高中數學教案(熱)
作為一名為他人授業解惑的教育工作者，時常需要用到教案，編寫教案有利于我們準確把握教材的重點與難點，進而選擇恰當的教學方法。那要怎么寫好教案呢？以下是小編為大家整理的高中數學教案，希望對大家有所幫助。
高中數學教案1
教學目標
理解數列的概念，掌握數列的運用
教學重難點
理解數列的概念，掌握數列的運用
教學過程
【知識點精講】
1、數列：按照一定次序排列的一列數(與順序有關)
2、通項公式：數列的.第n項an與n之間的函數關系用一個公式來表示an=f(n)。
(通項公式不)
3、數列的表示:
(1)列舉法:如1,3,5,7,9……;
(2)圖解法:由(n,an)點構成;
(3)解析法:用通項公式表示,如an=2n+1
(4)遞推法:用前n項的值與它相鄰的項之間的關系表示各項,如a1=1,an=1+2an-1
4、數列分類：有窮數列，無窮數列;遞增數列，遞減數列，擺動數列，常數數列;有界數列，xx數列
5、任意數列{an}的前n項和的性質
高中數學教案2
整體設計
教學分析
我們在初中的學習過程中，已了解了整數指數冪的概念和運算性質。從本節開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎上，類比出正數的n次方根的定義，從而把指數推廣到分數指數。進而推廣到有理數指數，再推廣到實數指數，并將冪的運算性質由整數指數冪推廣到實數指數冪。
教材為了讓學生在學習之外就感受到指數函數的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題。前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數指數冪，也讓學生感受到其中的函數模型，并且還有思想教育價值。后一個問題讓學生體會其中的函數模型的同時，激發學生探究分數指數冪、無理數指數冪的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊。
本節安排的內容蘊涵了許多重要的數學思想方法，如推廣的思想（指數冪運算律的推廣）、類比的思想、逼近的思想（有理數指數冪逼近無理數指數冪）、數形結合的思想（用指數函數的圖象研究指數函數的性質）等，同時，充分關注與實際問題的結合，體現數學的應用價值。
根據本節內容的特點，教學中要注意發揮信息技術的力量，盡量利用計算器和計算機創設教學情境，為學生的數學探究與數學思維提供支持。
三維目標
1、通過與初中所學的知識進行類比，理解分數指數冪的概念，進而學習指數冪的性質。掌握分數指數冪和根式之間的互化，掌握分數指數冪的運算性質。培養學生觀察分析、抽象類比的能力。
2、掌握根式與分數指數冪的互化，滲透“轉化”的數學思想。通過運算訓練，養成學生嚴謹治學，一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數學來自生活，數學又服務于生活的哲理。
3、能熟練地運用有理指數冪運算性質進行化簡、求值，培養學生嚴謹的思維和科學正確的計算能力。
4、通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數冪的運算性質。展示函數圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數函數的性質，讓學生體驗數學的簡潔美和統一美。
重點難點
教學重點
（1）分數指數冪和根式概念的理解。
（2）掌握并運用分數指數冪的運算性質。
（3）運用有理指數冪的性質進行化簡、求值。
教學難點
（1）分數指數冪及根式概念的理解。
�。�2）有理指數冪性質的靈活應用。
課時安排
3課時
教學過程
第1課時
作者：路致芳
導入新課
思路1.同學們在預習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發展與進化的，第二個問題我們不太清楚）考古學家是按照這樣一條規律推測生物所處的年代的。教師板書本節課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
思路2.同學們，我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數函數——指數與指數冪的運算。
推進新課
新知探究
提出問題
�。�1）什么是平方根？什么是立方根？一個數的平方根有幾個，立方根呢？
�。�2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據上面的結論我們又能得到什么呢？
（3）根據上面的結論我們能得到一般性的結論嗎？
（4）可否用一個式子表達呢？
活動：教師提示，引導學生回憶初中的時候已經學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結論進行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時啟發學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維。
討論結果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數的平方根有兩個，它們互為相反數，如：4的平方根為±2，負數沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.
（2）類比平方根、立方根的定義，一個數的四次方等于a，則這個數叫a的四次方根。一個數的五次方等于a，則這個數叫a的五次方根。一個數的六次方等于a，則這個數叫a的六次方根。
�。�3）類比(2)得到一個數的n次方等于a，則這個數叫a的n次方根。
（4）用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。
教師板書n次方根的意義：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數集。
可以看出數的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出問題
�。�1）你能根據n次方根的意義求出下列數的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。
�、�4的平方根；②±8的立方根；③16的`4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應的方根的指數是什么數，有什么特點？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應什么性質的數，有什么特點？
�。�3）問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數a有正有負，還有零，結論有一個的，也有兩個的，你能否總結一般規律呢？
�。�4）任何一個數a的偶次方根是否存在呢？
活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數a的n次方根，就是求出的那個數的n次方等于a，及時點撥學生，從數的分類考慮，可以把具體的數寫出來，觀察數的特點，對問題(2)中的結論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路。
討論結果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
�。�2）方根的指數是2,3,4,5,7…特點是有奇數和偶數。總的來看，這些數包括正數，負數和零。
�。�3）一個數a的奇次方根只有一個，一個正數a的偶次方根有兩個，是互為相反數。0的任何次方根都是0.
�。�4）任何一個數a的偶次方根不一定存在，如負數的偶次方根就不存在，因為沒有一個數的偶次方是一個負數。
類比前面的平方根、立方根，結合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質：
�、佼攏為偶數時，正數a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
②n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
�、圬摂禌]有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字語言可用下面的式子表示：
a為正數：n為奇數，a的n次方根有一個為na，n為偶數，a的n次方根有兩個為±na.
a為負數：n為奇數，a的n次方根只有一個為na，n為偶數，a的n次方根不存在。
零的n次方根為零，記為n0=0.
可以看出數的平方根、立方根的性質是n次方根的性質的特例。
思考
根據n次方根的性質能否舉例說明上述幾種情況？
活動：教師提示學生對方根的性質要分類掌握，即正數的奇偶次方根，負數的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現在我們給式子na一個名稱——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開方數，n叫做根指數。
如3-27中，3叫根指數，-27叫被開方數。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論。教師點撥，注意歸納整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根據n次方根的意義，可得：(na)n=a.
通過探究得到：n為奇數，nan=a.
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
因此我們得到n次方根的運算性質：
�、�(na)n=a.先開方，再乘方（同次），結果為被開方數。
�、趎為奇數，nan=a.先奇次乘方，再開方（同次），結果為被開方數。
n為偶數，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方（同次），結果為被開方數的絕對值。
應用示例
思路1
例求下列各式的值：
�。�1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。
活動：求某些式子的值，首先考慮的應是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個題目仔細分析。觀察學生的解題情況，讓學生展示結果，抓住學生在解題過程中出現的問題并對癥下藥。求下列各式的值實際上是求數的方根，可按方根的運算性質來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數的符號定準，然后看根指數是奇數還是偶數，如果是奇數，無需考慮符號，如果是偶數，開方的結果必須是非負數。
解：(1)3(-8)3=-8;
（2）(-10)2=10;
（3)4(3-π）4=π-3;
�。�4）(a-b)2=a-b(a>b)。
點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導致問題出現的一個重要原因，要在理解的基礎上，記準，記熟，會用，活用。
變式訓練
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，
(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，
(3)4(3a-3)4=
點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。
思路2
例1下列各式中正確的是（）
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質，應首先考慮根據方根的意義和運算性質來解，既要考慮被開方數，又要考慮根指數，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質，當n為偶數時，應先寫nan=|a|，故A項錯。
(2)6(-2)2=3-2，本質上與上題相同，是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，結論為6(-2)2=32，故B項錯。
(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。
(4)D項是一個正數的偶次方根，根據運算順序也應如此，故D項正確。所以答案選D.
答案：D
點評：本題由于考查n次方根的運算性質與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心。
例2 3+22+3-22=__________.
活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內容與本節無關，但仔細一想，我們學習的內容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據方根的運算求出結果是解題的關鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關鍵，教師提示，引導學生解題的思路。
解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，
3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，
所以3+22+3-22=22.
答案：22
點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式。
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動：教師引導，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消。同時借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。
另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，
兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解。
變式訓練
若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。
解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，
即a-1≥0，
所以a≥1.
點評：利用方根的運算性質轉化為去絕對值符號，是解題的關鍵。
知能訓練
�。ń處熡枚嗝襟w顯示在屏幕上）
1、以下說法正確的是（）
A.正數的n次方根是一個正數
B.負數的n次方根是一個負數
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數集）
答案：C
2、化簡下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、計算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恒等式，為什么？請舉例說明。
活動：組織學生結合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。
通過歸納，得出問題結果，對a是正數和零，n為偶數時，n為奇數時討論一下。再對a是負數，n為偶數時，n為奇數時討論一下，就可得到相應的結論。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數或偶數，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a，|a|，當n為奇數，當n為偶數。
當n為奇數時，a∈R，nan=a恒成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
當n為偶數時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，
即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。
點評：實質上是對n次方根的概念、性質以及運算性質的深刻理解。
課堂小結
學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節課的學習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數，n叫根指數。
�。�1）當n為偶數時，a的n次方根有兩個，是互為相反數，正的n次方根用na表示，如果是負數，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
(2)n為奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，這時a的n次方根用符號na表示。
�。�3）負數沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握兩個公式：n為奇數時，(na)n=a，n為偶數時，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
作業
課本習題2.1A組1.
補充作業：
1、化簡下列各式：
(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.
解：(1)681=634=332=39;
(2)15-32=-1525=-32;
(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.
2、若5
解析：因為5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，
不難看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
設計感想
學生已經學習了數的平方根和立方根，根式的內容是這些內容的推廣，本節課由于方根和根式的概念和性質難以理解，在引入根式的概念時，要結合已學內容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數和偶數兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結合具體例子講解，因此設計了大量的類比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要用多媒體信息技術服務教學。
第2課時
作者：郝云靜
導入新課
思路1.碳14測年法。原來宇宙射線在大氣層中能夠產生放射性碳14，并與氧結合成二氧化碳后進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸收碳14在機體內保持一定的水平。而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14，其組織內的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失。對于任何含碳物質只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經過一定的時間，變為原來的一半）。引出本節課題：指數與指數冪的運算之分數指數冪。
思路2.同學們，我們在初中學習了整數指數冪及其運算性質，那么整數指數冪是否可以推廣呢？答案是肯定的。這就是本節的主講內容，教師板書本節課題——指數與指數冪的運算之分數指數冪。
推進新課
新知探究
提出問題
�。�1）整數指數冪的運算性質是什么？
�。�2）觀察以下式子，并總結出規律：a>0，
�、�；
�、赼8=(a4)2=a4=，；
�、�4a12=4(a3)4=a3=；
�、�2a10=2(a5)2=a5= 。
（3）利用(2)的規律，你能表示下列式子嗎？
，，，(x>0，m，n∈正整數集，且n>1)。
（4）你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？
（5）你能推廣到一般的情形嗎？
活動：學生回顧初中學習的整數指數冪及運算性質，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數之間的關系，教師引導學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發學生類比(2)的規律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示。
討論結果：(1)整數指數冪的運算性質：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無意義；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實質上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結果的a的指數是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質沒變。
根據4個式子的最后結果可以總結：當根式的被開方數的指數能被根指數整除時，根式可以寫成分數作為指數的形式（分數指數冪形式）。
（3）利用(2)的規律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
結果表明方根的結果和分數指數冪是相通的。
�。�5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
綜上所述，我們得到正數的正分數指數冪的意義，教師板書：
規定：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)。
提出問題
�。�1）負整數指數冪的意義是怎樣規定的？
�。�2）你能得出負分數指數冪的意義嗎？
（3）你認為應怎樣規定零的分數指數冪的意義？
�。�4）綜合上述，如何規定分數指數冪的意義？
�。�5）分數指數冪的意義中，為什么規定a>0，去掉這個規定會產生什么樣的后果？
�。�6）既然指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那么整數指數冪的運算性質是否也適用于有理數指數冪呢？
活動：學生回想初中學習的情形，結合自己的學習體會回答，根據零的整數指數冪的意義和負整數指數冪的意義來類比，把正分數指數冪的意義與負分數指數冪的意義融合起來，與整數指數冪的運算性質類比可得有理數指數冪的運算性質，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明a>0的必要性，教師及時作出評價。
討論結果：(1)負整數指數冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
（2）既然負整數指數冪的意義是這樣規定的，類比正數的正分數指數冪的意義可得正數的負分數指數冪的意義。
規定：正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
�。�3）規定：零的分數指數冪的意義是：零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。
（4）教師板書分數指數冪的意義。分數指數冪的意義就是：
正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。
（5）若沒有a>0這個條件會怎樣呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現了截然不同的結果，這只說明分數指數冪在底數小于零時是無意義的。因此在把根式化成分數指數時，切記要使底數大于零，如無a>0的條件，比如式子3a2=，同時負數開奇次方是有意義的，負數開奇次方時，應把負號移到根式的外邊，然后再按規定化成分數指數冪，也就是說，負分數指數冪在有意義的情況下總表示正數，而不是負數，負數只是出現在指數上。
�。�6）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。
有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質：
�、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
�、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
�、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我們利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質可以解決一些問題，來看下面的例題。
應用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活動：教師引導學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質計算出數值或化成最簡根式，根據題目要求，把底數寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數冪的運算性質可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來。
解：(1) =22=4;
�。�2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
（4）=23-3=278.
點評：本例主要考查冪值運算，要按規定來解。在進行冪值運算時，要首先考慮轉化為指數運算，而不是首先轉化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.
例2用分數指數冪的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活動：學生觀察、思考，根據解題的順序，把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算，根式化為分數指數冪時，要由里往外依次進行，把握好運算性質和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
點評：利用分數指數冪的意義和有理數指數冪的運算性質進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數指數冪，再由冪的運算性質來運算。對于計算的結果，不強求統一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分數指數冪的形式來表示，但結果不能既有分數指數又有根式，也不能既有分母又有負指數。
例3計算下列各式（式中字母都是正數）。
（1）；
（2）。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內的，整數冪的運算性質及運算規律擴充到分數指數冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉后可以簡化步驟。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
�。�2）=m2n-3=m2n3.
點評：分數指數冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分數指數冪，就可把根式轉化成分數指數冪的形式，用分數指數冪的運算法則進行運算了。
本例主要是指數冪的運算法則的綜合考查和應用。
變式訓練
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4計算下列各式：
�。�1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底。利用分數指數冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數指數冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉化為分數指數冪后再由運算法則計算，最后寫出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能訓練
課本本節練習1,2,3
【補充練習】
教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發，對做得好的同學給予表揚鼓勵。
1、(1)下列運算中，正確的是（）
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
�。�2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是（）
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
�。�3）(34a6)2?(43a6)2等于（）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
�。�4）把根式-25(a-b)-2改寫成分數指數冪的形式為（）
A. B.
C. D.
�。�5）化簡的結果是（）
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
�。�2）設5x=4,5y=2，則52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x 答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3、解：。 因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因為x 所以原式= =12-6-63=-33. 拓展提升 1、化簡：。 活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數之間的關系可以得到解題思路，應對原式進行因式分解，根據本題的特點，注意到： x-1= -13=； x+1= +13=； 。 構建解題思路教師適時啟發提示。 解： = = = = 。 點撥：解這類題目，要注意運用以下公式， =a-b， =a± +b， =a±b. 2、已知，探究下列各式的值的求法。 (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。 解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7; �。�2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47; �。�3）由于， 所以有=a+a-1+1=8. 點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。 課堂小結 活動：教師，本節課同學們有哪些收獲？請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流。同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點： �。�1）分數指數冪的意義就是：正數的正分數指數冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，正數的負分數指數冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數集，n>1)，零的正分數次冪等于零，零的負分數指數冪沒有意義。 （2）規定了分數指數冪的意義后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數。 �。�3）有理數指數冪的運算性質：對任意的有理數r，s，均有下面的運算性質： �、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)， �、�(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)， �、�(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。 （4）說明兩點： �、俜謹抵笖祪绲囊饬x是一種規定，我們前面所舉的例子只表明這種規定的合理性，其中沒有推出關系。 �、谡麛抵笖祪绲倪\算性質對任意的有理數指數冪也同樣適用。因而分數指數冪與根式可以互化，也可以利用=am來計算。 作業 課本習題2.1A組2,4. 設計感想 本節課是分數指數冪的意義的引出及應用，分數指數是指數概念的又一次擴充，要讓學生反復理解分數指數冪的意義，教學中可以通過根式與分數指數冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術的手段來完成大容量的課堂教學任務。 第3課時 作者：鄭芳鳴 導入新課 思路1.同學們，既然我們把指數從正整數推廣到整數，又從整數推廣到正分數到負分數，這樣指數就推廣到有理數，那么它是否也和數的推廣一樣，到底有沒有無理數指數冪呢？回顧數的擴充過程，自然數到整數，整數到分數（有理數），有理數到實數。并且知道，在有理數到實數的擴充過程中，增添的數是無理數。對無理數指數冪，也是這樣擴充而來。既然如此，我們這節課的主要內容是：教師板書本堂課的課題〔指數與指數冪的運算(3)〕之無理數指數冪。 思路2.同學們，在初中我們學習了函數的知識，對函數有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數，如一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發展，社會的進步，我們還要學習許多函數，其中就有指數函數，為了學習指數函數的知識，我們必須學習實數指數冪的運算性質，為此，我們必須把指數冪從有理數指數冪擴充到實數指數冪，因此我們本節課學習：指數與指數冪的運算(3)之無理數指數冪，教師板書本節課的課題。 推進新課 新知探究 提出問題 �。�1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？ （2）多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發現什么樣的規律？ 2的過剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 的近似值 2的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … （3）你能給上述思想起個名字嗎？ �。�4）一個正數的無理數次冪到底是一個什么性質的數呢？如，根據你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？ �。�5）借助上面的結論你能說出一般性的結論嗎？ 活動：教師引導，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內容： 問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。 問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關聯。 問題(3)上述方法實際上是無限接近，最后是逼近。 問題(4)對問題給予大膽猜測，從數軸的觀點加以解釋。 問題(5)在(3)(4)的基礎上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。 討論結果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數都大于2，稱2的過剩近似值。 �。�2）第一個表：從大于2的方向逼近2時，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。 第二個表：從小于2的方向逼近2時，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。 從另一角度來看這個問題，在數軸上近似地表示這些點，數軸上的數字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以說從兩個方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數指數冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數指數冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規律變化的結果，事實上表示這些數的點從兩個方向向表示的點靠近，但這個點一定在數軸上，由此我們可得到的結論是一定是一個實數，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5. 充分表明是一個實數。 �。�3）逼近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識。 （4）根據(2)(3)我們可以推斷是一個實數，猜測一個正數的無理數次冪是一個實數。 �。�5）無理數指數冪的意義： 一般地，無理數指數冪aα（a>0，α是無理數）是一個確定的實數。 也就是說無理數可以作為指數，并且它的結果是一個實數，這樣指數概念又一次得到推廣，在數的擴充過程中，我們知道有理數和無理數統稱為實數。我們規定了無理數指數冪的意義，知道它是一個確定的實數，結合前面的有理數指數冪，那么，指數冪就從有理數指數冪擴充到實數指數冪。 提出問題 �。�1）為什么在規定無理數指數冪的意義時，必須規定底數是正數？ （2）無理數指數冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數指數冪的運算法則相通呢？ （3）你能給出實數指數冪的運算法則嗎？ 活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導他們用反例說明問題，注意類比，歸納。 對問題(1)回顧我們學習分數指數冪的意義時對底數的規定，舉例說明。 對問題（2)結合有理數指數冪的運算法則，既然無理數指數冪aα(a>0，α是無理數）是一個確定的實數，那么無理數指數冪的運算法則應當與有理數指數冪的運算法則類似，并且相通。 對問題(3)有了有理數指數冪的運算法則和無理數指數冪的運算法則，實數的運算法則自然就得到了。 討論結果：(1)底數大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規定了底數是正數后，無理數指數冪aα是一個確定的實數，就不會再造成混亂。 （2）因為無理數指數冪是一個確定的實數，所以能進行指數的運算，也能進行冪的運算，有理數指數冪的運算性質，同樣也適用于無理數指數冪。類比有理數指數冪的運算性質可以得到無理數指數冪的運算法則： ①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是無理數）。 �、冢╝r)s=ars(a>0，r，s都是無理數）。 �、郏╝?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數）。 （3）指數冪擴充到實數后，指數冪的運算性質也就推廣到了實數指數冪。 實數指數冪的運算性質： 對任意的實數r，s，均有下面的運算性質： �、賏r?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 應用示例 例1利用函數計算器計算。（精確到0.001） (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。 活動：教師教會學生利用函數計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數，算出數值，對于(1)，可先按底數0.3，再按xy鍵，再按冪指數2.1，最后按=，即可求得它的值； 對于(2)，先按底數3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可； 對于(3)，先按底數3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可； 對于(4)，這種無理指數冪，可先按底數3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵。有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。 學生可以相互交流，挖掘計算器的用途。 解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705. 點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現代技術的威力，逐步把自己融入現代信息社會；用四舍五入法求近似值，若保留小數點后n位，只需看第(n+1)位能否進位即可。 例2求值或化簡。 (1)a-4b23ab2(a>0，b>0)； （2）(a>0，b>0)； (3)5-26+7-43-6-42. 活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數則化為常數，若不能化為常數則應使所化式子達到最簡，對既有分數指數冪又有根式的式子，應該把根式統一化為分數指數冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導，對(1)由里向外把根式化成分數指數冪，要緊扣分數指數冪的意義和運算性質，對(2)既有分數指數冪又有根式，應當統一起來，化為分數指數冪，對(3)有多重根號的式子，應先去根號，這里是二次根式，被開方數應湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學生作及時的評價，注意總結解題的方法和規律。 解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。 點評：根式的運算常常化成冪的運算進行，計算結果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示。 教學目標： 1.了解反函數的概念，弄清原函數與反函數的定義域和值域的關系. 2.會求一些簡單函數的反函數. 3.在嘗試、探索求反函數的過程中，深化對概念的認識，總結出求反函數的一般步驟，加深對函數與方程、數形結合以及由特殊到一般等數學思想方法的認識. 4.進一步完善學生思維的深刻性，培養學生的逆向思維能力，用辯證的觀點分析問題，培養抽象、概括的能力. 教學重點：求反函數的方法. 教學難點：反函數的概念. 教學過程： 教學活動 設計意圖一、創設情境，引入新課 1.復習提問 ①函數的概念 �、趛=f(x)中各變量的意義 2.同學們在物理課學過勻速直線運動的位移和時間的函數關系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt 中位移S是時間t的函數;在t=中，時間t是位移S的函數.在這種情況下，我們說t=是函數S=vt的反函數.什么是反函數，如何求反函數，就是本節課學習的內容. 3.板書課題 由實際問題引入新課，激發了學生學習興趣，展示了教學目標.這樣既可以撥去"反函數"這一概念的神秘面紗，也可使學生知道學習這一概念的必要性. 二、實例分析，組織探究 1.問題組一： (用投影給出函數與;與()的圖象) (1)這兩組函數的圖像有什么關系?這兩組函數有什么關系?(生答：與的圖像關于直線y=x對稱;與()的圖象也關于直線y=x對稱.是求一個數立方的運算，而是求一個數立方根的.運算，它們互為逆運算.同樣，與()也互為逆運算.) (2)由，已知y能否求x? (3)是否是一個函數?它與有何關系? (4)與有何聯系? 2.問題組二： (1)函數y=2x 1(x是自變量)與函數x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數? (2)函數(x是自變量)與函數x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數? (3)函數 ()的定義域與函數()的值域有什么關系? 3.滲透反函數的概念. (教師點明這樣的函數即互為反函數，然后師生共同探究其特點) 從學生熟知的函數出發，抽象出反函數的概念，符合學生的認知特點，有利于培養學生抽象、概括的能力. 通過這兩組問題，為反函數概念的引出做了鋪墊，利用舊知，引出新識，在"最近發展區"設計問題，使學生對反函數有一個直觀的粗略印象，為進一步抽象反函數的概念奠定基礎. 三、師生互動，歸納定義 1.(根據上述實例，教師與學生共同歸納出反函數的定義) 函數y=f(x)(x∈A) 中，設它的值域為 C.我們根據這個函數中x,y的關系，用 y 把 x 表示出來，得到 x = j (y) .如果對于y在C中的任何一個值，通過x = j (y)，x在A中都有的值和它對應，那么, x = j (y)就表示y是自變量，x是自變量 y 的函數.這樣的函數 x = j (y)(y ∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數.記作: .考慮到"用 x表示自變量, y表示函數"的習慣，將中的x與y對調寫成. 2.引導分析： 1)反函數也是函數; 2)對應法則為互逆運算; 3)定義中的"如果"意味著對于一個任意的函數y=f(x)來說不一定有反函數; 4)函數y=f(x)的定義域、值域分別是函數x=f(y)的值域、定義域; 5)函數y=f(x)與x=f(y)互為反函數; 6)要理解好符號f; 7)交換變量x、y的原因. 3.兩次轉換x、y的對應關系 (原函數中的自變量x與反函數中的函數值y 是等價的，原函數中的函數值y與反函數中的自變量x是等價的) 4.函數與其反函數的關系 函數y=f(x) 函數 定義域 A C 值 域 C A 四、應用解題，總結步驟 1.(投影例題) 【例1】求下列函數的反函數 (1)y=3x-1 (2)y=x 1 【例2】求函數的反函數. (教師板書例題過程后，由學生總結求反函數步驟.) 2.總結求函數反函數的步驟: 1° 由y=f(x)反解出x=f(y). 2° 把x=f(y)中 x與y互換得. 3° 寫出反函數的定義域. (簡記為：反解、互換、寫出反函數的定義域)【例3】(1)有沒有反函數? (2)的反函數是________. (3)(x<0)的反函數是__________. 在上述探究的基礎上，揭示反函數的定義，學生有針對性地體會定義的特點，進而對定義有更深刻的認識，與自己的預設產生矛盾沖突，體會反函數.在剖析定義的過程中，讓學生體會函數與方程、一般到特殊的數學思想，并對數學的符號語言有更好的把握. 通過動畫演示，表格對照，使學生對反函數定義從感性認識上升到理性認識，從而消化理解. 通過對具體例題的講解分析，在解題的步驟上和方法上為學生起示范作用，并及時歸納總結，培養學生分析、思考的習慣，以及歸納總結的能力. 題目的設計遵循了從了解到理解，從掌握到應用的不同層次要求，由淺入深，循序漸進.并體現了對定義的反思理解.學生思考練習，師生共同分析糾正. 五、鞏固強化，評價反饋 1.已知函數 y=f(x)存在反函數，求它的反函數 y =f( x) (1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x) ( 3 ) y=(xR,且x) 2.已知函數f(x)=(xR,且x)存在反函數，求f(7)的值. 五、反思小結，再度設疑 本節課主要研究了反函數的定義，以及反函數的求解步驟.互為反函數的兩個函數的圖象到底有什么特點呢?為什么具有這樣的特點呢?我們將在下節研究. (讓學生談一下本節課的學習體會，教師適時點撥) 進一步強化反函數的概念，并能正確求出反函數.反饋學生對知識的掌握情況，評價學生對學習目標的落實程度.具體實踐中可采取同學板演、分組競賽等多種形式調動學生的積極性."問題是數學的心臟"學生帶著問題走進課堂又帶著新的問題走出課堂. 六、作業 習題2.4第1題，第2題 進一步鞏固所學的知識. 教學設計說明 "問題是數學的心臟".一個概念的形成是螺旋式上升的，一般要經過具體到抽象，感性到理性的過程.本節教案通過一個物理學中的具體實例引入反函數，進而又通過若干函數的圖象進一步加以誘導剖析，最終形成概念. 反函數的概念是教學中的難點，原因是其本身較為抽象，經過兩次代換，又采用了抽象的符號.由于沒有一一映射，逆映射等概念的支撐，使學生難以從本質上去把握反函數的概念.為此，我們大膽地使用教材，把互為反函數的兩個函數的圖象關系預先揭示，進而探究原因，尋找規律，程序是從問題出發，研究性質，進而得出概念，這正是數學研究的順序，符合學生認知規律，有助于概念的建立與形成.另外，對概念的剖析以及習題的配備也很精當，通過不同層次的問題，滿足學生多層次需要，起到評價反饋的作用.通過對函數與方程的分析，互逆探索，動畫演示，表格對照、學生討論等多種形式的教學環節，充分調動了學生的探求欲，在探究與剖析的過程中，完善學生思維的深刻性，培養學生的逆向思維.使學生自然成為學習的主人。 教學目標 知識與技能目標： 本節的中心任務是研究導數的幾何意義及其應用，概念的形成分為三個層次： (1)通過復習舊知“求導數的兩個步驟”以及“平均變化率與割線斜率的關系”，解決了平均變化率的幾何意義后，明確探究導數的幾何意義可以依據導數概念的形成尋求解決問題的途徑。 (2)從圓中割線和切線的變化聯系，推廣到一般曲線中用割線逼近的方法直觀定義切線。 (3)依據割線與切線的變化聯系，數形結合探究函數導數的幾何意義教案在導數的幾何意義教案處的導數導數的幾何意義教案的幾何意義，使學生認識到導數導數的幾何意義教案就是函數導數的幾何意義教案的圖象在導數的幾何意義教案處的切線的斜率。即： 導數的幾何意義教案=曲線在導數的幾何意義教案處切線的斜率k 在此基礎上，通過例題和練習使學生學會利用導數的幾何意義解釋實際生活問題，加深對導數內涵的理解。在學習過程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的數學思想方法。 過程與方法目標： (1)學生通過觀察感知、動手探究，培養學生的動手和感知發現的能力。 (2)學生通過對圓的切線和割線聯系的認識，再類比探索一般曲線的情況，完善對切線的認知，感受逼近的思想，體會相切是種局部性質的本質，有助于數學思維能力的提高。 (3)結合分層的探究問題和分層練習，期望各種層次的學生都可以憑借自己的能力盡力走在教師的前面，獨立解決問題和發現新知、應用新知。 情感、態度、價值觀： (1)通過在探究過程中滲透逼近和以直代曲思想，使學生了解近似與精確間的辨證關系;通過有限來認識無限，體驗數學中轉化思想的意義和價值; (2)在教學中向他們提供充分的從事數學活動的機會，如：探究活動，讓學生自主探究新知，例題則采用練在講之前，講在關鍵處。在活動中激發學生的學習潛能，促進他們真正理解和掌握基本的數學知識技能、數學思想方法，獲得廣泛的數學活動經驗，提高綜合能力，學會學習，進一步在意志力、自信心、理性精神等情感與態度方面得到良好的發展。 教學重點與難點 重點：理解和掌握切線的新定義、導數的幾何意義及應用于解決實際問題，體會數形結合、以直代曲的思想方法。 難點：發現、理解及應用導數的幾何意義。 教學過程 一、復習提問 1.導數的定義是什么?求導數的三個步驟是什么?求函數y=x2在x=2處的導數. 定義：函數在導數的幾何意義教案處的導數導數的幾何意義教案就是函數在該點處的瞬時變化率。 求導數的步驟： 第一步：求平均變化率導數的幾何意義教案; 第二步：求瞬時變化率導數的幾何意義教案. (即導數的幾何意義教案，平均變化率趨近于的確定常數就是該點導數) 2.觀察函數導數的幾何意義教案的圖象，平均變化率導數的幾何意義教案在圖形中表示什么? 生：平均變化率表示的是割線PQ的斜率.導數的幾何意義教案 師：這就是平均變化率(導數的幾何意義教案)的幾何意義， 3.瞬時變化率(導數的幾何意義教案)在圖中又表示什么呢? 如圖2-1，設曲線C是函數y=f(x)的圖象，點P(x0，y0)是曲線C上一點.點Q(x0+Δx，y0+Δy)是曲線C上與點P鄰近的任一點，作割線PQ，當點Q沿著曲線C無限地趨近于點P，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線C在點P處的切線. 導數的幾何意義教案 追問：怎樣確定曲線C在點P的切線呢?因為P是給定的，根據平面解析幾何中直線的點斜式方程的知識，只要求出切線的斜率就夠了.設割線PQ的傾斜角為導數的幾何意義教案，切線PT的傾斜角為導數的幾何意義教案，易知割線PQ的斜率為導數的幾何意義教案。既然割線PQ的極限位置上的直線PT是切線，所以割線PQ斜率的極限就是切線PT的斜率導數的幾何意義教案，即導數的幾何意義教案。 由導數的定義知導數的.幾何意義教案導數的幾何意義教案。 導數的幾何意義教案 由上式可知：曲線f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率就是y=f(x)在點x0處的導數f'(x0).今天我們就來探究導數的幾何意義。 C類學生回答第1題，A，B類學生回答第2題在學生回答基礎上教師重點講評第3題，然后逐步引入導數的幾何意義. 二、新課 1、導數的幾何意義： 函數y=f(x)在點x0處的導數f'(x0)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處切線的斜率. 即：導數的幾何意義教案 口答練習： (1)如果函數y=f(x)在已知點x0處的導數分別為下列情況f'(x0)=1，f'(x0)=1，f'(x0)=-1，f'(x0)=2.試求函數圖像在對應點的切線的傾斜角，并說明切線各有什么特征。 (C層學生做) (2)已知函數y=f(x)的圖象(如圖2-2)，分別為以下三種情況的直線，通過觀察確定函數在各點的導數.(A、B層學生做) 導數的幾何意義教案 2、如何用導數研究函數的增減? 小結：附近：瞬時，增減：變化率，即研究函數在該點處的瞬時變化率，也就是導數。導數的正負即對應函數的增減。作出該點處的切線，可由切線的升降趨勢，得切線斜率的正負即導數的正負，就可以判斷函數的增減性，體會導數是研究函數增減、變化快慢的有效工具。 同時，結合以直代曲的思想，在某點附近的切線的變化情況與曲線的變化情況一樣，也可以判斷函數的增減性。都反應了導數是研究函數增減、變化快慢的有效工具。 例1函數導數的幾何意義教案上有一點導數的幾何意義教案，求該點處的導數導數的幾何意義教案，并由此解釋函數的增減情況。 導數的幾何意義教案 函數在定義域上任意點處的瞬時變化率都是3，函數在定義域內單調遞增。(此時任意點處的切線就是直線本身，斜率就是變化率) 3、利用導數求曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程. 例2求曲線y=x2在點M(2，4)處的切線方程. 解：導數的幾何意義教案 ∴y'|x=2=2×2=4. ∴點M(2，4)處的切線方程為y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0. 由上例可歸納出求切線方程的兩個步驟： (1)先求出函數y=f(x)在點x0處的導數f'(x0). (2)根據直線方程的點斜式，得切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0). 提問：若在點(x0，f(x0))處切線PT的傾斜角為導數的幾何意義教案導數的幾何意義教案，求切線方程。(因為這時切線平行于y軸，而導數不存在，不能用上面方法求切線方程。根據切線定義可直接得切線方程導數的幾何意義教案) (先由C類學生來回答，再由A，B補充.) 例3已知曲線導數的幾何意義教案上一點導數的幾何意義教案，求：(1)過P點的切線的斜率; (2)過P點的切線的方程。 解：(1)導數的幾何意義教案， 導數的幾何意義教案 y'|x=2=22=4. ∴在點P處的切線的斜率等于4. (2)在點P處的切線方程為導數的幾何意義教案即12x-3y-16=0. 練習：求拋物線y=x2+2在點M(2，6)處的切線方程. (答案：y'=2x，y'|x=2=4切線方程為4x-y-2=0). B類學生做題，A類學生糾錯。 三、小結 1.導數的幾何意義.(C組學生回答) 2.利用導數求曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程的步驟. (B組學生回答) 四、布置作業 1.求拋物線導數的幾何意義教案在點(1,1)處的切線方程。 2.求拋物線y=4x-x2在點A(4，0)和點B(2，4)處的切線的斜率，切線的方程. 3.求曲線y=2x-x3在點(-1，-1)處的切線的傾斜角 4.已知拋物線y=x2-4及直線y=x+2，求：(1)直線與拋物線交點的坐標; (2)拋物線在交點處的切線方程; (C組學生完成1,2題;B組學生完成1,2,3題;A組學生完成2,3，4題) 教學反思： 本節內容是在學習了“變化率問題、導數的概念”等知識的基礎上，研究導數的幾何意義,由于新教材未設計極限,于是我盡量采用形象直觀的方式,讓學生通過動手作圖,自我感受整個逼近的過程，讓學生更加深刻地體會導數的幾何意義及“以直代曲”的思想。 本節課主要圍繞著“利用函數圖象直觀理解導數的幾何意義”和“利用導數的幾何意義解釋實際問題”兩個教學重心展開。先回憶導數的實際意義、數值意義，由數到形，自然引出從圖形的角度研究導數的幾何意義;然后，類比“平均變化率——瞬時變化率”的研究思路，運用逼近的思想定義了曲線上某點的切線，再引導學生從數形結合的角度思考，獲得導數的幾何意義——“導數是曲線上某點處切線的斜率”。 完成本節課第一階段的內容學習后，教師點明，利用導數的幾何意義，在研究實際問題時，某點附近的曲線可以用過此點的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達到“以簡單的對象刻畫復雜對象”的目的，并通過兩個例題的研究，讓學生從不同的角度完整地體驗導數與切線斜率的關系，并感受導數應用的廣泛性。本節課注重以學生為主體,每一個知識、每一個發現，總設法由學生自己得出，課堂上給予學生充足的思考時間和空間，讓學生在動手操作、動筆演算等活動后，再組織討論，本教師只是在關鍵處加以引導。從學生的作業看來，效果較好。 教學目標： 1．理解流程圖的選擇結構這種基本邏輯結構． 2．能識別和理解簡單的框圖的功能． 3. 能運用三種基本邏輯結構設計流程圖以解決簡單的問題． 教學方法： 1. 通過模仿、操作、探索，經歷設計流程圖表達求解問題的過程，加深對流程圖的感知． 2. 在具體問題的解決過程中，掌握基本的流程圖的畫法和流程圖的三種基本邏輯結構． 教學過程： 一、問題情境 1．情境： 某鐵路客運部門規定甲、乙兩地之間旅客托運行李的費用為 其中（單位：）為行李的重量． 試給出計算費用（單位：元）的`一個算法，并畫出流程圖． 二、學生活動 學生討論，教師引導學生進行表達． 解 算法為： 輸入行李的重量； 如果，那么， 否則； 輸出行李的重量和運費． 上述算法可以用流程圖表示為： 教師邊講解邊畫出第10頁圖1-2-6． 在上述計費過程中，第二步進行了判斷． 三、建構數學 1．選擇結構的概念： 先根據條件作出判斷，再決定執行哪一種 操作的結構稱為選擇結構． 如圖：虛線框內是一個選擇結構，它包含一個判斷框，當條件成立（或稱條件為“真”）時執行，否則執行． 2．說明：（1）有些問題需要按給定的條件進行分析、比較和判斷，并按判 斷的不同情況進行不同的操作，這類問題的實現就要用到選擇結構的設計； �。�2）選擇結構也稱為分支結構或選取結構，它要先根據指定的條件進行判斷，再由判斷的結果決定執行兩條分支路徑中的某一條； �。�3）在上圖的選擇結構中，只能執行和之一，不可能既執行，又執 行，但或兩個框中可以有一個是空的，即不執行任何操作； �。�4）流程圖圖框的形狀要規范，判斷框必須畫成菱形，它有一個進入點和 兩個退出點． 3．思考：教材第7頁圖所示的算法中，哪一步進行了判斷？ [學習目標] �。�1）會用坐標法及距離公式證明Cα+β； （2）會用替代法、誘導公式、同角三角函數關系式，由Cα+β推導Cα—β、Sα±β、Tα±β，切實理解上述公式間的關系與相互轉化； （3）掌握公式Cα±β、Sα±β、Tα±β，并利用簡單的三角變換，解決求值、化簡三角式、證明三角恒等式等問題。 [學習重點] 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 [學習難點] 余弦和角公式的推導 [知識結構] 1、兩角和的余弦公式是三角函數一章和、差、倍公式系列的`基礎。其公式的證明是用坐標法，利用三角函數定義及平面內兩點間的距離公式，把兩角和α+β的余弦，化為單角α、β的三角函數（證明過程見課本） 2、通過下面各組數的值的比較：①cos（30°—90°）與cos30°—cos90°②sin（30°+60°）和sin30°+sin60°。我們應該得出如下結論：一般情況下，cos（α±β）≠cosα±cosβ，sin（α±β）≠sinα±sinβ。但不排除一些特例，如sin（0+α）=sin0+sinα=sinα。 3、當α、β中有一個是的整數倍時，應首選誘導公式進行變形。注意兩角和與差的三角函數是誘導公式等的基礎，而誘導公式是兩角和與差的三角函數的特例。 4、關于公式的正用、逆用及變用 教學目標： �。�1）了解坐標法和解析幾何的意義，了解解析幾何的基本問題。 （2）進一步理解曲線的方程和方程的曲線。 �。�3）初步掌握求曲線方程的方法。 （4）通過本節內容的教學，培養學生分析問題和轉化的能力。 教學重點、難點： 求曲線的方程。 教學用具： 計算機。 教學方法： 啟發引導法，討論法。 教學過程： 【引入】 1、提問：什么是曲線的方程和方程的曲線。 學生思考并回答。教師強調。 2、坐標法和解析幾何的意義、基本問題。 對于一個幾何問題，在建立坐標系的基礎上，用坐標表示點；用方程表示曲線，通過研究方程的性質間接地來研究曲線的性質，這一研究幾何問題的方法稱為坐標法，這門科學稱為解析幾何。解析幾何的兩大基本問題就是： �。�1）根據已知條件，求出表示平面曲線的方程。 （2）通過方程，研究平面曲線的性質。 事實上，在前邊所學的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題。而且要先研究如何求出曲線方程，再研究如何用方程研究曲線。本節課就初步研究曲線方程的求法。 【問題】 如何根據已知條件，求出曲線的方程。 【實例分析】 例1：設、兩點的坐標是、(3，7)，求線段的垂直平分線的方程。 首先由學生分析：根據直線方程的知識，運用點斜式即可解決。 解法一：易求線段的中點坐標為(1，3)， 由斜率關系可求得l的斜率為 于是有 即l的方程為 ① 分析、引導：上述問題是我們早就學過的，用點斜式就可解決。可是，你們是否想過①恰好就是所求的嗎？或者說①就是直線的方程？根據是什么，有證明嗎？ �。ㄍㄟ^教師引導，是學生意識到這是以前沒有解決的問題，應該證明，證明的依據就是定義中的兩條）。 證明：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解。 設是線段的垂直平分線上任意一點，則 即 將上式兩邊平方，整理得 這說明點的坐標是方程的解。 （2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。 設點的坐標是方程①的任意一解，則 到、的距離分別為 所以，即點在直線上。 綜合(1)、(2)，①是所求直線的方程。 至此，證明完畢�；仡櫳鲜鰞热菸覀儠l現一個有趣的現象：在證明(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解中，設是線段的垂直平分線上任意一點，最后得到式子，如果去掉腳標，這不就是所求方程嗎？可見，這個證明過程就表明一種求解過程，下面試試看： 解法二：設是線段的垂直平分線上任意一點，也就是點屬于集合 由兩點間的距離公式，點所適合的條件可表示為 將上式兩邊平方，整理得 果然成功，當然也不要忘了證明，即驗證兩條是否都滿足。顯然，求解過程就說明第一條是正確的（從這一點看，解法二也比解法一優越一些）；至于第二條上邊已證。 這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不借助直線方程的理論，又非常自然，還體現了曲線方程定義中點集與對應的思想。因此是個好方法。 讓我們用這個方法試解如下問題： 例2：點與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數求點的軌跡方程。 分析：這是一個純粹的幾何問題，連坐標系都沒有。所以首先要建立坐標系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標軸，建立直角坐標系。然后仿照例1中的解法進行求解。 求解過程略。 【概括總結】通過學生討論，師生共同總結： 分析上面兩個例題的求解過程，我們總結一下求解曲線方程的大體步驟： 首先應有坐標系；其次設曲線上任意一點；然后寫出表示曲線的點集；再代入坐標；最后整理出方程，并證明或修正。說得更準確一點就是： （1）建立適當的坐標系，用有序實數對例如表示曲線上任意一點的坐標； �。�2）寫出適合條件的點的集合 ��； �。�3）用坐標表示條件，列出方程； �。�4）化方程為最簡形式； （5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。 一般情況下，求解過程已表明曲線上的點的坐標都是方程的解；如果求解過程中的轉化都是等價的，那么逆推回去就說明以方程的解為坐標的點都是曲線上的點。所以，通常情況下證明可省略，不過特殊情況要說明。 上述五個步驟可簡記為：建系設點；寫出集合；列方程；化簡；修正。 下面再看一個問題： 例3：已知一條曲線在軸的上方，它上面的.每一點到點的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。 【動畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過程和形狀，在運動變化的過程中尋找關系。 解：設點是曲線上任意一點，軸，垂足是（如圖2），那么點屬于集合 由距離公式，點適合的條件可表示為 �、� 將①式移項后再兩邊平方，得 化簡得 由題意，曲線在軸的上方，所以，雖然原點的坐標(0，0)是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應為，它是關于軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點，如圖2中所示。 【練習鞏固】 題目：在正三角形內有一動點，已知到三個頂點的距離分別為、、，且有，求點軌跡方程。 分析、略解：首先應建立坐標系，以正三角形一邊所在的直線為一個坐標軸，這條邊的垂直平分線為另一個軸，建立直角坐標系比較簡單，如圖3所示。設、的坐標為、，則的坐標為，的坐標為。 根據條件，代入坐標可得 化簡得 �、� 由于題目中要求點在三角形內，所以，在結合①式可進一步求出、的范圍，最后曲線方程可表示為 【小結】師生共同總結： �。�1）解析幾何研究研究問題的方法是什么？ �。�2）如何求曲線的方程？ �。�3）請對求解曲線方程的五個步驟進行評價。各步驟的作用，哪步重要，哪步應注意什么？ 【作業】課本第72頁練習1，2，3; 一、教學目標 1、知識與能力目標 �、偈箤W生理解數列極限的概念和描述性定義。 �、谑箤W生會判斷一些簡單數列的極限，了解數列極限的“e—N"定義，能利用逐步分析的方法證明一些數列的極限。 �、弁ㄟ^觀察運動和變化的過程，歸納總結數列與其極限的特定關系，提高學生的數學概括能力和抽象思維能力。 2、過程與方法目標 培養學生的極限的思想方法和獨立學習的能力。 3、情感、態度、價值觀目標 使學生初步認識有限與無限、近似與精確、量變與質變的辯證關系，培養學生的辯證唯物主義觀點。 二、教學重點和難點 教學重點：數列極限的概念和定義。 教學難點：數列極限的“ε―N”定義的理解。 三、教學對象分析 這節課是數列極限的第一節課，足學生學習極限的入門課，對于學生來說是一個全新的內容，學生的思維正處于由經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡階段，在《立體幾何》內容求球的表面積和體積時對極限思想已有接觸，而學生在以往的數學學習中主要接觸的是關于“有限”的問題，很少涉及“無限”的問題。極限這一抽象概念能夠使他們做基于直觀的理解，并引導他們作出描述性定義“當n無限增大時，數列｛an｝中的項an無限趨近于常數A，也就是an與A的差的絕對值無限趨近于0”，并能用這個定義判斷一些簡單數列的極限。但要使他們在一節課內掌握“ε—N”語言求極限要求過高。因此不宜講得太難，能夠通過具體的幾個例子，歸納研究一些簡單的數列的極限。使學生理解極限的基本概念，認識什么叫做數列的極限以及數列極限的定義即可。 四、教學策略及教法設計 本課是采用啟發式講授教學法，通過多媒體課件演示及學生討論的方法進行教學。通過學生比較熟悉的一個實際問題入手，引起學生的注意，激發學生的學習興趣。然后通過具體的兩個比較簡單的數列，運用多媒體課件演示向學生展示了數列中的各項隨著項數的增大，無限地趨向于某個常數的過程，讓學生在觀察的基礎上討論總結出這兩個數列的特征，從而得出數列極限的一個描述性定義。再在教師的引導下分析數列極限的各種不同情況。從而對數列極限有了直觀上的認識，接著讓學生根據數列中各項的情況判斷一些簡單的數列的極限。從而達到深化定義的效果。最后進行練習鞏固，通過這樣的一個完整的教學過程，由觀察到分析、由定量到定性，由直觀到抽象，并借助于多媒體課件的演示，使得學生逐步地了解極限這個新的概念，為下節課的極限的運算及應用做準備，為以后學習高等數學知識打下基礎。在整個教學過程中注意突出重點，突破難點，達到教學目標的要求。 五、教學過程 1、創設情境 課件展示創設情境動畫。 今天我們將要學習一個很重要的新的知識。 情境 �。�1）我國古代數學家劉徽于公元263年創立“割圓術”，“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”。 情境 �。�2）我國古代哲學家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。也就是說拿一根木棒，將它切成一半，拿其中一半來再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之？如此下去，無限次地切，每次都切一半，問是否會切完？ 大家都知道，這是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原來的少了一半，也就是說木棒的長度越來越短，但永遠不會變成零。從而引出極限的概念。 2、定義探究 展示定義探索（一）動畫演示。 問題1：請觀察以下無窮數列，當n無限增大時，a，I的變化趨勢有什么特點？ �。�1）1/2，2/3，3/4，n/n—1 �。�2）0.9，0.99，0.999，0.9999，1—1/10n 問題2：觀察課件演示，請分析以上兩個數列隨項數n的增大項有那些特點？ 師生一起歸納總結出以下結論：數列（1）項數n無限增大時，項無限趨近于1；數列（2）項數n無限增大時，項無限趨近于1。 那么就把1叫數列（1）的極限，1叫數列（2）的極限。這兩個數列只是形式不同，它們都是隨項數n的無限增大，項無限趨近于某一確定常數，這個常數叫做這個數列的極限。 那么，什么叫數列的極限呢？對于無窮數列an，如果當n無限增大時，an無限趨向于某一個常數A，則稱A是數列an的極限。 提出問題3：怎樣用數學語言來定量描述呢？怎樣用數學語言來描述上述數列的變化趨勢？ 展示定義探索（二）動畫演示。 師生共同總結發現在數軸上兩點間距離越小，項與1越趨近，因此可以借助兩點間距離無限小的方式來描述項無限趨近常數。無論預先指定多么小的正數e，如取e=O—1，總能在數列中找到一項am，使得an項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，若取￡=0.0001，則第6項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，即1是數列（1）的極限。最后，師生共同總結出數列的極限定義中應包含哪量（用這些量來描述數列1的極限）。 數列的極限為：對于任意的ε>0，如果總存在自然數N，當n>N時，不等式｜an—A｜n的極限。 課件可以實現任意輸入一個n值，可以計算出相應的數列第n項的值，并且動畫演示數列的變化過程。如圖1所示是課件運行時的一個畫面。 定義探索動畫（二）課件可以實現任意輸入一個n值，可以計算出相應的數列第n項的值和Ian一1I的值，并且動畫演示出第an項和1之間的'距離。如圖2所示是課件運行時的一個畫面。 3、知識應用 這里舉了3道例題，與學生一塊思考，一起分析作答。 例1、已知數列： 1，—1/2，1/3，—1/4，1/5，（—1）n+11/n，（1）計算an—0（2）第幾項后面的所有項與0的差的絕對值都小于0.017都小于任意指定的正數。 �。�3）確定這個數列的極限。 例2、已知數列： 已知數列：3/2，9/4，15/8，2+（—1/2）n。 猜測這個數列有無極限，如果有，應該是什么數？并求出從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.1，從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.017 例3、求常數數列一7，一7，一7，一7，的極限。 4、知識小結 這節課我們研究了數列極限的概念，對數列極限有了初步的認識。數列極限研究的是無限變化的趨勢，而通過對數列極限定義的探討，我們看到這一過程又是通過有限來把握的，有限與無限、近似與精確、量變與質變之間的辯證關系在這里得到了充分的體現。 課后練習： �。�1）判斷下列數列是否有極限，如果有的話請求出它的極限值。①an=4n+l/n；②an=4—（1/3）m；③an=（—1）n/3n；④aan=—2；⑤an=n；⑥an=（—1）n。 �。�2）課本練習1，2。 5、探究性問題 設計研究性學習的思考題。 提出問題： 芝諾悖論：阿基里斯是《荷馬史詩》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永遠也無法超過在他前面慢慢爬行的烏龜，因為當阿基里斯到達烏龜的起跑點時，烏龜已經走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過這一小段路，而烏龜又向前走了。這樣，阿基里斯可無限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是烏龜速度的10倍，阿基里斯與烏龜賽跑的路程是1公里。如果讓烏龜先跑0.1公里，當阿基里斯追到O。1公里的地方，烏龜又向前跑了0.01公里。當阿基里斯追到0.01公里的地方，烏龜又向前跑了0.001公里這樣一直追下去，阿基里斯能追上烏龜嗎？ 這里是研究性學習內容，以學生感興趣的悖論作為課后作業，鞏固本節所學內容，進一步提高了學生學習數列的極限的興趣。同時也為學生創設了課下交流與討論的情境，逐步培養學生相互合作、交流和討論的習慣，使學生感受到了數學來源于生活，又服務于生活的實質，逐步養成用數學的知識去解決生活中遇到的實際問題的習慣。 一、單元教學內容 (1)算法的基本概念 (2)算法的基本結構：順序、條件、循環結構 (3)算法的基本語句：輸入、輸出、賦值、條件、循環語句 二、單元教學內容分析 算法是數學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎。隨著現代信息技術飛速發展，算法在科學技術、社會發展中發揮著越來越大的作用，并日益融入社會生活的許多方面，算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養。需要特別指出的是，中國古代數學中蘊涵了豐富的算法思想。在本模塊中，學生將在中學教育階段初步感受算法思想的基礎上，結合對具體數學實例的分析，體驗程序框圖在解決問題中的作用;通過模仿、操作、探索，學習設計程序框圖表達解決問題的過程;體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力 三、單元教學課時安排： 1、算法的基本概念3課時 2、程序框圖與算法的基本結構5課時 3、算法的基本語句2課時 四、單元教學目標分析 1、通過對解決具體問題過程與步驟的`分析體會算法的思想，了解算法的含義 2、通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件、循環結構。 3、經歷將具體問題的程序框圖轉化為程序語句的過程，理解幾種基本算法語句：輸入、輸出、斌值、條件、循環語句，進一步體會算法的基本思想。 4、通過閱讀中國古代數學中的算法案例，體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻。 五、單元教學重點與難點分析 1、重點 (1)理解算法的含義(2)掌握算法的基本結構(3)會用算法語句解決簡單的實際問題 2、難點 (1)程序框圖(2)變量與賦值(3)循環結構(4)算法設計 六、單元總體教學方法 本章教學采用啟發式教學，輔以觀察法、發現法、練習法、講解法。采用這些方法的原因是學生的邏輯能力不是很強，只能通過對實例的認真領會及一定的練習才能掌握本節知識。 七、單元展開方式與特點 1、展開方式 自然語言→程序框圖→算法語句 2、特點 (1)螺旋上升分層遞進(2)整合滲透前呼后應(3)三線合一橫向貫通(4)彈性處理多樣選擇 八、單元教學過程分析 1.算法基本概念教學過程分析 對生活中的實際問題通過對解決具體問題過程與步驟的分析(喝茶，如二元一次方程組求解問題)，體會算法的思想，了解算法的含義，能用自然語言描述算法。 2.算法的流程圖教學過程分析 對生活中的實際問題通過模仿、操作、探索，經歷通過設計流程圖表達解決問題的過程，了解算法和程序語言的區別;在具體問題的解決過程中，理解流程圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環，會用流程圖表示算法。 3.基本算法語句教學過程分析 經歷將具體生活中問題的流程圖轉化為程序語言的過程，理解表示的幾種基本算法語句：賦值語句、輸入語句、輸出語句、條件語句、循環語句，進一步體會算法的基本思想。能用自然語言、流程圖和基本算法語句表達算法， 4.通過閱讀中國古代數學中的算法案例，體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻。 九、單元評價設想 1.重視對學生數學學習過程的評價 關注學生在數學語言的學習過程中，是否對用集合語言描述數學和現實生活中的問題充滿興趣;在學習過程中，能否體會集合語言準確、簡潔的特征;是否能積極、主動地發展自己運用數學語言進行交流的能力。 2.正確評價學生的數學基礎知識和基本技能 關注學生在本章(節)及今后學習中，讓學生集中學習算法的初步知識，主要包括算法的基本結構、基本語句、基本思想等。算法思想將貫穿高中數學課程的相關部分，在其他相關部分還將進一步學習算法 教材分析： 前面已學習了向量的概念及向量的線性運算，這里引入一種新的向量運算——向量的數量積。教科書以物體受力做功為背景引入向量數量積的概念，既使向量數量積運算與學生已有知識建立了聯系，又使學生看到向量數量積與向量模的大小及夾角有關，同時與前面的向量運算不同，其計算結果不是向量而是數量。 在定義了數量積的概念后，進一步探究了兩個向量夾角對數量積符號的影響;然后由投影的概念得出了數量積的幾何意義;并由數量積的定義推導出一些數量積的重要性質;最后“探究”研究了運算律。 教學目標： (一)知識與技能 1.掌握數量積的定義、重要性質及運算律; 2.能應用數量積的重要性質及運算律解決問題; 3.了解用平面向量數量積可以解決長度、角度、垂直共線等問題，為下節課靈活運用平面向量數量積解決問題打好基礎。 (二)過程與方法 以物體受力做功為背景引入向量數量積的概念，從數與形兩方面引導學生對向量數量積定義進行探究，通過例題分析，使學生明確向量的數量積與數的乘法的聯系與區別。 (三)情感、態度與價值觀 創設適當的問題情境，從物理學中“功”這個概念引入課題，開始就激發學生的學習興趣，讓學生容易切入課題，培養學生用數學的意識，加強數學與其它學科及生活實踐的聯系。 教學重點： 1.平面向量的數量積的定義; 2.用平面向量的數量積表示向量的`模及向量的夾角。 教學難點： 平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用。 教學方法： 啟發引導式 教學過程： (一)提出問題，引入新課 前面我們學習了平面向量的線性運算，包括向量的加法、減法、以及數乘運算，它們的運算結果都是向量，既然兩個向量可以進行加法、減法運算，我們自然會提出：兩個向量是否能進行“乘法”運算呢?如果能，運算結果又是什么呢? 這讓我們聯想到物理中“功”的概念，即如果一個物體在力F的作用下產生位移s，F與s的夾角是θ，那么力F所做的功如何計算呢? 我們知道：W=|F||s|cosθ，功是一個標量(數量)，而力它等于力F和位移s都是矢量(向量)，功等于力和位移這兩個向量的大小與它們夾角余弦的乘積。這給我們一種啟示：能否把功W看成是兩向量F和s的一種運算的結果呢，為此我們引入平面向量的數量積。 (二)講授新課 今天我們就來學習：(板書課題) 一、教學目標 (1)了解含有“或”、“且”、“非”復合命題的概念及其構成形式； (2)理解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義； (3)能用邏輯聯結詞和簡單命題構成不同形式的復合命題； (4)能識別復合命題中所用的邏輯聯結詞及其聯結的簡單命題； (5)會用真值表判斷相應的復合命題的真假； (6)在知識學習的基礎上，培養學生簡單推理的技能。 二、教學重點難點： 重點是判斷復合命題真假的方法；難點是對“或”的含義的理解。 三、教學過程 1.新課導入 在當今社會中，人們從事任何工作、學習，都離不開邏輯。具有一定邏輯知識是構成一個公民的文化素質的重要方面。數學的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學的教學比初中更強調邏輯性。如果不學習一定的邏輯知識，將會在我們學習的過程中不知不覺地經常犯邏輯性的錯誤。其實，同學們在初中已經開始接觸一些簡易邏輯的知識。 初一平面幾何中曾學過命題，請同學們舉一個命題的例子。(板書：命題。) (從初中接觸過的“命題”入手，提出問題，進而學習邏輯的有關知識。) (同學議論結果，答案是肯定的) 教師提問：什么是命題？ (學生進行回憶、思考。) 概念總結：對一件事情作出了判斷的語句叫做命題。 (教師肯定了同學的回答，并作板書。) 由于判斷有正確與錯誤之分，所以命題有真假之分，命題(1)、(2)是真命題，而(3)是假命題。 (教師利用投影片，和學生討論以下問題。) 例1 判斷以下各語句是不是命題，若是，判斷其真假： 命題一定要對一件事情作出判斷，(3)、(4)沒有對一件事情作出判斷，所以它們不是命題。 初中所學的命題概念涉及邏輯知識，我們今天開始要在初中學習的基礎上，介紹簡易邏輯的知識。 2.講授新課 大家看課本(人教版，試驗修訂本，第一冊(上))從第25頁至26頁例1前，并歸納一下這段內容主要講了哪些問題？ (片刻后請同學舉手回答，一共講了四個問題。師生一道歸納如下。) (1)什么叫做命題？ 可以判斷真假的語句叫做命題。 判斷一個語句是不是命題，關鍵看這語句有沒有對一件事情作出了判斷，疑問句、祈使句都不是命題。有些語句中含有變量，如 中含有變量 ，在不給定變量的值之前，我們無法確定這語句的真假(這種含有變量的'語句叫做“開語句”). (2)介紹邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”。 “或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯結詞。邏輯聯結詞除這三種形式外，還有“若…則…”和“當且僅當”兩種形式。 對“或”的理解，可聯想到集合中“并集”的概念。 中的“或”，它是指“ ”、“ ”中至少一個是成立的，即 且 ;也可以 且 ;也可以 且 .這與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去這種可能。 對“且”的理解，可聯想到集合中“交集”的概念。 中的“且”，是指“ ”、“ 這兩個條件都要滿足的意思。 對“非”的理解，可聯想到集合中的“補集”概念，若命題 對應于集合 ，則命題非 就對應著集合 在全集 中的補集 . 命題可分為簡單命題和復合命題。 不含邏輯聯結詞的命題叫做簡單命題。簡單命題是不含其他命題作為其組成部分(在結構上不能再分解成其他命題)的命題。 由簡單命題和邏輯聯結詞構成的命題叫做復合命題，如“6是自然數且是偶數”就是由簡單命題“6是自然數”和“6是偶數”由邏輯聯結詞“且”構成的復合命題。 (4)命題的表示：用 ， ， ， ，……來表示。 (教師根據學生回答的情況作補充和強調，特別是對復合命題的概念作出分析和展開。) 我們接觸的復合命題一般有“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”、“若 則 ”等形式。 給出一個含有“或”、“且”、“非”的復合命題，應能說出構成它的簡單命題和弄清它所用的邏輯聯結詞；應能根據所給出的兩個簡單命題，寫出含有邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的復合命題。 對于給出“若 則 ”形式的復合命題，應能找到條件 和結論 . 在判斷一個命題是簡單命題還是復合命題時，不能只從字面上來看有沒有“或”、“且”、“非”。例如命題“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合”，此命題字面上無“且”;命題“5的倍數的末位數字不是0就是5”的字面上無“或”，但它們都是復合命題。 3.鞏固新課 例2 判斷下列命題，哪些是簡單命題，哪些是復合命題。如果是復合命題，指出它的構成形式以及構成它的簡單命題。 (1) ; (2)0.5非整數； (3)內錯角相等，兩直線平行； (4)菱形的對角線互相垂直且平分； (5)平行線不相交； (6)若 ，則 . (讓學生有充分的時間進行辨析。教材中對“若…則…”不作要求，教師可以根據學生的情況作些補充。) 例3 寫出下表中各給定語的否定語(用課件打出來). 若給定語為 等于 大于 是 都是 至多有一個 至少有一個 至多有個 其否定語分別為 分析：“等于”的否定語是“不等于”; “大于”的否定語是“小于或者等于”; “是”的否定語是“不是”; “都是”的否定語是“不都是”; “至多有一個”的否定語是“至少有兩個”; “至少有一個”的否定語是“一個都沒有”; “至多有 個”的否定語是“至少有 個”。 (如果時間寬裕，可讓學生討論后得出結論。) 置疑：“或”、“且”的否定是什么？(視學生的情況、課堂時間作適當的辨析與展開。) 4.課堂練習：第26頁練習1 5.課外作業：第29頁習題1.6 1.1．1 任意角 教學目標 （一） 知識與技能目標 理解任意角的概念(包括正角、負角、零角) 與區間角的概念. （二） 過程與能力目標 會建立直角坐標系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合；掌握區間角的集合的書寫． �。ㄈ� 情感與態度目標 1． 提高學生的推理能力； 2．培養學生應用意識． 教學重點 任意角概念的理解；區間角的集合的書寫． 教學難點 終邊相同角的集合的表示；區間角的集合的書寫． 教學過程 一、引入： 1．回顧角的定義 �、俳堑牡谝环N定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角. ②角的第二種定義是角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形． 二、新課： 1．角的有關概念： �、俳堑亩x： 角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形． �、诮堑拿Q： �、劢堑姆诸悾� A 正角：按逆時針方向旋轉形成的角 零角：射線沒有任何旋轉形成的角 負角：按順時針方向旋轉形成的角 �、茏⒁猓� �、旁诓灰鸹煜那闆r下，“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”； �、屏憬堑慕K邊與始邊重合，如果α是零角α =0°； �、墙堑母拍罱涍^推廣后，已包括正角、負角和零角． �、菥毩暎赫堈f出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： �、俣x：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(端點除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角． 例1．在直角坐標系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角． �、� 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分別為1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 終邊相同的角的表示： 所有與角α終邊相同的角，連同α在內，可構成一個集合S＝{ β | β = α + k·360° ， k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整個周角的和． 注意： ⑴ k∈Z �、� α是任一角； �、� 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無限個，它們相差 360°的整數倍； ⑷ 角α + k·720°與角α終邊相同，但不能表示與角α終邊相同的所有角． 例2．在0°到360°范圍內，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角． ⑴－120°； ⑵640°； �、牵�950°12’． 答：⑴240°,第三象限角； �、�280°,第四象限角； �、�129°48’,第二象限角； 例4．寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}． 例5．寫出終邊在y?x上的角的集合S,并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的'元素β寫出來． 4．課堂小結 ①角的定義； �、诮堑姆诸悾� 正角：按逆時針方向旋轉形成的角 零角：射線沒有任何旋轉形成的角 負角：按順時針方向旋轉形成的角 �、巯笙藿牵� ④終邊相同的角的表示法． 5．課后作業： �、匍喿x教材P2-P5； ②教材P5練習第1-5題； �、劢滩腜.9習題1.1第1、2、3題 思考題：已知α角是第三象限角，則2α， 解：??角屬于第三象限， ? k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z) 因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k∈Z) 故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角． 又k·180°+90°＜ 各是第幾象限角？ �。糼·180°+135°(k∈Z) ． ＜n·360°+135°(n∈Z) ， 當k為偶數時，令k=2n(n∈Z)，則n·360°+90°＜此時， 屬于第二象限角 �。糿·360°+315°(n∈Z) ， 當k為奇數時，令k=2n+1 (n∈Z)，則n·360°+270°＜此時， 屬于第四象限角 因此 屬于第二或第四象限角． 1.1.2弧度制 �。ㄒ唬� 教學目標 （二） 知識與技能目標 理解弧度的意義；了解角的集合與實數集R之間的可建立起一一對應的關系；熟記特殊角的弧度數． （三） 過程與能力目標 能正確地進行弧度與角度之間的換算，能推導弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式，并能運用公式解決一些實際問題 （四） 情感與態度目標 通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進，培養學生求異創新的精神；通過對弧度制與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比，讓學生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美． 教學重點 弧度的概念．弧長公式及扇形的面積公式的推導與證明． 教學難點 “角度制”與“弧度制”的區別與聯系． 教學過程 一、復習角度制： 初中所學的角度制是怎樣規定角的度量的? 規定把周角的作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制． 二、新課： 1．引 入： 由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的, 角度制的度量是60進制的,運用起來不太方便.在數學和其他許多科學研究中還要經常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？ 2．定 義 我們規定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad．在實際運算中，常常將rad單位省略． 3．思考： （1）一定大小的圓心角?所對應的弧長與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關嗎？ （2）引導學生完成P6的探究并歸納： 弧度制的性質： ①半圓所對的圓心角為 ②整圓所對的圓心角為 ③正角的弧度數是一個正數． �、茇摻堑幕《葦凳且粋�負數． �、萘憬堑幕《葦凳橇悖� ⑥角α的弧度數的絕對值|α|= . 4．角度與弧度之間的轉換： �、賹⒔嵌然癁榛《龋� �、趯⒒《然癁榻嵌龋� 5．常規寫法： �、� 用弧度數表示角時,常常把弧度數寫成多少π 的形式, 不必寫成小數． ② 弧度與角度不能混用． 弧長等于弧所對應的圓心角(的弧度數)的絕對值與半徑的積． 例1．把67°30’化成弧度． 例2．把? rad化成度． 例3．計算： (1)sin4 (2)tan1.5． 8．課后作業： ①閱讀教材P6 –P8； �、诮滩腜9練習第1、2、3、6題； �、劢滩腜10面7、8題及B2、3題． 一、教學目標 知識與技能： 理解任意角的概念（包括正角、負角、零角）與區間角的概念。 過程與方法： 會建立直角坐標系討論任意角，能判斷象限角，會書寫終邊相同角的集合；掌握區間角的集合的書寫。 情感態度與價值觀： 1、提高學生的推理能力； 2、培養學生應用意識。 二、教學重點、難點： 教學重點： 任意角概念的理解；區間角的集合的書寫。 教學難點： 終邊相同角的集合的表示；區間角的集合的書寫。 三、教學過程 （一）導入新課 1、回顧角的定義 ①角的第一種定義是有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角。 ②角的第二種定義是角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的.圖形。 �。ǘ┙虒W新課 1、角的有關概念： ①角的定義： 角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形。 �、诮堑拿Q： 注意： �、旁诓灰鸹煜那闆r下，“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”； �、屏憬堑慕K邊與始邊重合，如果α是零角α =0°； �、墙堑母拍罱涍^推廣后，已包括正角、負角和零角。 �、菥毩暎赫堈f出角α、β、γ各是多少度？ 2、象限角的概念： �、俣x：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊（端點除外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。 例1、如圖⑴⑵中的角分別屬于第幾象限角？ 教學目的： �。�1）使學生初步理解集合的概念，知道常用數集的概念及記法 �。�2）使學生初步了解“屬于”關系的意義 （3）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義 教學重點：集合的基本概念及表示方法 教學難點：運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內容分析： 集合是中學數學的一個重要的基本概念 在小學數學中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進一步應用集合的語言表述一些問題 例如，在代數中用到的有數集、解集等；在幾何中用到的有點集 至于邏輯，可以說，從開始學習數學就離不開對邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中，也是認識問題、研究問題不可缺少的工具 這些可以幫助學生認識學習本章的意義，也是本章學習的基礎把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數學的最開始，是因為在高中數學中，這些知識與其他內容有著密切聯系，它們是學習、掌握和使用數學語言的基礎 例如，下一章講函數的概念與性質，就離不開集合與邏輯。 本節首先從初中代數與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結合實例對集合的概念作了說明 然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。 這節課主要學習全章的引言和集合的基本概念 學習引言是引發學生的.學習興趣，使學生認識學習本章的意義 本節課的教學重點是集合的基本概念集合是集合論中的原始的、不定義的概念 在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個初步認識 教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集 ”這句話，只是對集合概念的描述性說明。 教學過程： 一、復習引入： 1、簡介數集的發展，復習最大公約數和最小公倍數，質數與和數； 2、教材中的章頭引言； 3、集合論的創始人——康托爾（德國數學家）（見附錄）； 4．“物以類聚”，“人以群分”； 5．教材中例子（P4） 二、講解新課： 閱讀教材第一部分，問題如下： （1）有那些概念？是如何定義的？ �。�2）有那些符號？是如何表示的？ �。�3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有關概念： 由一些數、一些點、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的。我們說，每一組對象的全體形成一個集合，或者說，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集。集合中的每個對象叫做這個集合的元素。 定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合． 1、集合的概念 �。�1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合（簡稱集） （2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素 2、常用數集及記法 �。�1）非負整數集（自然數集）：全體非負整數的集合 記作N， （2）正整數集：非負整數集內排除0的集 記作N*或N+ �。�3）整數集：全體整數的集合 記作Z ， �。�4）有理數集：全體有理數的集合 記作Q ， �。�5）實數集：全體實數的集合 記作R 注：（1）自然數集與非負整數集是相同的，也就是說，自然數集包括數0 （2）非負整數集內排除0的集 記作N*或N+ Q、Z、R等其它數集內排除0的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除0的集，表示成Z* 3、元素對于集合的隸屬關系 �。�1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A （2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作 4、集合中元素的特性 �。�1）確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可 （2）互異性：集合中的元素沒有重復 �。�3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序寫出） 5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q…… �、啤啊省钡拈_口方向，不能把a∈A顛倒過來寫 三、練習題： 1、教材P5練習1、2 2、下列各組對象能確定一個集合嗎？ �。�1）所有很大的實數 （不確定） �。�2）好心的人 （不確定） �。�3）1，2，2，3，4，5．（有重復） 3、設a，b是非零實數，那么 可能取的值組成集合的元素是_—2，0，2__ 4、由實數x，－x，｜x｜， 所組成的集合，最多含（ A ） �。ˋ）2個元素 （B）3個元素 （C）4個元素 （D）5個元素 5、設集合G中的元素是所有形如a＋b （a∈Z， b∈Z）的數，求證： （1） 當x∈N時， x∈G； �。�2） 若x∈G，y∈G，則x＋y∈G，而 不一定屬于集合G 證明（1）：在a＋b （a∈Z， b∈Z）中，令a=x∈N，b=0，則x= x＋0* = a＋b ∈G，即x∈G 證明（2）：∵x∈G，y∈G， ∴x= a＋b （a∈Z， b∈Z），y= c＋d （c∈Z， d∈Z） ∴x+y=（ a＋b ）+（ c＋d ）=（a+c）+（b+d） ∵a∈Z， b∈Z，c∈Z， d∈Z ∴（a+c） ∈Z， （b+d） ∈Z ∴x+y =（a+c）+（b+d） ∈G， 又∵ ＝且 不一定都是整數， ∴ ＝ 不一定屬于集合G 四、小結：本節課學習了以下內容： 1、集合的有關概念：（集合、元素、屬于、不屬于） 2、集合元素的性質：確定性，互異性，無序性 3、常用數集的定義及記法 教學目標 (1)了解算法的含義，體會算法思想。 (2)會用自然語言和數學語言描述簡單具體問題的算法; (3)學習有條理地、清晰地表達解決問題的步驟，培養邏輯思維能力與表達能力。 教學重難點 重點：算法的含義、解二元一次方程組的算法設計。 難點：把自然語言轉化為算法語言。 情境導入 電影《神槍手》中描述的凌靖是一個天生的狙擊手，他百發百中，最難打的位置對他來說也是輕而易舉，是香港警察狙擊手隊伍的第一神槍手、作為一名狙擊手，要想成功地完成一次狙擊任務，一般要按步驟完成以下幾步： 第一步：觀察、等待目標出現(用望遠鏡或瞄準鏡); 第二步：瞄準目標; 第三步：計算(或估測)風速、距離、空氣濕度、空氣密度; 第四步：根據第三步的結果修正彈著點; 第五步：開槍; 第六步：迅速轉移(或隱蔽) 以上這種完成狙擊任務的方法、步驟在數學上我們叫算法。 課堂探究 預習提升 1、定義：算法可以理解為由基本運算及規定的運算順序所構成的完整的解題步驟，或者看成按照要求設計好的有限的確切的計算序列，并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問題。 2、描述方式 自然語言、數學語言、形式語言(算法語言)、框圖。 3、算法的要求 (1)寫出的算法，必須能解決一類問題，且能重復使用; (2)算法過程要能一步一步執行，每一步執行的'操作，必須確切，不能含混不清，而且經過有限步后能得出結果。 4、算法的特征 (1)有限性：一個算法應包括有限的操作步驟，能在執行有窮的操作步驟之后結束。 (2)確定性：算法的計算規則及相應的計算步驟必須是唯一確定的。 (3)可行性：算法中的每一個步驟都是可以在有限的時間內完成的基本操作，并能得到確定的結果。 (4)順序性：算法從初始步驟開始，分為若干個明確的步驟，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后續，且除了最后一步外，每一個步驟只有一個確定的后續。 (5)不唯一性：解決同一問題的算法可以是不唯一的 課堂典例講練 命題方向1對算法意義的理解 例1、下列敘述中， �、僦矘湫枰\苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟; ②按順序進行下列運算：1+1=2，2+1=3，3+1=4，…99+1=100; ③從青島乘動車到濟南，再從濟南乘飛機到倫敦觀看奧運會開幕式; �、�3x>x+1; �、萸笏心鼙�3整除的正數，即3，6，9，12。 能稱為算法的個數為( ) A、2 B、3 C、4 D、5 【解析】根據算法的含義和特征：①②③都是算法;④⑤不是算法、其中④，3x>x+1不是一個明確的步驟，不符合明確性;⑤的步驟是無窮的，與算法的有限性矛盾。 【答案】B [規律總結] 1、正確理解算法的概念及其特點是解決問題的關鍵、 2、針對判斷語句是否是算法的問題，要看它的步驟是否是明確的和有效的，而且能在有限步驟之內解決這一問題、 【變式訓練】下列對算法的理解不正確的是________ �、僖粋�算法應包含有限的步驟，而不能是無限的 �、谒惴ǹ梢岳斫鉃橛苫具\算及規定的運算順序構成的完整的解題步驟 �、鬯惴ㄖ械拿恳徊蕉紤斢行У貓绦�，并得到確定的結果 ④一個問題只能設計出一個算法 【解析】由算法的有限性指包含的步驟是有限的故①正確; 由算法的明確性是指每一步都是確定的故②正確; 由算法的每一步都是確定的，且每一步都應有確定的結果故③正確; 由對于同一個問題可以有不同的算法故④不正確。 【答案】④ 命題方向2解方程(組)的算法 例2、給出求解方程組的一個算法。 [思路分析]解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒有本質的差別，為了適用于解一般的線性方程組，以便于在計算機上實現，我們用高斯消元法(即先將方程組化為一個三角形方程組，再通過回代方程求出方程組的解)解線性方程組、 [規范解答]方法一：算法如下： 第一步，①×(-2)+②，得(-2+5)y=-14+11 即方程組可化為 第二步，解方程③，可得y=-1，④ 第三步，將④代入①，可得2x-1=7，x=4 第四步，輸出4，-1 方法二：算法如下： 第一步，由①式可以得到y=7-2x，⑤ 第二步，把y=7-2x代入②，得x=4 第三步，把x=4代入⑤，得y=-1 第四步，輸出4，-1 [規律總結]1、本題用了2種方法求解，對于問題的求解過程，我們既要強調對“通法、通解”的理解，又要強調對所學知識的靈活運用。 2、設計算法時，經常遇到解方程(組)的問題，一般是按照數學上解方程(組)的方法進行設計，但應注意全面考慮方程解的情況，即先確定方程(組)是否有解，有解時有幾個解，然后根據求解步驟設計算法步驟。 【變式訓練】 【解】算法如下：S1，①+2×②得5x=1;③ S2，解③得x=; S3，②-①×2得5y=3;④ S4，解④得y=; 命題方向3篩選問題的算法設計 例3、設計一個算法，對任意3個整數a、b、c，求出其中的最小值、 [思路分析]比較a，b比較m與c―→最小數 [規范解答]算法步驟如下： 1、比較a與b的大小，若a 2、比較m與c的大小，若m [規律總結]求最小(大)數就是從中篩選出最小(大)的一個，篩選過程中的每一步都是比較兩個數的大小，保證了篩選的可行性，這種方法可以推廣到從多個不同數中篩選出滿足要求的一個。 【變式訓練】在下列數字序列中，寫出搜索89的算法： 21,3,0,9,15,72,89,91,93 [解析]1、先找到序列中的第一個數m，m=21; 2、將m與89比較，是否相等，如果相等，則搜索到89; 3、如果m與89不相等，則往下執行; 4、繼續將序列中的其他數賦給m，重復第2步，直到搜索到89。 命題方向4非數值性問題的算法 例4、一個人帶三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數量不少于羚羊的數量，狼就會吃掉羚羊。 (1)設計安全渡河的算法; (2)思考每一步算法所遵循的共同原則是什么? 【高中數學教案】相關文章： 高中數學教案12-30 高中數學教案02-21 高中數學教案模板02-02 高中數學教案【精】02-01 高中數學教案【推薦】01-25 【推薦】高中數學教案01-25 【熱】高中數學教案01-25 高中數學教案優秀12-10 【通用】高中數學教案06-17 高中數學教案（通用）10-27高中數學教案3
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