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下學期 4.7 二倍角的正弦、余弦、正切2

時間：2022-08-17 03:35:32 高一數學教案我要投稿

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4.7二倍角的正弦、余弦、正切（第二課時）

（一）教學具準備
　　投影儀

（二）教學目標
　　1．應用倍角公式解決本章開頭的一個應用問題．
　　2．活用倍角公式，推求半角公式．

（三）教學過程
1．設置情境
　　請同學看教材第3頁上的一段文字，它敘述的是一個生活中的實際問題：
“如圖1，是一塊以點為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上畫出一個內接矩形辟為綠地，使其一邊落在半圓的直徑上，另兩點、落在半圓的圓周上．已知半圓的半徑為，如何選擇關于點對稱的點、的位置，可以使矩形的面積最大？”根據教材提示應用所學的倍角公式，同學們能嘗試解答它嗎？
2．探索研究
　　分析：要使矩形的面積最大，就必須想辦法把面積表示出來，不妨利用我們所學的三角知識，從角的方面進行考慮，設，則，，所以可以用表示．
解：設則
　　
　　∵ ∴
　　當時，    即，
　　這時，
答：點、分別位于點的左、右方處時取得最大值．
　　變式：把一段半徑為的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大？
　　生：根據上題的結果可知這時圓內接矩形為內接正方形時面積最大．
　　以上是倍角公式在實際生活中的運用，請同學們觀察以下例題，并分析、思考后能否得出證明．
3．例題分析
【例1】求證：
　　（1）；（2）；
　　（3）．
思考，討論．
　　我們知道公式中是任意的，所以我們可以用來替換，這樣就得到
　　
　　
　　即
　　　　
　　上面三式左邊都是平方形式，當的值已知，角的終邊所在象限已知時，就可以將右邊開方，從而求得：
　　
以上兩式相除又得：
　　　　　　
　　這三個式子稱之為半角公式，“±”號的取舍得由終邊所在象限確定．

【例2】求證：
　　．
　　分析：從例1引出例2，，右邊是同一個三角函數，并且還要附上正負號，而所要證明的式子右邊有兩個三角函數，不帶正負號．故我們不能利用上法，得另想辦法．
　　師：（邊敘述邊板書）
　　
　　
　　∴
　　上式不含根號也不必考慮“±”號選取，通常用于化簡或證明三角恒等式，同樣可作半角公式運用．

【例3】已知：，求，，．
　　解：
　　　　
　　　　
　　說明：①例1中（1）、（2）兩式使用頻率極高，正、逆使用都非常普遍．習慣從左到右，常稱“擴角降冪公式”，從右到左常謂“縮角升冪公式”，
　　②半角公式是二倍角公式的另一種表達方式，倍半關系是相對的．
練習（投影）
　　1．已知：（），
　　　求：（1）；（2）．
　　2．若，求：的值．
　　3．求：的值．

參考答案：
解：1．∵
　　兩邊平方得              ∴
　　又∵         ∴
　　　∴          ∴
　　2．∵     ∴
　　　原式
　　（3）
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
另解：設 ……………………①
　　　　　 ……………………②
　　①＋②得 …………………………③
　　①－②得 ……④
　　③＋④得     ∴
4．總結提煉
　　（1）本節課我們由倍角公式出發解決了實際應用問題，得出結論“在一個圓的所有內接矩形中，以內接正方形的面積為最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，從而推導出半角公式，公式“±”號的選取決定于終邊所在的象限，例2的應用也很廣泛，大家可根據題目的條件選擇使用較為方便的形式．
　　（2）從半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用單角的余弦來表示．
　　（3）若給出的是象限角，則可根據下表決定符號．