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一元二次方程的根的判別式（一）
1. 知識結構：
2. 重點、難點分析
（1）本節的重點是會用判別式判定根的情況.一元二次方程的根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也可以利用它進一步學習函數的有關內容，所以，它是本節課的重點.
�。�2）本節的難點是一元二次方程根的三種情況的推導.教科書首先將一元二次方程用配方法變形為 .因為，所以方程右邊的符號就由來確定，而方程左邊的不可能是一個負數，因此，把分三種情況來討論方程根的情況.推導過程中利用了分類的思想方法，對于分類討論學生感覺到較難，老師應該講明分類的基本思想。
3. 教法建議：
（1）引入要自然、合理
新課引入前，作一個鋪墊：前面我們講了一元二次方程的解法，我們掌握了開平方法、公式法和因式分解法后，就可以解任何一個一元二次方程，但是，存在這樣一個問題，并不是所有的一元二次方程都有解，我們可以通過把解求出來，來解方程，也可以通過判定方程無解，來解方程，這樣我們就面臨著一個問題，什么時候方程有解？什么時候方程無解？我們不解方程能不能判定根的情況？那就是我們本節所要研究的問題.讓學生首先感覺到所要學習的知識并不突然，也顯露了本節課的重點.
（2）利用多媒體進行教學
本節是根的判別式結論的推導，比較抽象，為了便于學生理解，使用所提供的動畫，有助于學生對所講內容的理解，調動學生主動思維的積極性，活躍課堂氣氛，提高學習效率.
�。�3）本節在推導根的判別式的結論時，利用了分類的思想，對于學生這是一個難點，一定給學生講清楚分類的依據，分類的基本思想，使學生對所得結論深信不疑.
一、教學目標
1. 理解一元二次方程的根的判別式，并能用判別式判定根的情況；
2. 通過根的判別式的學習,培養學生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力；
3．通過根的情況的研究過程，讓學生深刻體會轉化和分類的思想方法.
二、重點·難點及解決辦法
1．教學重點：會用判別式判定根的情況。
2．教學難點：一元二次方程根的三種情況的推導.
3．解決辦法：（1）求判別式時，應先將方程化為一般形式，確定a、b、c。（2）利用判別式可以判定一元二次方程的存在性情況（共四種）；方程有兩個實數根，方程有兩個不相等的實數根，方程有兩個相等的實數根，方程沒有實數根。
三、教學步驟
�。ㄒ唬�教學過程
1．復習提問
�。�1）平方根的性質是什么？
�。�2）解下列方程：① ；② ；③ 。
問題（1）為本節課結論的得出起到了一個很好的鋪墊作用。問題（2）通過自己親身感受的根的情況，對本節課的結論的得出起到了一個推波助瀾的作用。
2．任何一個一元二次方程 用配方法將其變形為 ，因此對于被開方數 來說，只需研究 為如下幾種情況的方程的根。
�。�1）當 時，方程有兩個不相等的實數根。
即
（2）當 時，方程有兩個相等的實數根，即 。
（3）當 時，方程沒有實數根。
教師通過引導之后，提問：究竟誰決定了一元二次方程根的情況？
答： 。
3．①定義：把 叫做一元二次方程 的根的判別式，通常用符號“ ”表示。
�、谝辉畏匠� 。
當 時，有兩個不相等的實數根；
當 時，有兩個相等的實數根；
當 時，沒有實數根。
反之亦然。
注意以下幾個問題：
�。�1） 這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對上式開平方，隨后有下面三種情況。正確得出三種情況的結論，需對平方根的概念有一個深刻的、正確的理解，所以，在課前進行了鋪墊。在這里應向學生滲透轉化和分類的思想方法。
�。�2）當 ，說“方程 沒有實數根”比較好。有時，也說“方程無解”。這里的前提是“在實數范圍內無解”，也就是方程無實數根的意思。
4．例題講解
例1 不解方程，判別下列方程的根的情況：
�。�1） ；（2） ；（3） 。
解：（1）
∴原方程有兩個不相等的實數根。
�。�2）原方程可變形為
。
，
∴原方程有兩個相等的實數根。
（3）原方程可變形為
。
∴原方程沒有實數根。
學生口答，教師板書，引導學生總結步驟，（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的（2）計算 的值；（3）判別根的情況。
強調兩點：（1）只要能判別 值的符號就行，具體數值不必計算出。（2）判別根據的情況，不必求出方程的根。
練習：不解方程，判別下列方程的情況：
�。�1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） ；（6）
學生板演、筆答、評價。
（4）題可去括號，化一般式進行判別，也可設 ，判別方程 根的情況，由此判別原方程根的情況。
例2 不解方程，判別方程 的根的情況。
解： 。
又 ∵ 不論k取何實數， ，
∴ 原方程有兩個實數根。
教師板書，引導學生回答。此題是含有字母系數的一元二次方程。注意字母的取值范圍，從而確定 的取值。
練習：不解方程，判別下列方程根的情況。
（1） ；
（2） ；
（3） 。
學生板演、筆答、評價。教師滲透、點撥。
（3）解：
∵ 不論m取何值， ，即 。
∴ 方程無實數解。
由數字系數，過渡到字母系數，使學生體會到由具體到抽象，并且注意字母的取值。
�。ǘ┛偨Y、擴展
1．判別式的意義及一元二次方程根的情況。
�。�1）定義：把 叫做一元二次方程 的根的判別式，通常用符號“ ”表示。
�。�2）一元二次方程 。
當 時，有兩個不相等的實數根；
當 時，有兩個相等的實數根；
當 時，沒有實數根。反之亦然。
2．通過根的情況的研究過程，深刻體會轉化的思想方法及分類的思想方法。
四、布置作業
教材P27A1～4。
5．不解方程，判斷下x的方程的根的情況
（1）
�。�2）
五、板書設計
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