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小學六年級下冊數學《數學廣角──鴿巢問題》教案

時間：2023-12-09 07:15:22 六年級數學教案我要投稿

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　　作為一位兢兢業業的人民教師，常常要寫一份優秀的教案，借助教案可以更好地組織教學活動。怎樣寫教案才更能起到其作用呢？以下是小編幫大家整理的小學六年級下冊數學《數學廣角──鴿巢問題》教案，希望對大家有所幫助。

小學六年級下冊數學《數學廣角──鴿巢問題》教案

　　教學目標：

　　1、知識與技能：初步了解鴿巢原理，學會簡單的鴿巢原理分析方法，運用鴿巢原理的知識解決簡單的實際問題或解釋相關的現象。

　　2、過程與方法：通過操作、觀察、比較、說理等數學活動，使學生經歷鴿巢原理的形成過程，體會和掌握邏輯推理思想和模型思想。

　　3、情感態度：通過對鴿巢原理的靈活運用，感受數學的魅力，體會數學的價值，提高學習數學的興趣。

　　教學重點：經歷“鴿巢原理”的探究過程，理解鴿巢原理。

　　教學難點：理解“鴿巢原理”，并對一些簡單實際問題加以“模型化”。

　　教學準備：多媒體、鉛筆、紙杯、合作探究作業紙。

　　教學過程：

　　一、喚起與生成

　　1、談話：同學們，你們喜歡魔術嗎今天，黃老師給大家表演一個小魔術。一副牌，取出大小王，還剩52張牌，請5個同學每人隨意抽一張，我知道至少有2張牌是同花色的。相信嗎來，試試看。

　　2、驗證：抽取，統計。是不是湊巧了，再來一次。表演成功!

　　3、至少2張是什么意思(也就是最少2張，最起碼2張，反過來，同一花色的可能有2張，也可能是3張、4張、5張...，一句話概括就是至少2張)。

　　確定是哪個花色了嗎(沒有)反正總有一個花色，所以，這個數據不管是在哪個花色出現都證明表演是成功的。

　　4、設疑：你們想知道這是為什么嗎其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數學原理，這節課讓我們一起去發現!

　　二、探究與解決

　　(一)、小組探究：4放3的簡單鴿巢問題

　　1、出示：把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　2、審題：

　　①讀題。

　　②從題目上你知道了什么證明什么

　　(我知道了把4支鉛筆放進3個筆筒中，證明不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。)

　　③你怎樣理解“不管怎么放”、“總有” 、“至少”的意思

　　“不管怎么放”：就是隨便放、任意放。

　　“總有”：就是一定有，不確定是哪個筆筒，這個筆筒沒有那個筆筒會有。

　　“至少”：就是最少，最起碼。至少有2支，就是最少有2支，不能少于2支。也可能是3支、4支、甚至5支。

　　3、探究：

　　①談話：看來大家已經理解題目的意思了，眼見為實，就讓我們親自動手擺一擺、放一放，看看有哪幾種放法

　　②活動：小組活動，四人小組。

　　聽要求!

　　活動要求：每個小組都有筆筒和筆，請四個人中面對面的兩人一人扶杯子一人放鉛筆，另外兩人一人口述一人記錄，讓我們齊心協力，擺出所有情況后，對照題目，看有什么發現。

　　聽明白了嗎開始!

　　3、反饋：匯報結果

　　同學們辦法真多，有用畫圖法，有用數的分解來表示，都很清晰。誰來匯報一下你們的成果

　　可以在第一個筆筒中放4支鉛筆，其他兩個空著。這種放法可以說成(4,0,0)，(3,1,0)，(2,2,0)，(2,1,1)(課件逐一出示)

　　追問：誰還有疑問或補充

　　預設：說一說你比他多了哪一種放法

　　(2，1，1)和(1，1，2)是一種方法嗎為什么)

　　只是位置不同，方法相同

　　5、驗證：觀察這4種擺法，憑什么說“總有一個筆筒中至少有2支鉛筆”

　　(1)逐一驗證：

　　第一種擺法(4，0，0)，是不是總有一個筆筒至少2支，哪個放的最多的筆筒里有4支，比2支多也可以嗎

　　符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　第二種擺法(3，1，0)，符合。哪個放的最多的筆筒里有3支，符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　第三種擺法(2，2，0)，放的最多的筆筒里有2支，符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　第四種擺法(2，1，1)，放的最多的筆筒里有2支，符合總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　符合條件的那個筆筒在三個筆筒中都是最多的。

　　(2)設疑：我有一個疑問，第一種擺法(4，0，0)放的最多的筆筒里，放有4支，可以說總有一個筆筒至少有4支鉛筆嗎說成3支也不行嗎

　　(3)小結：哦，原來是這樣，要考慮所有擺法，然后在所有擺法中，圈出每一種擺法中最多的，再從最多的里面找到至少數，就能得出這個結論。

　　所以，把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。

　　(二)自主探究：5放4的簡單鴿巢原理

　　1、過渡：依此推想下去

　　2、出示：把5支鉛筆放進4個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少有( )支鉛筆。

　　3、猜想：同學們猜猜看，至少數是幾支(你說、你說)

　　4、驗證：你們的猜測對嗎讓我們來驗證一下。

　　活動要求：

　　(1)思考有幾種擺法記錄下來。

　　(2)觀察每一種擺法，能不能從中找出答案。有困難的可以同桌合作。

　　好，開始。(教師參與其中)。

　　5、匯報：把5支鉛筆放進4個筆筒中，共有6種擺法

　　分別是：5000 、4100、 3200、 3110 、2200、2111

　　(課件同步播放)

　　預設：我圈出了每種擺法中，放鉛筆最多的那個筆筒，然后發現，放鉛筆最多的的筆筒里面至少放有2支鉛筆。

　　6、訂正：有補充的嗎噢，我們來看，這6種擺法，把每種方法里放的(停頓)最多的鉛筆圈出來了，分別是5支、4支、3支、2支，從中找到至少數是2支。

　　7、小結：恭喜答對的同學!同學們可真是厲害!請看，我們研究了這樣的兩個問題：

　　①把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。會講為什么。

　　②把5支鉛筆放進4個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少有幾支鉛筆會求至少數。

　　不管是對結論的證明還是求解至少數，我們都采用一一列舉的方法，羅列出所有擺法，再通過觀察，得出結論。

　　(三)、探究鴿巢原理算式

　　1、談話：哎，如果這里有100支鉛筆放進30個筆筒，不管怎么放，總有一個筆筒至少有幾支鉛筆

　　還是讓求至少數，還用一一列舉的方法來研究，你覺得怎么樣

　　(好麻煩，是啊，想想都覺得麻煩!)

　　2、追問：數學是一門簡潔的科學，那就請同學們想一想，除了通過操作一一列舉出來，有沒有什么方法能一下子找到結果呢

　　其實，我們剛才已經和那一種方法見過面，以4放3為例，請同學們認真觀察每一種擺法，分別找一找，哪一種擺法最能說明：總有一個筆筒里至少放有2支鉛筆呢

　　3、平均分：為什么這樣分呢

　　生：我是這樣想的，先假設每個筆筒中放1支，這樣還有1支，這是無論放到哪個筆筒，那個筆筒中就有2支了，所以我認為是對的。(課件演示)

　　師：你為什么要先在每個筆筒中放1支呢

　　生：因為總共只有4支，平均分，每個筆筒只能分到1支。

　　師：為什么一開始就要去平均分呢

　　生：平均分，就可以使每個筆筒中的筆盡可能少一點。也就有可能找到和題目意思不一樣的情況。

　　師：我明白了，但這樣能證明總有一個筆筒中肯定會有2支筆，怎么就證明了至少有2支呢

　　生：平均分已經使每個筆筒中的筆盡可能的少了，如果這樣都符合要求，那另外的情況肯定也是符合要求的了。

　　師：看來，平均分是保證“至少”數的關鍵。

　　4、列式：

　　①你能用算式表示嗎

　　4÷3=1……1 1+1=2

　　②講講算式含義。

　　a、指名講：假設把4支鉛筆平均放進3個筆筒中，每個筆筒放1支，剩下的1支就要放進其中的一個筆筒，1+1=2，所以總有一個筆筒至少有2支鉛筆。

　　b、真棒!講給你的同桌聽。

　　5、運用：把5支鉛筆放進4個筆筒不管怎么放，總有一個筆筒至少有幾支鉛筆請用算式表示出來。

　　5÷4=1……1 1+1=2

　　說說算式的意思。

　　a、同桌齊說。

　　b、誰來說一說

　　師：我們會用除法算式表示平均分的過程，這種方法更為快捷、簡明。

　　(四)探究稍復雜的鴿巢問題

　　1、加深感悟：我們繼續研究這樣的問題，邊計算邊思考：這樣的題目有什么特點結論中的至少數是怎樣得到的

　　2、題組(開火車，口答結果并口述算式)

　　(1)6支鉛筆放進5個筆筒里，總有一個筆筒里面至少有支鉛筆

　　(2)7支鉛筆放進5個筆筒里，總有一個筆筒里面至少有支鉛筆

　　7÷5=1…… 2 1+2=3

　　7÷5=1…… 2 1+1=2

　　出現了兩種答案，究竟那種正確同桌商量商量。不行我再救場(學生討論)

　　你認為哪種結果正確為什么

　　質疑：為什么第二次還要平均分(保證“至少”)

　　把鉛筆平均分才是解決問題的關鍵啊。

　　(3)把筆的數量進一步增加：

　　8支鉛筆放5個筆筒里，至少數是多少

　　8÷5=1……3 1+1=2

　　(4)9支鉛筆放5個筆筒里，至少數是多少

　　9÷5=1……4 1+1=2

　　(5)好，再增加一支鉛筆至少數是多少

　　還用加嗎為什么10÷5=2正好分完,至少數是商

　　(6)好再增加一支鉛筆,,你來說

　　11÷5=2……1 2+1=3 3個

　　①你來說說現在至少數為什么變成3個了(因為商變了，所以至少數變成了3.)

　　②那同學們再想想，鉛筆的支數到多少支時，至少數還是3

　　③鉛筆的支數到多少支的時候，至少數就變成了4了呢

　　(7)把28支鉛筆放進5個筆筒里，總有一個筆筒里面至少放進( )支鉛筆。28÷5=5……3 5+1=6

　　(8)算的這么快，你一定有什么竅門(比比至少數和商)

　　(9)把m支鉛筆放進n個筆筒里，總有一個筆筒里面至少放進( )支鉛筆。(商+1)

　　3、觀察算式，同桌討論，發現規律。

　　鉛筆數÷筆筒數=商……余數” “至少數=商+1”

　　你和他們的發現相同嗎出示：商+1

　　4、質疑：和余數有沒有關系

　　(明確：與余數無關，因為不管余多少，都要再平均分，所以就用“商+1”)

　　(五)歸納概括鴿巢原理

　　1、解答：那現在會求100支鉛筆放進30個筆筒中的至少數了嗎

　　100÷30=3…… 10 3+1=4至少數是4個

　　(因為把100支鉛筆平均放進30個筆筒中，每個筆筒屜放3支，剩下的10支在平均再放進其中10個筆筒中。所以，不管怎么放，總有一個筆筒里至少放進4支鉛筆。)

　　2、推廣：

　　剛才我們研究了鉛筆放入筆筒的問題，其他還有很多問題和它有相同之處。請看：

　　(1)書本放進抽屜

　　把8本書放進3個抽屜，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進3本書。為什么

　　8÷3=2……2 2+1=3

　　(因為把8本書平均放進3個抽屜，每個抽屜放2本，剩下的2本就要放進其中的2個抽屜。所以，不管怎么放，總有一個抽屜里至少放進3本書。)

　　(2)鴿子飛進鴿巢

　　11只鴿子飛進4個鴿籠，至少有幾只鴿子飛進同一只鴿籠

　　11÷4=2……3 2+1=3

　　答：至少有3只鴿子飛進同一只鴿籠。

　　(3)車輛過高速路收費口(圖)

　　(4)搶凳子

　　書、鴿子、同學就相當于鉛筆，稱為要放的物體，抽屜、鴿籠、凳子就相當于筆筒，統稱為抽屜。物體數量大于抽屜數量，類似的問題我們都可以用這種方法解答。

　　3、建立模型：鴿巢原理：

　　同學們發現的這個原理和一位數學家發現的一模一樣，讓我們追溯到150多年以前：

　　知識鏈接：(課件)最早指出這個數學原理的，是十九世紀的德國數學家“狄利克雷”，后來人們為了紀念他從這么平凡的事情中發現的規律，就把這個規律用他的名字命名，叫“狄利克雷原理”。以上這些問題有相同之處，其實鴿巢、抽屜就相當于筆筒，鴿子、書就相當于鉛筆。人們對鴿子飛回鴿巢這個事例記憶猶新，所以像這樣的數學問題就叫做鴿巢問題或抽屜問題，它被廣泛地應用于現實生活中。運用這一規律能解決許多有趣的問題，并且常常能得到一些令人驚異的結果。

　　揭示課題：這是我們今天學習的第五單元數學廣角——鴿巢問題，它們里面蘊含的這種數學原理，我們就叫做鴿巢原理或抽屜原理。

　　5、小結：分析這類問題時，要想清楚誰是鴿子，誰是鴿巢

　　有信心用我們發現的原理繼續接受挑戰嗎

　　3、鞏固與應用

　　那我們回頭看看課前小魔術，你明白它的秘密了嗎

　　1、揭秘魔術：一副牌，取出大小王，還剩52張牌，你們5人每人隨意抽一張，我知道至少有2張牌是同花色的。

　　答：因為把5張牌，平均分在4個花色里，每個花色有1張，剩下的1張無論是什么花色，總有一個花色至少是2張。

　　正確應用鴿巢原理是表演成功的秘密武器!

　　2、飛鏢運動

　　同學們玩過投飛鏢嗎飛鏢運動是一種集競技、健身及娛樂于一體的紳士運動。

　　課件：張叔叔參加飛鏢運動比賽，投了5鏢，成績是41環，張叔叔至少有一鏢不低于( )環。

　　在練習本上算一算，講給你的同桌聽聽。

　　誰來給大家說說你是怎么想的(5相當于鴿巢，41相當于鴿子。把......)

　　41÷5=8……1 8+1=9

　　在我們同學身上也有鴿巢問題，讓我們先了解一下六年級的情況。

　　3、我們六年級共有367名學生，其中六(2班)有49名學生。

　　(1)六年級里至少有兩人的生日是同一天。

　　(2)六(2)班中至少有5人的生日是在同一個月。

　　他們說的對嗎為什么

　　同桌討論一下。

　　誰來說說你們的想法

　　(1、367人相當于鴿子，365、或366天相當于鴿巢......

　　 2、49人相當于鴿子，12個月相當于鴿巢......)

　　真理是越辯越明!

　　3、星座測試命運

　　說起生日，我想起了現在非常流行的星座。采訪幾位同學，你是什么星座

　　你用星座測試過命運嗎你相信星座測試的命運嗎

　　我們用鴿巢原理來說說你的想法。

　　全中國13億人，12個星座，總有至少一億以上的人命運相同。盡管他們的出身、經歷、天資、機遇各不相同，但他們卻具有完全相同的命，可能嗎這真的很荒謬。用星座測試命運，充其量是一種游戲娛樂一下而已，命運掌握在自己手中。

　　4、柯南破案：

　　“鴿巢問題”的原理不僅在數學中有用，在現實生活中也隨處可見，看，誰來了

　　(課件)有一次，小柯南走在大街上，無意間聽到了一位老大爺和一個年輕人的對話：

　　年輕人：大爺，我最近急用錢，想把我的一個手機號賣掉，價格500元，請問您要嗎

　　大爺：是什么手機號呢這么貴

　　年輕人：我的手機號很特別，它所有的數字中沒有一個數字重復......所以才這么貴的!

　　老大爺：哦!

　　聽到這里，柯南馬上跑過去悄悄提醒老大爺：“大爺，這是一個騙子，您要小心!”并且馬上報了警，警察趕到后調查發現這個人果真是個騙子。

　　聰明的你，知道柯南是根據什么判斷那個年輕人是騙子的嗎

　　(手機號11位數字相當于鴿子。0-9這十個數字相當于鴿巢，11÷10=1…1 1+1=2，總有至少一個數字重復出現。)

　　4、回顧與整理。

　　這節課我們認識了“鴿巢問題”，其實生活中還有許多的類似于“鴿巢問題”這樣的知識等待我們去發現，去挖掘。只要你留心觀察加上細心思考，一定會在平凡的事件中有不平凡的發現，也能創造一條真正屬于你自己的原理!

　　下課!

　　板書設計：

　　鴿巢問題

　　物體抽屜至少數

　　4 ÷ 3 = 1……1 1+1=2

　　5 ÷ 4 = 1……1 1+1=2

　　7 ÷ 5 = 1……2 1+1=2

　　9 ÷ 5 = 1……4 1+1=2

　　11 ÷ 5 = 2……1 2+1=3

　　28 ÷ 5 = 5……3 5+1=6

　　100 ÷ 30 = 3……1 3+1=4

　　m ÷ n =商……余數商+1

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