗的練習方法。教學時可以介紹一些，還可以做適當的練習。這部分內容只要讓學生初步了解一些這方面的知識就可以了，不作具體要求。

（五）組合圖形面積的計算

這一節是選學內容，在實際生活中，我們見到的物體表面，有很多圖形是由我們已學過的正方形、長方形、平行四邊形、三角形或梯形組合而成的，經常需要計算這些組合圖形的面積。本節教材只出現兩個簡單圖形組合成的圖形，使學生對組合圖形的構成，以及簡單的組合圖形面積的計算有個初步認識

四、簡易方程

（一）用字母表示數，對小學生來說是比較抽象的。

教材一方面把用字母表示數的教學適當分散，另一方面本節把用字母表示數的教學順序與原通用教材作了適當調整，即先復習有關內容中出現的用字母表示運算定律和計算公式。在此基礎上，再引出用字母表示常見的數量關系和數量。這樣處理更加符合由易到難的編排原則。就思維過程而言，由具體的數和用運算符號組成的式子過渡到含有字母的式子是從個別上升到一般的抽象化過程；而把具體數代入含有字母的式子求它的值，則是與上述過程相反的過程，即從一般到個別的具體化過程。因此求含有字母的式子的值可以幫助學生更好地理解用字母表示數的意義，并為后面學習解方程進行驗算打下基矗教材首先教學用字母表示運算定律和計算公式。以用字母表示運算定律為例，說明用字母表示數的意義。然后通過復習用字母表示一些平面圖形的面積計算公式，引出一個數平方的意義以及它的

（二）解簡易方程

教材先通過直觀引入等式與方程的概念，并通過實例說明方程的解和解方程的含義。然后在已學的.基礎上進一步教學簡易方程的解法。小學數學中的方程，由于類型比較簡單，未知數一般只出現在等號的一端，而且是在非負整數的范圍內研究的。因此，可以根據四則運算各部分間的關系及運算定律來求解，這樣學生易于接受。這部分內容與本單元的第三節緊密配合，是為列方程解應用題作準備。教材通過天平演示，引出等式。接著再通過兩個實例，引出含有未知數的等式，再利用等式概括出方程的定義。并借助集合圖，說明等式與方程的關系。教學解簡易方程，教材首先舉例說明什么叫方程的解。然后聯系已學過的求未知數的知識，指出什么叫解方程。通過例１，說明解最簡單的方程的一般步驟、檢驗的方法及書寫的格式。教學方程的解和解方程這兩個概念時，應結合課本上的例題使學生能夠區別它們。接著，教材通過４個例題教學含有二、三步計算的簡易方程的解法。

（三）列方程解應用題

這一節教材主要教學適合用方程解的二至三步計算的應用題。使學生初步體會到用方程解應用題的優越性，掌握用方程解應用題的方法。教材從復習簡單應用題的兩種解法入手，指出什么叫列方程解應用題。通過例１和例２，教學列方程解應用題的一般步驟和方法。使學生看到列方程解應用題的關鍵在理解題意、分析數量關系的基礎上找出應用題中數量間的相等關系，然后總結出列方程解應用題的一般步驟。教學時要注意抓住解題的關鍵，指明思路，以幫助學生突破列方程這個難點。在學生初步學會列方程解答應用題的方法和步驟的基礎上，教材進一步教學解答一般的兩、三步應用題。教材還安排了列方程中用一個字母解含有兩個未知數的應用題。這種應用題在實際中有一定用處，而且是學習分數應用題的重要基矗教材在最后安排了用方程解和用算術方法解應用題的比較。使學生弄清兩種解法各自的特點，培養學生靈活解題的能力。以后的應用題，除了有明確要求的以外，都不要求學生必須用哪種方法解答，而是哪種簡便就用哪種方法解答。